廣東省揭陽市惠來鰲江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

廣東省揭陽市惠來鰲江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在我國明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學(xué)名題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”（“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增）．根據(jù)此詩，可以得出塔的頂層和底層共有（）A．3盞燈 B．192盞燈 C．195盞燈 D．200盞燈參考答案：C【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】由題意設(shè)頂層的燈數(shù)為a1，由等比數(shù)列的前n項和公式求出首項a1=3，從而能求出第7項的值，由此能求出塔的頂層和底層共有幾盞燈．【解答】解：由題意設(shè)頂層的燈數(shù)為a1，則有=381，解得a1=3，∴=3×26=192，∴a1+a7=195．故選：C．【點評】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．2.已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成，二面角的平面截該球面得圓N.若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為

(A)

(B)

(c)

(D)參考答案：D本題主要考查了球的性質(zhì)和二面角的概念，難度較高。

球心與截面圓的圓心連線垂直于截面，如圖

由題意球半徑,圓M半徑為2，所以

又因為圓面M與圓面N成的二面角為60°，所以

則，所以圓N的半徑為，圓N的面積為.3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足，若函數(shù)有6個零點，則實數(shù)m的取值范圍是A. B.C. D.參考答案：C【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有六個交點的問題，結(jié)合函數(shù)的解析式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的變化情況，由函數(shù)圖像即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)有6個零點，等價于函數(shù)與有6個交點，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，的極大值為：，作出函數(shù)的圖象如下圖，與的圖象有6個交點，須，表示為區(qū)間形式即.故選：C.【點睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)圖像的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4.奇函數(shù)f（x）的定義域為R，若f(x+2)為偶函數(shù)，則f(1)=1,則f(8)+f(9)=(

)A.－2

B.－1

C.0

D.1參考答案：D5.已知平面四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，，，點E在四邊形ABCD上運動，則的最小值為（

）A.－4 B.－3 C.－1 D.3參考答案：B【分析】根據(jù)平面圖形的對稱性，只需討論點在邊上的運動情況，當(dāng)點在邊上運動時，利用共線向量和向量的加減運算，化簡為，再求最小值，同理可得到當(dāng)點在邊上運動時，的最小值，【詳解】由題意可知，四邊形是關(guān)于直線對稱的圖形，故點在四邊形的四條邊上運動時，僅需考慮點在邊上的運動情況，易知，所以，①當(dāng)點在邊上運動時，設(shè)，則，,當(dāng)時，取得最小值-1；②當(dāng)點在邊上運動時，設(shè)，則，，當(dāng)時，取得最小值-3,綜上：的最小值是-3.故選：B【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算，本題以四邊形為載體，將向量知識遷移到幾何情景中考查，突出考查了直觀想象和運算能力，本題的難點是轉(zhuǎn)化向量，即，后面的問題迎刃而解.6.若A,則，就稱A是合作關(guān)系集合，集合A=的所有非空子集中,具有合作關(guān)系的集合的個數(shù)為

（▲）A.

B.

C.16

D.15參考答案：D略7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M為AB的中點，將△ADM沿DM翻折．在翻折過程中，當(dāng)二面角A—BC—D的平面角最大時，其正切值為

A．

B．

C．

D．參考答案：B

取的中點，的中點為，因為為等腰三角形，故，同理，，所以有平面．因為平面，故平面平面．在四棱錐中過點作的垂線，垂足為，再過作的垂線，垂足為，連接．因為，平面，平面平面，故平面．因為平面，故，又，，故平面，又平面，故，所以為二面角的平面角．設(shè)，則，，，所以，其中．令，則，令且，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，故，故選B．

8.（5分）命題“?x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（）A．?x∈R，x3﹣2x+1≠0

B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0C．?x∈R，x3﹣2x+1=0

D．?x∈R，x3﹣2x+1≠0參考答案：考點：命題的否定．專題：閱讀型．分析：因為特稱命題“?x∈R，x3﹣2x+1=0”，它的否定：?x∈R，x3﹣2x+1≠0即可得答案解答：“?x∈R，x3﹣2x+1=0”屬于特稱命題，它的否定為全稱命題，從而答案為：?x∈R，x3﹣2x+1≠0．故選D．點評：本題考查了全稱命題，和特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題，應(yīng)當(dāng)掌握．9.一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，一學(xué)生到達該路口時，見到紅燈的概率是(

) A． B． C． D．參考答案：A考點：幾何概型．專題：計算題．分析：本題是一個那可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是總的時間長度為30+5+40秒，滿足條件的事件是紅燈的時間為30秒，根據(jù)等可能事件的概率得到答案．解答： 解：由題意知本題是一個那可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是總的時間長度為30+5+40=75秒，設(shè)紅燈為事件A，滿足條件的事件是紅燈的時間為30秒，根據(jù)等可能事件的概率得到出現(xiàn)紅燈的概率．故選A．點評：本題考查等可能事件的概率，是一個由時間長度之比確定概率的問題，這是幾何概型中的一類題目，是最基礎(chǔ)的題．10.右圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(，)圖像的一部分．為了得到這個函數(shù)的圖像，只要將y＝sinx(x∈R)的圖像上所有的點（）A．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變.B．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變.C．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變.D．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集是

.參考答案：12.．若函數(shù)對定義域的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．給出以下命題：①是“依賴函數(shù)”；②是“依賴函數(shù)”；③是“依賴函數(shù)”；④是“依賴函數(shù)”；⑤，都是“依賴函數(shù)”，且定義域相同，則是“依賴函數(shù)”．其中所有真命題的序號是________________．參考答案：②③略13.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為____．參考答案：14.將函數(shù)f（x）=2sin（2x+）的圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點橫坐標縮短到原來的倍，所得函數(shù)的解析式為．參考答案：y=﹣2cos4x【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)f（x）=2sin（2x+）的圖象向右平移個單位，可得函數(shù)y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的圖象；再將圖象上每一點橫坐標縮短到原來的倍，所得函數(shù)的解析式為y=﹣2cos4x的圖象，故答案為：y=﹣2cos4x．【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．15.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意都有，當(dāng)時，，則＝

。參考答案：16.已知滿足,則的最大值為

參考答案：317.我國古代名著《九章算術(shù)》用“更相減損術(shù)”求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)是一個偉大創(chuàng)舉.這個偉大創(chuàng)舉與古希臘的算法—“輾轉(zhuǎn)相除法”實質(zhì)一樣.如圖的程序框圖即源于“輾轉(zhuǎn)相除法”，當(dāng)輸入時，輸出的a=_____.參考答案：3【分析】解法一：按照程序框圖運行程序，直到時，輸出結(jié)果即可；解法二：根據(jù)程序框圖的功能可直接求解與的最大公約數(shù).【詳解】解法一：按照程序框圖運行程序，輸入：，則，，，不滿足，循環(huán)；則，，，不滿足，循環(huán)；則，，，不滿足，循環(huán)；則，，，滿足，輸出解法二：程序框圖的功能為“輾轉(zhuǎn)相除法”求解兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)因為與的最大公約數(shù)為

本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)計算輸出結(jié)果、程序框圖的功能問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）袋中有大小相同的四個球，編號分別為1、2、3、4，從袋中每次任取一個球，記下其編號；若所取球的編號為偶數(shù)，則把該球編號改為3后放回袋中繼續(xù)取球；若所取球的編號為奇數(shù)，則停止取球．（Ⅰ）求第二次取球后才“停止取球”的概率；（Ⅱ）求停止取球時所有被記下的編號之和為的概率．參考答案：解：（Ⅰ）記第二次取球后才“停止取球”為事件A．．答：第二次取球后才“停止取球”的概率為．

………6分（Ⅱ）記停止取球時所有被記下的編號之和為為事件．記下的編號為2、4、1為事件，記下的編號為4、2、1為事件，記下的編號為4、3為事件，互斥，；；；；．………12分答：停止取球時所有被記下的編號之和為的概率為．19.已知數(shù)列{log2（an﹣1）}（n∈N*）為等差數(shù)列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）證明++…+＜1．參考答案：【考點】等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的前n項和；不等式的證明．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{log2（an﹣1）}的公差為d．根據(jù)a1和a3的值求得d，進而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{log2（an﹣1）}的通項公式，進而求得an．（2）把（1）中求得的an代入++…+中，進而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得++…+=1﹣原式得證．【解答】（I）解：設(shè)等差數(shù)列{log2（an﹣1）}的公差為d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．所以log2（an﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即an=2n+1．（II）證明：因為==，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得證．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式．屬基礎(chǔ)題．20.(本小題滿分12分)已知數(shù)列，其前項和為，點在拋物線上；各項都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記,求數(shù)列的前項和．參考答案：（1）當(dāng)時，

數(shù)列是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，又各項都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足

解得，

……5分(2)由題得

①

②①-②得

………………12分21.（本小題滿分14分）如圖，直線，拋物線，已知點在拋物線上，且拋物線上的點到直線的距離的最小值為．[來源:學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)gkstk]（1）求直線及拋物線的方程；[來源:gkstk.Com]（2）過點的任一直線（不經(jīng)過點）與拋物線交于、兩點，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，，．問：是否存在實數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）（法一）點在拋物線上，．

……2分設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由得，，由，得，則直線方程為．兩直線、間的距離即為拋物線上的點到直線的最短距離，有，解得或（舍去）．直線的方程為，拋物線的方程為．…………6分（法二）點在拋物線上，，拋物線的方程為．……2分設(shè)為拋物線上的任意一點，點到直線的距離為，根據(jù)圖象，有，，，的最小值為，由，解得．因此，直線的方程為，拋物線的方程為．…6分（2）直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由

得，設(shè)點、的坐標分別為、，