及視頻講解-數(shù)學一真題89年j

年入學統(tǒng)一考數(shù)學一試題解析1lim(cosx)ln(1x2)1【解析】方法1：求limu(x)v(x)型極限，一般然后再求limv(x)lnu(x)，再回到指數(shù)上去1 lncos

limlncoslim(cosxln(1x)limeln(1x)ex0ln(1x), x0ln(1x2) ln(1cosx1)cosx1limcosx11cosx1

12lim 1 故原式=e2 e

2ycosx)ln(1x2)，有l(wèi)nylncos ln(1x2

曲面zx2y2與平面2x4yz0平行的切平面的方程 【答案】2x4yz平面2x4yz0n1241；zx2y2在點(x0y0z0n2zx(x0y0zy(x0y0 zz(xy n2{2x0,2y0,n1n2

2x02y0

1,y2zx2y2

n2{2,4,1}，故所求的切平面方程為2(x1)4(y2)z5)0，即2x4yzx

n

cosnx(x)，則a2 【解析】將f(x)x2(x)展開為余弦級數(shù)x2 n0

cosnx(xa2f(x)cosnxdx a2x2cos2xdx1x2dsin 1[x2sin=1xdcos

sin2x

=1[xcos2xcos R 1 的基1,2

到基1,2的過渡矩陣 0 3

2 2【解析】n維向量空間中，從基1,2,,n12,,nP12,n]=[1,2,,nPP P=[,,,]1[, 1 R的基10,212 1 1]1 1P=[,]1[, 0 0

1 1 3= 2 設(shè)二維隨量(X,Y)的概率密度6x,0xyf(x,y) 其他 則P{XY1} 1【答案】4【解析】本題為已知二維隨量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求滿足一定條件的概率P{g(X,Y)由連續(xù)型二維隨量(X,Y)概率的求解方 F(x,y)f(u, 此題可轉(zhuǎn)化為二重積分P{g(X,Y)z0} g(x,y)

f(xy)dxdy進行計算yy1xy1x112

x 1P{XY1}f(x,y)dxdy2 x2(6x2(6x)dx.1 1所以答案應(yīng)填4已知一批零件的長度X(單位：cmcm)服從正態(tài)分布N(,1)，從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40(cm)，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 【答案】(39.51,40.49)因 N

，設(shè)有

X1n

Xi1有 N(,)，將其標準化，由公n

XE(X

D(XnD(XnnX~Nn進而確定相應(yīng)的置信區(qū)間(x2

u1可確定臨界值uXX1n,x ) n 上已經(jīng)求出的置信區(qū)間(xn2

,x )n2n

u1 N(0,1)，可以直接得出答案22

1.96.本題n16,x40,XX1nP{401

1.96}0.951.960.95，即P{39.5140.49}0.952：由題設(shè)，10.95P{Uu}P{uUu}2(u)10.95,(u) 查得u2n1n16,x40代入(xn2

2n,x2n

)得置信區(qū)間yy則f(x)有 【答案】x0是導(dǎo)數(shù)不存在的點.3個一階導(dǎo)數(shù)為零的點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號均不一致，故必為極值點，其中第一個交點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號由正變?yōu)樵O(shè){an},{bn},{cn}均為非負數(shù)列，且liman0,limbn1,limcn,則必有 (A)anbn對任意n成立 (B)bncn對任意n成立 極限 (D)極 不存在 【答案】由題設(shè)limbn1，假 limc n bnb 不存在.所以選項(D)正確 a1bn1，滿足lima0limb1,而a1,b0ab，則A n n 取.bn1cn2，滿足limb1,limc,而b01c，則(B n n a1cn2，滿足lima0limc,而limac1，則(C不正確 n n nn所以選項(D)正確f(xy在點(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且x0,

f(x,y)(x2y2)

1，則 點(0,0)f(xy的極值點點(0,0)f(xy的極大值點點(0,0)f(xy的極小值點根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)f(xy的極值點【答案】(【解析】由 f(x,y)xy1f(x,y)xy(1)(x2y2)2，其中l(wèi)im0x0,y0(x2y2 f(xy在點(0,0)f(0,0)0yx,xx0f(xyx21)(2x220yx,xx0f(xyx21)(2x2故點(0,0)不是f(x,y)的極值點，應(yīng)選(A) 設(shè)向量組I：1,2,,r可由向量組II：1,2,,s線性表示，則 (A)當rs時，向量組II必線性相關(guān) (B)當rs時，向量組II必線性相關(guān)(C)當rs時，向量組I必線性相關(guān) (D)當rs時，向量組I必線性相關(guān)12,,s線性表示，則當rsI必線性相關(guān).I：1,2,,r12,,sI線性無關(guān)，則必有rs.可見正確選項為(D).本題也可通過舉反例用排除法找到 112，則1010212線性無關(guān)，排除 1,21，則1,211線性無關(guān)，排除(B)；112 0 1可由1,2線性表示，但1線性無關(guān)，排除(C).故正確選項為,Ax0Bx0同解，則秩A)=秩B④若秩(A)=秩(B)，則Ax0與Bx0同解. ① ① ② ③④.答案：AX0BX0同解，所以他們的解空間中的基礎(chǔ)解系個數(shù)相同，既n-秩An-秩B即秩A 例證明，如A ，B ，則秩(A)=秩(B)=1，但AX0與BX0不同 設(shè)隨量X~t(n)(n1),Y

，則 XY~2(n) (B)Y~2(n1)(C)Y~F(n,1) (D)Y~F(1,n) t(n)XY2/XY2/其中

2分布的定義：設(shè)X1,X2,,Xn相互獨立且均服從標準正態(tài)分布，則 nWX2服從自由度為n

.記做 2(n

度分別為n1,n2.記做 F(n1,n2如果統(tǒng)計量 t(n)，則有T F(1,n) F(n,n)，則有

F(n,n)

1先由t分布的定義知X ，其中U~N(0,1),V~2(n)，再將其代入Y X由題設(shè)知，X ，其中U~N(0,1),V~2(n)，于VnVnU1Y1VnVnU1X U1由F分布的定義知Y 1XD的面A【答案】(1)1e2(2)(5e212e6【解析】為了求D的面積，首先要求出切點的坐標，設(shè)切點的橫坐標為x0，則曲線ylnx在點(x0lnx0處的

yln

1(xx

xx xx

y1x.A1(eyey)dy1e 1O1e)1O1ex

eV1e2 圓錐體體積公式：V1r2h或者利用旋轉(zhuǎn)體體積公式V1(eey)2dy1e2 iy軸上對[0,1區(qū)間無限剖分，各個小區(qū)間的長度記為yi，在每個節(jié)點處作垂直i整個旋轉(zhuǎn)體的體積就是對各個圓片的體積求和，即(x(y)

1(x(y)e)2dy0i2V1(eey)2201(e22eeye2y0

(e2y2eey

1e2y)

(1e22e1 VVV1e21(eey)2dy(5e212e 1 f(xarctan12xx的冪級數(shù)，并求級數(shù)2n1的和 (1)n【答案】f(x)

1,

2n 2(1)nn02n 12x 11 本題可先求導(dǎo)，f(x)1

1

12x1

112x1 2(14x2 11

1111xx2 xn (1x1 11

14x2 （x換成4x21111 nnf(x

1

(1)4

xxfx

,2 2x(1)n4nt2n

f(x)f(0) 40 f(x)f(0)xf(t)dt

(1)n 14 4

,x ,2n 2f(x)

a(xx 收斂區(qū)間為(x0Rx0R.xx0Rf(x（左）xx0Rxx0Rf(x（左）連續(xù)應(yīng)改稱（右）連續(xù) (1)n,x2處,右邊級數(shù)成為2n1,

x

1處.x1f(xx(1. 2. 為了求2n1x2 (1)f1)02

f()

2n

22n1]

42n1(1)nf(1)

n02n Dxy0x,0y}LD的正向邊界.xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx

xesinydyyesinxdx22L

P 由曲線為正向封閉曲線，自然想到用格林公式 LPdxQdyxydxdy Lxesinydyyesinxdx(esinyesinxLDLxesinydyyesinxdx(esinyesinxL(esinyesinx

x與y (esinyesinx xesinydyyesinxdx 左邊 xesinydyyesinxdx=esiny左邊 =(esinxesinx)dx0 右邊xesinydyyesinxdx=esinydyesinx =(esinxesinx0 所以xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx Lxesinydyyesinxdx(esinyesinxLD=esinydxdyesinx =esinxdxdyesinx

=(esinxesinx)dxdy 2

ab2ab,a0,b2：由(1)知，xesinydyyesinxdx(esinxesinx

esinxesinx 2某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層.汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進的深度成正比（比例系數(shù)為k,k0）.汽錘第一次擊打?qū)洞?am.根據(jù)設(shè)計方案，求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0r1).1r1rr 【解析】(1)建立坐標系，地面作為坐標原點，向下為x軸正向，設(shè)第n次擊打后，樁被打進xn，第n次擊打W

kxdx

x 2 Wx2kxdxk(x2x2

Wx3kxdxk(x2x2

從 WWWk 2又WrW，WrWr2W kx2(1rr2)W(1r2kr)x3

2 11rr第n次擊打后，樁被打進xn，第n次擊打時，汽錘所作的功為Wn(n1,2,3,) xnm所做的功kxdxWW W(1r 而W1

akxdx

kx2(1r n1 2從而xn 由0r1，lim

2nyy(x)在(,y0,xxyyy(x的反函數(shù)d2x(ysinx)(dx

dy

0yy(xy(0)0,y(0)3的解2

yysinyexex1sin2 d2 d2)dx=1 d2xd(dx)=

1

dy dy

( yysin (*(2)方程(*)所對應(yīng)的齊次方程為yy0，特征方程為r210，其根 1，因此通解為YCexCex 由于i不是特征方程得根，所以設(shè)方程(*)y*AcosxBsin y*AsinxBcosxy*AcosxBsin代入方程*AcosxBsinxAcosxBsinx2Acosx2BsinxsinA0B1y*1sinxyysinx yYy*CexCex

1sin y(0)0y(0)3，得C1,C1. yexex1sin2y(xy(xexex1cosx0y0條件2f(x2y2z2

f(x2y2F(t) ，G(t)D(t) tD(t

f(x2y2

f(x2其中(txyzx2y2z2t2D(txyx2y2t2討論F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性證明當t0F(t)2 f(x2y2z2)dv2ddtf(r2)r2 (t

2sindtf(r2)r2 2tf(r2)r2drcos

D(t

4tf(r2)r20 f(x2y2)d2dtf(r2)rdr2tf(r

20f(r)r ddf(r2)r2

4f(r2)r2 f(r2F(t)

2dtf(r2

2f(r 為了討論F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性，對F(t)求導(dǎo)t2f(t2)tf(r2)rdrtf(r2)r2drf(t2 taF(t) xf(t)dtfta[0f(r2tf(t2)tf(r2)r(t tt[0f(r2f(t0r0,tr0b若在區(qū)間[abf(x)0，則af(x)dxb所以F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴格單調(diào)增加t)t因為

f(x2)dx2

f

)dx

f(r2

tt ttf(x2y2 G(t)D(t 20f(r2

f(r2 f(x2 f(r

tf(r2 要證明t0F(t)G(t，只需證明t0F(tG(t)0 2tf(r

G(t)

)rdr20f(r tf(r2 tf(r2 0 0 02tf(r2)r2drtf(r2)drtf(r2 0 0 0 tf(r2)rdr tf(r2 g(t)tf(r2)r2drtf(r2)drtf(r2) tg(t)f(t2)tg(t)f(t2)t2tf(r2)dr2222f(t2)ttf(r2f(tf(r)r

xf(t)dtfxf(t2)tf(r2)(tr)2dr t 020）=0A

，P

，BP

0

【解析】可先求出A*,P1，進而確定BP1A*PB2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求 A*

2

P1

0

5

0

1 BP1A*P=

04

B2E

04

3

5E(B2E)

22

2

4

(9)2(3)B2E的特征值為129,3當129時，解(9EA)x01,0, 1,0, 1所以屬于特征值129

k,kk

1 2 1 2 1當33時，解(3EA)x01，1， 所以屬于特征值3的所有特征向量為k

k

，其中k0為任意常數(shù)1 3 3 12A的特征值為，對應(yīng)特征向量為，即A.A70，所以又因A*A

AE

A* 于是 B(P)PA*P(P)(P)(B2E)P1 2)P由于EA

(1)2(7)A的特征值為121,3 當1時，對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為1，0 當37時，對應(yīng)的一個特征向量為3由P

1

，P

，P

1 10 1 B2E的三個特征值分別為

k,kPkP

1 2

kP

k

1，其中k是不為零的任意常數(shù)1 3 l1:ax2by3c0，l2:bx2cy3a0，l3:cx2ay3b0試證這三條直線交于一點的充分必要條件為abc設(shè)三條直線l1l2l3交于一點ax2bybx2cycx2ay

A b A

6(abc)[a2b2c2abac=3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2] (ab)2(bc)2(ca)20，abc充分性：由abc0，則從必要性的證明可知 0，故秩(A) 2b2(acb2)2[a(ab)b2 =2[(a1b)23b2]0 故秩A2.秩A)=秩A方法2：必要性x0 設(shè)三直線交于一點(x,y)，則y為AX0的非零解，其中A 0 于 A0a Ab

6(abc)[a2b2c2abac=3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]但根據(jù)題設(shè)(ab)2bc)2ca20abcax2bybx2cycx2ay

ax2by

bx2cy