02一元線性回歸模型

PAGE1PAGE29經(jīng)濟(jì)學(xué)參考書目：高鴻業(yè)，《西方經(jīng)濟(jì)學(xué):微觀部分(第三版)--21世紀(jì)經(jīng)濟(jì)學(xué)系列教材》，《西方經(jīng)濟(jì)學(xué):宏觀部分(第三版)--21世紀(jì)經(jīng)濟(jì)學(xué)系列教材》，中國人民大學(xué)出版社，2005年1月。《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)手冊(21世紀(jì)經(jīng)濟(jì)學(xué)系列教材)》，中國人民大學(xué)出版社，2005年6月。\o"搜索\"高鴻業(yè)\"的圖書"高鴻業(yè)\o"搜索\"劉鳳良\"的圖書"、劉鳳良，《20世紀(jì)西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展》，商務(wù)印書館，2004年4月尹伯成，《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)簡明教程(第5版)》，世紀(jì)出版集團(tuán)、上海人民出版社，2006年3月。4、伍柏麟、尹伯成，《經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)教程--復(fù)旦博學(xué)·經(jīng)濟(jì)學(xué)系列》，復(fù)旦大學(xué)出版社，2002年3月。5、\o"搜索\"姚開建\"的圖書"姚開建\o"搜索\"梁小明\"的圖書"、梁小明，《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)名著導(dǎo)讀--經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)典著作讀叢書》，中國經(jīng)濟(jì)出版社，2005年1月。6、\o"搜索\"梁小民\"的圖書"梁小民，《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)教程(修訂版)》，中國統(tǒng)計(jì)出版社，2005年12月。7、方福前，《當(dāng)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)主要流派》，中國人民大學(xué)出版社，2004年12月。8、\o"搜索\"王志偉\"的圖書"王志偉，《現(xiàn)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)主要思潮及流派》，高等教育出版社，2004年9月。數(shù)學(xué)參考書目：9、趙萍，《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用線性代數(shù)及概率論》，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2006年10月。10、李尚志，《線性代數(shù)》，高等教育出版社，2006年5月。11、盧剛，《線性代數(shù)》，北京大學(xué)出版社，2006年。12、陳維新，《線性代數(shù)（第2版）》，北京科學(xué)出版社，2006年。13、冉兆平，《微積分》，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2006年。14、田長生，《概率統(tǒng)計(jì)與微積分》，北京科學(xué)出版社，2006年。15、李林曙，《微積分》，中國人民大學(xué)出版社，2006年。16、王雪標(biāo)、王拉娣、聶高輝，《微積分》，高等教育出版社，2006年。17、馬恩林，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，人民教育出版社，2006年。18、吳贛昌，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，中國人民大學(xué)出版社，2006年。19、葛余博等著，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)通用輔導(dǎo)講義》，清華大學(xué)出版社，2006年。統(tǒng)計(jì)學(xué)參考書目：20、邢哲，《統(tǒng)計(jì)學(xué)原理》，中國金融出版社，2006年8月。21、李榮平，《統(tǒng)計(jì)學(xué)》，天津大學(xué)出版社，2006年。22、吳梅村，《數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)基本原理和方法》，西南財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2006年。23、曾五一，《統(tǒng)計(jì)學(xué)》，中國金融出版社，2006年。24、(美)A.M.穆德、F.A.格雷比爾著、史定華譯，《統(tǒng)計(jì)學(xué)導(dǎo)論》，北京科學(xué)出版社，1978年。補(bǔ)充材料一、隨機(jī)變量及其數(shù)字特征隨機(jī)變量及其分布的研究是以事件及其概率的研究為基礎(chǔ)展開的。它是統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)。隨機(jī)變量定義：按一定的概率取不同實(shí)數(shù)值的變量稱為隨機(jī)變量，用x,y等表示。如（1）天津站每日的客流人數(shù)。（2）某商場日銷售電視機(jī)臺(tái)數(shù)。（3）某儲(chǔ)蓄所的日存款余額。（4）某地區(qū)居民的日用水量。（5）高速公路上單位時(shí)間內(nèi)通過的機(jī)動(dòng)車數(shù)量。（6）流水線上生產(chǎn)的罐裝啤酒的凈重值。若隨機(jī)變量x可能取的值為有限個(gè)或可列個(gè)，則稱x為離散型隨機(jī)變量。若隨機(jī)變量x可能取的值是整個(gè)數(shù)軸，或數(shù)軸上的某個(gè)區(qū)間，則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布是通過隨機(jī)變量在一切可能區(qū)域內(nèi)取值的概率定義的。最常用和最簡便的形式是通過概率密度函數(shù)表示。對于隨機(jī)變量x，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，（-<x<），使對任意實(shí)數(shù)a,b,(a<b)有P{axb}=則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)為x的概率密度函數(shù)（簡稱概率密度或密度）。由上式知f(x)在[a,b]區(qū)間上的積分等于隨機(jī)變量x在[a,b]區(qū)間取值的概率。研究經(jīng)濟(jì)問題為什么還要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量？因?yàn)樵S多經(jīng)濟(jì)問題都符合隨機(jī)變量的要求。通過隨機(jī)變量把經(jīng)濟(jì)問題上升到統(tǒng)計(jì)理論高度進(jìn)行研究，有利于找到經(jīng)濟(jì)變量變化的一般規(guī)律。1.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望對于離散型隨機(jī)變量x，若有概率分布P{x=xi}=pi,(i=1,2,…,)則稱xipi為x的數(shù)學(xué)期望，簡稱為期望或均值。記作E(x)。對于連續(xù)型隨機(jī)變量x，若密度函數(shù)為f(x)，則稱為x的數(shù)學(xué)期望。記作E(x)。期望屬于位置特征。用來描述隨機(jī)變量取值的集中位置。體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小。期望就是隨機(jī)變量取一切可能值的加權(quán)平均。其中的權(quán)數(shù)就是概率值。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如下：(1)常量的期望就是這個(gè)常量本身。E(k)=k(2)常量與隨機(jī)變量和的期望等于這個(gè)隨機(jī)變量的期望與這個(gè)常量的和。E(x+k)=E(x)+k(3)常量與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個(gè)常量與隨機(jī)變量期望的乘積。E(kx)=kE(x)(4)隨機(jī)變量的線性函數(shù)的期望等于這個(gè)隨機(jī)變量期望的同一線性函數(shù)。E(kx+c)=kE(x)+c(5)兩個(gè)隨機(jī)變量和（或差）的期望等于這兩個(gè)隨機(jī)變量期望的和（或差）。E(xy)=E(x)E(y)(6)兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于這兩個(gè)隨機(jī)變量期望的乘積。E(xy)=E(x)E(y)例：5個(gè)學(xué)生的英語考試分?jǐn)?shù)是80,70,85,90,82。則平均考試分?jǐn)?shù)E(x)==81.41.2隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量x對其均值的離差平方的數(shù)學(xué)期望，E[x-E(x)]2稱作隨機(jī)變量x的方差。記作Var(x)。則稱作x的標(biāo)準(zhǔn)差。方差和標(biāo)準(zhǔn)差用來描述隨機(jī)變量的離散特征。它們反映了隨機(jī)變量取值離散程度的大小。對于離散型隨機(jī)變量x，方差的定義是Var(x)=xi-E(x))2pi其中pi表示x取xi值時(shí)的概率。對于連續(xù)型隨機(jī)變量x，方差的定義是Var(x)=x-E(x)]2f(x)dx其中f(x)是x的概率密度函數(shù)。注意：（1）Var(x)的量綱是x的量綱的平方。（2）的量綱與x的量綱相同。隨機(jī)變量方差的性質(zhì)：(1)常量的方差為零。Var(k)=0(2)隨機(jī)變量與常量之和的方差等于這個(gè)隨機(jī)變量的方差。Var(x+k)=Var(x)其中x為隨機(jī)變量，k為常量。(3)常量與隨機(jī)變量乘積的方差等于這個(gè)常量的平方與隨機(jī)變量方差的乘積。Var(kx)=k2Var(x)其中k為常量。證明：由方差定義Var(kx)=E[kx-E(kx)]2=E[kx-kE(x)]2=k2E[x-E(x)]2=k2Var(x)(4)隨機(jī)變量的方差等于這個(gè)隨機(jī)變量平方的期望減其期望的平方。Var(x)=E(x2)–[E(x)]2證明：由方差定義Var(x)=E[x-E(x)]2=E[x2–2xE(x)+[E(x)]2]=E(x2)–2E(x)E(x)+(E(x))2=E(x2)–(E(x))2(5)兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和（或差）的方差等于這兩個(gè)隨機(jī)變量方差的和。Var(xy)=Var(x)+Var(y)下面證明隨機(jī)變量之差情形。證明：由方差定義Var(x-y)=E[(x-y)–E(x-y)]2=E[x-y–E(x)-E(y)]2=E[(x–E(x))-(y-E(y))]2=E[(x–E(x))2+(y-E(y))2–2(x–E(x))(y-E(y))]=Var(x)+Var(y)–2E[(x–E(x))(y-E(y))]其中E(x–E(x))(y-E(y))是隨機(jī)變量x與y的協(xié)方差。因?yàn)閤與y相互獨(dú)立，所以E[(x–E(x))(y-E(y))]=0（見下面第3小節(jié)，隨機(jī)變量的協(xié)方差）。上式的結(jié)果是Var(x-y)=Var(x)+Var(y)注意：兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量差的方差不等于這兩個(gè)隨機(jī)變量方差的差。(6)由性質(zhì)（5）有如下結(jié)論：若兩個(gè)隨機(jī)變量是相互非獨(dú)立的，其和與差的方差公式是，Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2Cov(x,y)Var(x-y)=Var(x)+Var(y)-2Cov(x,y)其中Cov(x,y)表示x與y的協(xié)方差（協(xié)方差概念見下）。1.3隨機(jī)變量的協(xié)方差協(xié)方差定義：隨機(jī)變量x,y分別對其均值的離差乘積的數(shù)學(xué)期望E[(x-E(x))(y-E(y))]稱作隨機(jī)變量x,y的協(xié)方差，記作Cov(x,y)。其中E(x),E(y)分別表示x,y的期望。協(xié)方差用來描述兩個(gè)隨機(jī)變量關(guān)系的緊密程度。對于離散型隨機(jī)變量x,y，協(xié)方差定義為Cov(x,y)=xi-E(x))(yj-E(y))p(xi,yj)其中p(xi,yj)=P(x=xi,y=yj)表示x=xi,y=yj條件下的概率。上式是協(xié)偏差[xi-E(x)][yj-E(y)]的加權(quán)平均。對于連續(xù)型隨機(jī)變量x,y，協(xié)方差定義為Cov(x,y)=x-E(x))(y-E(y))p(x,y)dxdy其中p(x,y)是x,y的概率密度函數(shù)。當(dāng)x,y相互獨(dú)立時(shí)，Cov(x,y)=0。協(xié)方差的大小與x,y的量綱有關(guān)。一般來說，改變x,y的量綱，則x,y協(xié)方差的值也要改變。因此協(xié)方差所提供的主要信息是正值、負(fù)值還是零。注意：雖然兩個(gè)變量相互獨(dú)立，意味著協(xié)方差為零，但反過來不一定成立，即協(xié)方差為零，該兩個(gè)變量未必獨(dú)立（但肯定不存在線性相關(guān)）。二、正態(tài)分布2.1正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為f(x)=exp(-)其中,為常量，>0，則稱x服從正態(tài)分布。記作xN(,2)。,分別是x的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差?？梢宰C明E(x)=xf(x)dx=xexp(-)dx=Var(x)=(x-)2f(x)dx=(x-)2exp(-)dx=2=三種不同參數(shù)的正態(tài)分布曲線見圖1。概率密度函數(shù)f(x)呈鐘形。最大值點(diǎn)在x=處。曲線以x=對稱。在x=處密度函數(shù)曲線有拐點(diǎn)。當(dāng)x時(shí)，f(x)以x軸為漸近線。當(dāng)較大時(shí)，f(x)曲線較平緩；當(dāng)較小時(shí)，f(x)曲線較陡峭。已知和的值，就可以完全確定正態(tài)分布密度函數(shù)。對某產(chǎn)品的物理量測量常服從于正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布定義：對于正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)，當(dāng)=0，=1時(shí)，即f0(x)=exp(-)稱連續(xù)型隨機(jī)變量x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。記作xN(0,1)。對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布E(x)=0，Var(x)==1。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線見圖2。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)f0(x)有如下性質(zhì)：（1）f0(x)以縱軸對稱；（2）x=0時(shí)，f0(x)的極大值是1/=0.3989；（3）f0(x)在x=1處有兩個(gè)拐點(diǎn)；（4）f0(x)=0。N(0,1)N(3,1.5)N(2,1)N(1,0.5)N(0,1)N(3,1.5)N(2,1)N(1,0.5)圖1正態(tài)分布曲線圖2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線正態(tài)分布隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化。若xN(,2)，a,b為任意實(shí)數(shù)，且a<b，則P{axb}=exp(-)dx設(shè)Z=(x-)/，則（參見微積分中換元積分法）P{axb}=P{Z}=exp(-)dZ顯然Z是一個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。當(dāng)xN(,2)時(shí)，則Z=N(0,1)可見對一般正態(tài)分布隨機(jī)變量x做變換Z=(x-)/，則可以把x轉(zhuǎn)化為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量Z。對一般正態(tài)分布隨機(jī)變量x計(jì)算概率非常不方便。通過標(biāo)準(zhǔn)化變換，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累計(jì)概率表，則很容易計(jì)算出x取任意兩個(gè)值之間的概率。正態(tài)分布的線性性質(zhì)：①若xiN(i,i2),(i=1,2,…,n),且相互獨(dú)立，則N(,)②若xiN(i,i2),(i=1,2,…,n)且相互獨(dú)立，ai0為常數(shù)，則aixiN(aii,ai2i2)一元線性回歸模型對于經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，一般分為兩類：一類是變量之間存在確定的函數(shù)關(guān)系。例如某企業(yè)t時(shí)期的銷售收入yt等于產(chǎn)品價(jià)格p與銷售量xt的乘積，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為：yt=pxt另一類是變量之間存在著非確定的依賴關(guān)系。例如某家庭的收入和支出之間的關(guān)系，一般來講，家庭收入越多，支出也相應(yīng)越多。但是由于各種不確定的因素，使得不同時(shí)間內(nèi)同樣的收入會(huì)有不同的支出。這就造成了收入和支出之間關(guān)系的不確定性，因而不能給出類似于函數(shù)的精確表達(dá)式。用ut表示其他影響因素，將這兩個(gè)變量間非確定的依賴關(guān)系表示成下列形式：yt=f(xt)+ut為了分析和利用變量之間非確定的依賴關(guān)系，人們建立了各種統(tǒng)計(jì)分析方法，其中回歸分析是最常用的經(jīng)典方法之一。需要注意的是，回歸分析是用來處理一個(gè)被解釋變量（因變量）與另一個(gè)解釋變量（自變量）之間的關(guān)系，但它并不一定表明因果關(guān)系的存在；也就是說，它并不意味著自變量是原因，而因變量是結(jié)果。兩個(gè)變量是否存在因果關(guān)系，必須以（經(jīng)濟(jì)）理論為判定基礎(chǔ)，正如前面講到的需求法則，它表明：當(dāng)所有其他變量保持不變時(shí)，一種商品的需求量依賴于（反向）該商品的價(jià)格。這里，微觀經(jīng)濟(jì)理論暗示了價(jià)格是原因，而需求量是結(jié)果?？傊?，回歸并不意味著存在因果關(guān)系，因果關(guān)系的判定或推斷必須依據(jù)經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)的相關(guān)理論。1．一元線性回歸模型有一元線性回歸模型（統(tǒng)計(jì)模型）如下， yt=0+1xt+ut上式表示變量yt和xt之間的真實(shí)關(guān)系。其中yt稱被解釋變量（因變量），xt稱解釋變量（自變量），ut稱隨機(jī)誤差項(xiàng)，0稱常數(shù)項(xiàng)，1稱回歸系數(shù)（通常未知）。上面的模型可以分為兩部分。（1）回歸函數(shù)部分，E(yt)=0+1xt,（2）隨機(jī)部分，ut。圖2.1真實(shí)的回歸直線這種模型可以賦予各種實(shí)際意義，收入與支出的關(guān)系；如脈搏與血壓的關(guān)系；商品價(jià)格與供給量的關(guān)系；文件容量與保存時(shí)間的關(guān)系；林區(qū)木材采伐量與木材剩余物的關(guān)系；身高與體重的關(guān)系等。以收入與支出的關(guān)系為例。假設(shè)固定對一個(gè)家庭進(jìn)行觀察，隨著收入水平的不同，與支出呈線性函數(shù)關(guān)系。但實(shí)際上數(shù)據(jù)來自各個(gè)家庭，來自各個(gè)不同收入水平，使其他條件不變成為不可能，所以由數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖不在一條直線上（不呈函數(shù)關(guān)系），而是散在直線周圍，服從統(tǒng)計(jì)關(guān)系。隨機(jī)誤差項(xiàng)ut中可能包括家庭人口數(shù)不同，消費(fèi)習(xí)慣不同，不同地域的消費(fèi)指數(shù)不同，不同家庭的外來收入不同等因素。所以在經(jīng)濟(jì)問題上“控制其他因素不變”是不可能的?；貧w模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)中一般包括如下幾項(xiàng)內(nèi)容，（1）非重要解釋變量的省略（在需求的例子中，如消費(fèi)者收入、同類競爭產(chǎn)品的價(jià)格等因素），（2）人們的隨機(jī)行為，（3）數(shù)學(xué)模型形式欠妥，（4）歸并誤差（糧食的歸并）（5）測量誤差等（數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)）。所以為了把上述產(chǎn)生的誤差考慮在內(nèi)，在計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中引進(jìn)了隨機(jī)變量ut，認(rèn)為它對假定存在于x和y之間的精確線性關(guān)系進(jìn)行擾動(dòng)?；貧w模型存在兩個(gè)特點(diǎn)。（1）建立在某些假定條件不變前提下抽象出來的回歸函數(shù)不能百分之百地再現(xiàn)所研究的經(jīng)濟(jì)過程。（2）也正是由于這些假定與抽象，才使我們能夠透過復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，深刻認(rèn)識到該經(jīng)濟(jì)過程的本質(zhì)。通常線性回歸函數(shù)E(yt)=0+1xt是觀察不到的，利用樣本得到的只是對E(yt)=0+1xt的估計(jì)，即對0和1的估計(jì)。在對回歸函數(shù)進(jìn)行估計(jì)之前應(yīng)該對隨機(jī)誤差項(xiàng)ut做出如下假定。(1)ut是一個(gè)隨機(jī)變量，ut的取值服從概率分布。(2)E(ut)=0。該假定表明：平均地看，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)對yt沒有任何影響，也就是說，正值與負(fù)值相互抵消。(3)D(ut)=E[ut-E(ut)]2=E(ut)2=2。稱ui具有同方差性。該假定表示，每個(gè)y值以相同的方差分布在其均值周圍。這是由于x值是給定的或是非隨機(jī)的，因此，y中唯一變化的部分來自于u。因此，在給定x值的條件下，ut與yt同方差。(4)ut為正態(tài)分布（根據(jù)中心極限定理）。以上四個(gè)假定可作如下表達(dá)。utN(0,)。(5)Cov(ui,uj)=E[(ui-E(ui))(uj-E(uj))]=E(ui,uj)=0,(ij)。含義是不同觀測值所對應(yīng)的隨機(jī)項(xiàng)相互獨(dú)立。稱為ui的非自相關(guān)性。該假定表明ui是隨機(jī)的。(6)xi是非隨機(jī)的。(7)Cov(ui,xi)=E[(ui-E(ui))(xi-E(xi))]=E[ui(xi-E(xi)]=E[uixi-uiE(xi)]=E(uixi)=0.ui與xi相互獨(dú)立。否則，分不清是誰對yt的貢獻(xiàn)。(8)對于多元線性回歸模型，解釋變量之間不能完全相關(guān)或高度相關(guān)（非多重共線性）。在假定（1），（2）成立條件下有E(yt)=E(0+1xt+ut)=0+1xt。同學(xué)們或許會(huì)對這些假定感到迷惑，為什么需要這些假定？它們的現(xiàn)實(shí)意義如何呢？如果這些假定不為真，情況又會(huì)怎樣呢？如何知道某一回歸模型卻是滿足說有這些假定呢？2．最小二乘估計(jì)（OLS）對于所研究的經(jīng)濟(jì)問題，通常真實(shí)的回歸直線是觀測不到的。收集樣本的目的就是要對這條真實(shí)的回歸直線做出估計(jì)。怎樣估計(jì)這條直線呢？顯然綜合起來看，這條直線處于樣本數(shù)據(jù)的中心位置最合理。怎樣用數(shù)學(xué)語言描述“處于樣本數(shù)據(jù)的中心位置”？設(shè)估計(jì)的直線用=+xt表示。其中稱yt的擬合值（fittedvalue），和分別是0和1的估計(jì)量。觀測值到這條直線的縱向距離用表示，稱為殘差（residual），是ut的估計(jì)量。yt=+=+xt+稱為估計(jì)的模型。假定樣本容量為T。（1）用“殘差和最小”確定直線位置是一個(gè)途徑。但很快發(fā)現(xiàn)計(jì)算“殘差和”存在相互抵消的問題。（2）用“殘差絕對值和最小”確定直線位置也是一個(gè)途徑。但絕對值的計(jì)算比較麻煩。（3）最小二乘法的原則是以“殘差平方和最小”確定直線位置。用最小二乘法除了計(jì)算比較方便外，得到的估計(jì)量還具有優(yōu)良特性。（這種方法對異常值非常敏感）設(shè)殘差平方和用Q表示，Q===，則通過Q最小確定這條直線，即確定和的估計(jì)值。以和為變量，把Q看作是和的函數(shù)，這是一個(gè)求極值的問題。求Q對和的偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，得正規(guī)方程，=2(-1)=0(1)=2(-xt)=0(2)下面用代數(shù)和矩陣兩種形式推導(dǎo)計(jì)算結(jié)果。首先用代數(shù)形式推導(dǎo)。由（1）、（2）式得，=0(3)xt=0(4)（3）式兩側(cè)用T除，并整理得，=(5)把上式代入（4）式并整理，得，xt=0(6)=0(7)=(8)因?yàn)?0，=0，分別在（8）式的分子和分母上減和得，=(9)=(10)下面用矩陣形式推導(dǎo)首先正規(guī)方程為=2(-1)=0(1)=2(-xt)=0(2)T+()=+()====這種形式在單位根檢驗(yàn)的理論分析中非常有用。3．最小二乘估計(jì)量和的特性線性特性這里指和分別是yt的線性函數(shù)。===令kt=，代入上式得=ktyt可見是yt的線性函數(shù)，是1的線性估計(jì)量。同理0也具有線性特性。無偏性：是指估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望值等于總體回歸系數(shù)的真值。利用上式E()=E(ktyt)=E[kt(0+1xt+ut)]=E(0kt+1ktxt+ktut)=E[1kt(xt-)+ktut]=1+E(ktut)=1因?yàn)閗t===0；并且ktxt=xt同樣可以證得E()=0所以，和的分布中心是1和0，那么方差或者標(biāo)準(zhǔn)差是衡量和是否接近1和0的重要參數(shù)。方差或者標(biāo)準(zhǔn)差越小，估計(jì)量和就越可靠。(3)有效性0,1的OLS估計(jì)量的方差比其他估計(jì)量的方差小。證明不需要掌握。Gauss-Marcov定理：若ut滿足E(ut)=0，D(ut)=2，那么用OLS法得到的估計(jì)量就具有最佳線性無偏性。估計(jì)量稱最佳線性無偏估計(jì)量（TheBestLinearUnbiasedEstimator）。最佳線性無偏估計(jì)特性保證估計(jì)值最大限度的集中在真值周圍，估計(jì)值的置信區(qū)間最小。注意：分清4個(gè)式子的關(guān)系。(1)真實(shí)的統(tǒng)計(jì)模型，yt=0+1xt+ut(2)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)模型，yt=+xt+(3)真實(shí)的回歸直線，E(yt)=0+1xt(4)估計(jì)的回歸直線，=+xt4．OLS回歸直線的性質(zhì)(1)殘差和等于零，=0由正規(guī)方程2(yt--xt)(-1)=0得(yt--xt)=(yt-)=()=0(2)估計(jì)的回歸直線=+xt過（,）點(diǎn)。正規(guī)方程(yt--xt)=0兩側(cè)同除樣本容量T，得=+。得證。(3)yt的擬合值的平均數(shù)等于其樣本觀測值的平均數(shù)，=。==(+xt)=+=。得證。(4)Cov(,xt)=0只需證明(xt-)=xt-=xt=xt(--xt)=0。上式為正規(guī)方程之一。(5)Cov(,)=0只需證明(-)=-==(+xt)=+xt=05．的估計(jì)在參數(shù)估計(jì)量和的方差中均含有隨機(jī)變量u的方差u2。由于u是一個(gè)無法測量的量，因而也不可能計(jì)算出u的方差。定義=其中2表示待估參數(shù)的個(gè)數(shù)?？梢宰C明E()=。是的無偏估計(jì)量。因?yàn)槭菤埐?，所以又稱作誤差均方?？捎脕砜疾煊^測值對回歸直線的離散程度。和的估計(jì)的方差是()=S2()=，()=S2()=6．yt的分布和的分布了解估計(jì)量的抽樣分布，是為了判別這些估計(jì)量接近其總體真實(shí)值的程度如何。根據(jù)假定條件utN(0,)，E(yt)=E(0+1xt+ut)=0+1xt+E(ut)=0+1xt。Var(yt)=Var(0+1xt+ut)=Var(0+1xt)+Var(ut)=yt是ut的線性函數(shù)，所以ytN(0+1xt,)?？梢宰C明E()=1，Var()=，E()=0，Var()=和是yt的線性函數(shù)，所以N(1,)，N(0,)7．?dāng)M合優(yōu)度的測量擬合優(yōu)度是指回歸直線對觀測值的擬合程度。顯然若觀測值離回歸直線近，則擬合程度好；反之則擬合程度差。圖2.3三種離差示意圖可以證明(yt-)2=(-)2+(yt-)2=(-)2+()2。SST（總離差平方和）=SSR（回歸平方和）+SSE（殘差平方和）證明(yt-)2=[(yt-)+(-)]2=(yt-)2+(-)2+2(yt-)(-)其中(yt-)(-)=(yt-)(xt-)=(yt-)xt-(yt-)=xt=0度量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量是可決系數(shù)（也稱作決定系數(shù)或者判定系數(shù)）。R2==（回歸平方和）/（總離差平方和）=SSR/SST所以R2的取值范圍是[0，1]。對于一組數(shù)據(jù)，SST是不變的，所以SSR↑（↓），SSE↓（↑）。SSR：舊指回歸平方和（regressionsumofsquares），現(xiàn)指殘差平方和（sumofsquaredresiduals）SSE：舊指殘差平方和（errorsumofsquares(sumofsquarederrors)），現(xiàn)指回歸平方和（explainedsumofsquares）8．回歸參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)及其置信區(qū)間最小二乘估計(jì)值和是由x和y的樣本觀測值求出的，為了確定它們的可靠程度，有必要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)是確定和是否顯著的不等于零，亦即檢驗(yàn)樣本是否取自其真實(shí)參數(shù)為零的總體。主要是檢驗(yàn)1是否為零。通常用樣本計(jì)算的不等于零，但應(yīng)檢驗(yàn)這是否有統(tǒng)計(jì)顯著性。原假設(shè)H0：1=0；備擇假設(shè)H1：10在H0成立條件下，t===-t(T-2)0t(T-2)若t>t(T-2)，則接受備擇假設(shè)H1：10，表明x對y有顯著影響；若t<t(T-2)，則接受原假設(shè)H0：1=0，表明x對y沒有顯著影響，一元線性回歸模型無意義。對0是否為零的檢驗(yàn)。原假設(shè)H0：0=0；備擇假設(shè)H1：00在H0成立條件下，t===若t>t/2(T-2)，則接受備擇假設(shè)H1：00，表明模型中應(yīng)該保留截距項(xiàng)；若t<t/2(T-2)，則接受原假設(shè)H0：0=0，表明一元線性回歸模型中不應(yīng)該包括截距項(xiàng)。上面的顯著性檢驗(yàn)如果得出拒絕j=0（j=0，1）的原假設(shè)，只能說明估計(jì)值是由取自參數(shù)j不為零的總體中的一組樣本觀測值所確定的。為了確定接近總體j的程度，我們需要構(gòu)造一個(gè)以為中心的區(qū)間，總體參數(shù)j在一定的置信度下落在這個(gè)區(qū)間之內(nèi)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中選擇的置信度（置信水平）一般為95%，說明總體參數(shù)j以95%的概率落在的置信區(qū)間內(nèi)，當(dāng)然還有5%的可能落在置信區(qū)間外。置信區(qū)間越小，說明估計(jì)值越接近總體參數(shù)j?？蛇x擇的置信度還有90%和99%。根據(jù)t分布來構(gòu)造置信區(qū)間。在原假設(shè)H0：1=0成立條件下，t=（具有T-2個(gè)自由度）那么我們根據(jù)置信度1-，查自由度為f=T-2的t分布表，得臨界值t，，t值落在（-t，t）的概率是1-，即P{t/2,(T-2)}=1-由大括號內(nèi)不等式得1的置信區(qū)間-t/2,(T-2)1+t/2,(T-2)可記作其中是=的算術(shù)根，而其中的是的算術(shù)根。0的置信區(qū)間同理可得。由此可以看出，置信區(qū)間的大小取決于回歸系數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差越小，置信區(qū)間越小，越接近j，估計(jì)結(jié)果就越可靠。9．yF的點(diǎn)預(yù)測及其區(qū)間預(yù)測下面以時(shí)間序列數(shù)據(jù)為例介紹預(yù)測問題。預(yù)測可分為事前預(yù)測和事后預(yù)測。兩種預(yù)測都是在樣本區(qū)間之外進(jìn)行，如圖所示。對于事后預(yù)測，被解釋變量和解釋變量的值在預(yù)測區(qū)間都是已知的?？梢灾苯佑脤?shí)際發(fā)生值評價(jià)模型的預(yù)測能力。對于事前預(yù)測，解釋變量是未發(fā)生的。當(dāng)預(yù)測被解釋變量時(shí)，則首先應(yīng)該預(yù)測解釋變量的值。對于解釋變量的預(yù)測，通常采用時(shí)間序列模型。預(yù)測式中所有解釋變量的值都是已知的稱為事后預(yù)測。T1T2T3（目前）樣本區(qū)間（1980-2005）事后預(yù)測事前預(yù)測（2007）對于模型yt=0+1xt+ut如果給定樣本以外的解釋變量的觀測值xF，有：yF=0+1xF+uF因?yàn)閤F不是原來回歸方程中的樣本，所以uF和原模型中的{ut}不相關(guān)。如何求出yF的合理的值或范圍，就是回歸分析中預(yù)測的內(nèi)容。具體分為點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測二類。yF的點(diǎn)預(yù)測。假定已知解釋變量x的一個(gè)特定值xF，代入樣本回歸方程：=+xt，可得=+xF則是yF的預(yù)測值，由于求出的是單個(gè)預(yù)測值，故稱為“點(diǎn)預(yù)測”。特定值xF是可以任意給定的。如果xF在樣本區(qū)間內(nèi)，則點(diǎn)預(yù)測過程稱為內(nèi)插預(yù)測，人們常常用內(nèi)插預(yù)測檢驗(yàn)樣本回歸方程的預(yù)測能力。如果在樣本區(qū)間之內(nèi)預(yù)測值接近樣本值yF，則說明在樣本區(qū)間內(nèi)的預(yù)測功效是好的。如果xF是樣本區(qū)間之外的點(diǎn)，則點(diǎn)預(yù)測過程稱為外推預(yù)測。實(shí)際預(yù)測時(shí)，常常做的是外推預(yù)測。單個(gè)yF的區(qū)間預(yù)測一個(gè)好的預(yù)測結(jié)果，一是無偏，二是預(yù)測的方差要小。我們可以證明點(diǎn)估計(jì)值有以下兩種不同的概念：①是總體真值yF的無偏估計(jì)值；②是總體回歸直線E(yF)的無偏估計(jì)值。的分布是N(0+1xF,(1++))所以，在置信度1-下，yF的區(qū)間預(yù)測是[t/2(T-2)]可知，當(dāng)置信水平1-給定之后，yF的預(yù)測區(qū)間的大小實(shí)際由絕對值的大小決定。xF越接近樣本區(qū)間內(nèi)解釋變量x的平均值，yF的置信區(qū)間就越小，預(yù)測結(jié)果就越可靠。E(yF)的區(qū)間預(yù)測E()的分布是E()N(0+1xF,(+))則E(yF)在置信度1-下的區(qū)間預(yù)測是[t/2(T-2)]yF和E(yF)的置信區(qū)間（置信帶或置信域）圖示如下：（1）樣本容量T越大，預(yù)測精度越高，反之預(yù)測精度越低；（2）樣本容量一定時(shí)，置信帶的寬度當(dāng)在x均值處最小，其附近進(jìn)行預(yù)測（插值預(yù)測）精度越大；x越遠(yuǎn)離其均值，置信帶越寬，預(yù)測可信度下降。10．案例：用回歸模型預(yù)測木材剩余物（file:b1c3）伊春林區(qū)位于黑龍江省東北部。全區(qū)有森林面積218.9732萬公頃，木材蓄積量為2.324602億m3。森林覆蓋率為62.5%，是我國主要的木材工業(yè)基地之一。1999年伊春林區(qū)木材采伐量為532萬m3。按此速度44年之后，1999年的蓄積量將被采伐一空。所以目前亟待調(diào)整木材采伐規(guī)劃與方式，保護(hù)森林生態(tài)環(huán)境。為緩解森林資源危機(jī)，并解決部分職工就業(yè)問題，除了做好木材的深加工外，還要充分利用木材剩余物生產(chǎn)林業(yè)產(chǎn)品，如紙漿、紙袋、紙板等。因此預(yù)測林區(qū)的年木材剩余物是安排木材剩余物加工生產(chǎn)的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。下面，利用一元線性回歸模型預(yù)測林區(qū)每年的木材剩余物。顯然引起木材剩余物變化的關(guān)鍵因素是年木材采伐量。給出伊春林區(qū)16個(gè)林業(yè)局1999年木材剩余物和年木材采伐量數(shù)據(jù)如表2.1。散點(diǎn)圖見圖2.14。觀測點(diǎn)近似服從線性關(guān)系。建立一元線性回歸模型如下：yt=0+1xt+ut表2.1年剩余物yt和年木材采伐量xt數(shù)據(jù)林業(yè)局名年木材剩余物yt（萬m3）年木材采伐量xt（萬m3）烏伊嶺26.1361.4東風(fēng)23.4948.3新青21.9751.8紅星11.5335.9五營7.1817.8上甘嶺6.8017.0友好18.4355.0翠巒11.6932.7烏馬河6.8017.0美溪9.6927.3大豐7.9921.5南岔12.1535.5帶嶺6.8017.0朗鄉(xiāng)17.2050.0桃山9.5030.0雙豐5.5213.8合計(jì)202.87532.00圖2.14年剩余物yt和年木材采伐量xt散點(diǎn)圖圖2.15EViews輸出結(jié)果EViews估計(jì)結(jié)果見圖2.15。建立EViews數(shù)據(jù)文件的方法見附錄1。在已建立Eviews數(shù)據(jù)文件的基礎(chǔ)上，進(jìn)行OLS估計(jì)的操作步驟如下：打開工作文件，從主菜單上點(diǎn)擊Quick鍵，選EstimateEquation功能。在出現(xiàn)的對話框中輸入ycx。點(diǎn)擊Ok鍵。立即會(huì)得到如圖2.15所示的結(jié)果。下面分析EViews輸出結(jié)果。先看圖2.15的最上部分。被解釋變量是yt。估計(jì)方法是最小二乘法。本次估計(jì)用了16對樣本觀測值。輸出格式的中間部分給出5列。第1列給出截距項(xiàng)（C）和解釋變量xt。第2列給出第1列相應(yīng)項(xiàng)的回歸參數(shù)估計(jì)值（和）。第3列給出相應(yīng)回歸參數(shù)估計(jì)值的樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s(),s()）。第4列給出相應(yīng)t值。第5列給出t統(tǒng)計(jì)量取值大于用樣本計(jì)算的t值（絕對值）的概率值。以t=12.11266為例，相應(yīng)概率0.0000表示統(tǒng)計(jì)量t取值（絕對值）大于12.1的概率是一個(gè)比萬分之一還小的數(shù)。換句話說，若給定檢驗(yàn)水平為0.05，則臨界值為t0.05/2(14)=2.15。t=12.1>2.15落在了H0的拒絕域，所以結(jié)論是1不為零。輸出格式的最下部分給出了評價(jià)估計(jì)的回歸函數(shù)的若干個(gè)統(tǒng)計(jì)量的值。依縱向順序，這些統(tǒng)計(jì)量依次是可決系數(shù)R2、調(diào)整的可決系數(shù)（第3章介紹）、回歸函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差（s.e.，即均方誤差的算術(shù)根）、殘差平方和、對數(shù)極大似然函數(shù)值（第2章介紹）、DW統(tǒng)計(jì)量的值、被解釋變量的平均數(shù)（）、被解釋變量的標(biāo)準(zhǔn)差（）、赤池（Akaike）信息準(zhǔn)則（是一個(gè)選擇變量最優(yōu)滯后期的統(tǒng)計(jì)量）、施瓦茨（Schwatz）準(zhǔn)則（是一個(gè)選擇變量最優(yōu)滯后期的統(tǒng)計(jì)量）、F統(tǒng)計(jì)量（第3章介紹）的值以及F統(tǒng)計(jì)量取值大于該值的概率。注意：S.D.（被解釋變量的標(biāo)準(zhǔn)差）和s.e.（均方誤差的算術(shù)根）的區(qū)別。s.e.和SSE的關(guān)系。因?yàn)?，而(2)就是SSE（殘差平方和），所以已知其中的一個(gè)就可以推算出另外一個(gè)。根據(jù)EViews輸出結(jié)果（圖2.15），寫出OLS估計(jì)式如下：=-0.7629+0.4043xt(2.64)(-0.6)(12.1)R2=0.91,s.e.=2.04其中括號內(nèi)數(shù)字是相應(yīng)t統(tǒng)計(jì)量的值。s.e.是回歸函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，即=。R2是可決系數(shù)。R2=0.91說明上式的擬合情況較好。yt變差的91%由變量xt解釋。檢驗(yàn)回歸系數(shù)顯著性的原假設(shè)和備擇假設(shè)是（給定=0.05）H0：1=0；H1：10因?yàn)閠=12.1>t0.05(14)=2.15，所以檢驗(yàn)結(jié)果是拒絕1=0，即認(rèn)為年木材剩余物和年木材采伐量之間存在回歸關(guān)系。上述模型的經(jīng)濟(jì)解釋是，對于伊春林區(qū)每采伐1m3木材，將平均產(chǎn)生0.4m3的剩余物。圖2.16給出相應(yīng)的殘差圖。Actual表示yt的實(shí)際觀測值，F(xiàn)itted表示yt的擬合值，Residual表示殘差。殘差圖中的兩條虛線與中心線的距離表示殘差的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，即s.e.。通過殘差圖可以看到，大部分殘差值都落在了正、負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（s.e.=2.04）之內(nèi)。圖2.16殘差圖估計(jì)1的置信區(qū)間。由t=P{t0.05/2(14)}=0.95得t0.05/2(14)1的置信區(qū)間是[-t0.05/2(14),+t0.05/2(14)][0.4043-2.150.0334,0.4043+2.150.0334][0.3325,0.4761](2.65)以95%的置信度認(rèn)為，1的真值范圍應(yīng)在[0.3325,0.4761]范圍中。下面求yt的點(diǎn)預(yù)測和平均木材剩余物產(chǎn)出量E(yt)的置信區(qū)間預(yù)測。假設(shè)烏伊嶺林業(yè)局2000年計(jì)劃采伐木材20萬m3，求木材剩余物的點(diǎn)預(yù)測值。2000=-0.7629+0.4043x2000=-0.7629+0.404320=7.3231萬m3(2.66)s2(E(2000))=(+)=4.1453(+)=0.4546 s(E(2000))==0.6742因?yàn)镋(2000)=E(+x2000)=0+1x2000=E(y2000)t=t(T-2)則置信度為0.95的2000年平均木材剩余物E(y2000)的置信區(qū)間是2000t0.05/2(14)s(E(2000))=7.32312.150.6742=[5.8736,8.7726](2.67)從而得出預(yù)測結(jié)果，2000年若采伐木材20萬m3，產(chǎn)生木材剩余物的點(diǎn)估計(jì)值是7.3231萬m3。平均木材剩余物產(chǎn)出量的置信區(qū)間估計(jì)是在[5.8736,8.7726]萬m3之間。從而為恰當(dāng)安排2000年木材剩余物的加工生產(chǎn)提供依據(jù)。木材剩余物產(chǎn)出量單點(diǎn)的置信區(qū)間的計(jì)算。s2(2000)=(1++)=4.1453(1++)=4.5999 s(2000)==2.1447EViews通過預(yù)測程序計(jì)算的結(jié)果是，木材剩余物產(chǎn)出量單點(diǎn)的置信區(qū)間的估計(jì)結(jié)果是2000t0.05/2(14)s(2000)=7.32312.152.145=[2.71，11.93]問題：估計(jì)結(jié)果中沒有顯著性，去掉截距項(xiàng)0可以嗎？答：依據(jù)實(shí)際意義可知，沒有木材采伐量就沒有木材剩余物，所以理論上0是可以取零的。而有些問題就不可以。例如家庭消費(fèi)和收入的關(guān)系。即使家庭收入為零，消費(fèi)仍然非零。一般來說，截距項(xiàng)的估計(jì)量沒有顯著性時(shí)，也不做剔出處理。本案例剔出截距項(xiàng)后的估計(jì)結(jié)果是=0.3853xt(28.3)R2=0.91,s.e.=2.0點(diǎn)預(yù)測值是2000=0.3853x2000=0.385320=7.7060萬m3附錄1：怎樣用EViews通過鍵盤輸入數(shù)據(jù)建立新工作文件的方法是從EViews主菜單中單擊File鍵，選擇New,Workfile。則打開一個(gè)數(shù)據(jù)范圍選擇框（WorkfileRange）。需要做出3項(xiàng)選擇。①選擇數(shù)據(jù)性質(zhì)。②啟始期（Startdate）。③終止期（Enddate）。3項(xiàng)選擇完畢后，點(diǎn)擊“OK”鍵。這時(shí)，會(huì)建立起一個(gè)尚未命名的工作文件（Workfile），且處于打開狀態(tài)。當(dāng)打開新工作文件或現(xiàn)有工作文件后，可以通過鍵盤輸入數(shù)據(jù)和追加數(shù)據(jù)。具體操作如下：從EViews主菜單中點(diǎn)擊Quick鍵，選擇EmptyGroup功能。這時(shí)會(huì)打開一個(gè)空白表格數(shù)據(jù)窗口（Group）如圖3所示。每一個(gè)空格代表一個(gè)觀測值位置。按列依次輸入每一個(gè)變量（或序列）的觀測值。鍵入每一個(gè)觀測值后，可通過按回車鍵（Enter鍵）或方向指示鍵（）進(jìn)行確認(rèn)。按方向指示鍵（）的好處是在確認(rèn)了當(dāng)前輸入的觀測值的同時(shí)，還把光標(biāo)移到了下一個(gè)待輸入位置。每一列數(shù)據(jù)上方的灰色空格是用于輸入變量名的。給變量命名時(shí)，字符不得超過16個(gè)。注意：下列名字具有特殊意義，給變量命名時(shí)，應(yīng)避免使用。它們是：ABS，ACOS，AR，ASIN，C，CON，CNORM，COEF，COS，D，DLOG，DNORM，ELSE，ENDIF，EXP，LOG，LOGIT，LPT1，LPT2，MA，NA，NRND，PDL，RESID，RND，SAR，SIN，SMA，SQR，THEN。附錄2：怎樣用EViews預(yù)測。以案例1為例，給定xt=20，求=？EViews預(yù)測步驟如下。（1）點(diǎn)擊Procs鍵選Changeworkfilerange功能。在彈出的對話框的Enddata選擇框處改為17。點(diǎn)擊OK鍵。（2）雙擊工作文件的Sample:117區(qū)域，在彈出的對話框的Samplerangepairs選擇框處把16改為117。（3）雙擊工作文件窗口中的x序列，打開x數(shù)據(jù)窗口。點(diǎn)擊Edit+/-鍵，使x數(shù)據(jù)窗口處于可編輯狀態(tài)。在t=17的x的觀測值位置輸入20。相當(dāng)于給定x=20。（4）打開估計(jì)式eq01窗口，點(diǎn)擊Forecast鍵。在S.E.選擇框處填入yfse，表示要yt的預(yù)測值（用YF表示）也要yt的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差（用yfse表示）。點(diǎn)擊OK鍵，工作文件窗口中已經(jīng)出現(xiàn)一個(gè)yf序列。雙擊yf序列，可以看到。y17=7.322668。1．相關(guān)理論相關(guān)分析是研究變量間相互關(guān)系的最基本方法。從相關(guān)分析中引出的相關(guān)系數(shù)是回歸分析的一個(gè)基本統(tǒng)計(jì)量。掌握它有助于對經(jīng)濟(jì)問題和經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型的分析與理解。1.1相關(guān)的定義與分類定義：相關(guān)（correlation）指兩個(gè)或兩個(gè)以上變量間相互關(guān)系的程度或強(qiáng)度。分類：①按強(qiáng)度分完全相關(guān)：變量間存在函數(shù)關(guān)系。例，圓的周長，L=2πr。高度相關(guān)（強(qiáng)相關(guān)）：變量間近似存在函數(shù)關(guān)系。例，我國家庭收入與支出的關(guān)系。弱相關(guān)：變量間有關(guān)系但不明顯。例，近年來我國耕種面積與產(chǎn)量。零相關(guān)：變量間不存在任何關(guān)系。例，某班學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與年齡。完全相關(guān)高度相關(guān)、線性相關(guān)、正相關(guān)弱相關(guān)②按變量個(gè)數(shù)分按形式分：線性相關(guān),非線性相關(guān)簡單相關(guān)：指兩個(gè)變量間相關(guān)按符號分：正相關(guān),負(fù)相關(guān),零相關(guān)復(fù)相關(guān)（多重相關(guān)和偏相關(guān)）：指三個(gè)或三個(gè)以上變量間的相關(guān)。非線性相關(guān)負(fù)相關(guān)零相關(guān)因非線性相關(guān)可以轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)處理，而復(fù)相關(guān)又可看作是簡單相關(guān)基礎(chǔ)上的拓展，所以后面重點(diǎn)介紹簡單線性相關(guān)。1.2簡單線性相關(guān)的度量用簡單線性相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）度量兩個(gè)變量間的線性相關(guān)強(qiáng)度，用表示。的隨機(jī)變量表達(dá)式是=。的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式是==其中T，總體容量；xt,yt，變量的觀測值；x,y，變量觀測值的均值。下面解釋為什么能對變量間的線性相關(guān)強(qiáng)度進(jìn)行定量度量。因?yàn)楸磉_(dá)式的分子是協(xié)方差，Cov(xt,yt)；分母是xi和yt的標(biāo)準(zhǔn)差之積。而xt和yt的標(biāo)準(zhǔn)差不會(huì)為零，所以Cov(xt,yt)是否為零，就決定了是否為零，即標(biāo)志著變量xt,yt間是否存在線性相關(guān)關(guān)系。但Cov(xt,yt)有兩個(gè)缺點(diǎn)：①它是一個(gè)有量綱的量，取值容易受測量單位的影響；②取值范圍寬，相關(guān)性越強(qiáng)，Cov(xt,yt)取值越大。為克服上述缺點(diǎn)，用xt,yt的標(biāo)準(zhǔn)差除Cov(xt,yt)，于是就得到相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式。它是一個(gè)無量綱量。相關(guān)系數(shù)是對總體而言。當(dāng)研究某個(gè)問題時(shí)，所得數(shù)據(jù)常是一個(gè)樣本。對樣本來說，相關(guān)系數(shù)常用r表示，即r是總體相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。r===其中T，樣本容量；xt,yt，變量的觀測值；,，變量觀測值的均值。1.3相關(guān)系數(shù)的取值范圍當(dāng)兩個(gè)變量嚴(yán)格服從線性關(guān)系時(shí),∣∣=1。證：設(shè)直線斜率為k，即y=a+kx。則有===1當(dāng)兩個(gè)變量不存在線性關(guān)系時(shí)，=0。(3)上述是兩種極端情形，所以相關(guān)系數(shù)的取值范圍是[-1，1]。當(dāng)Cov(xt,yt)>0時(shí)，則>0(正相關(guān))；當(dāng)Cov(xt,yt)<0時(shí)，則<0(負(fù)相關(guān))；若Cov(xt,yt)=0，則=0(零相關(guān))。為什么圖1為正相關(guān)？為什么圖2為負(fù)相關(guān)？用(xt–)(yt–)解釋。圖1正相關(guān)圖2負(fù)相關(guān)例1：考察1986年中國29個(gè)省市自治區(qū)農(nóng)作物種植業(yè)產(chǎn)值yt（億元）和農(nóng)作物播種面積xt（萬畝）的相關(guān)性（見圖1.9）。例2：考察1978~2000年天津市城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)與人均可支配收入的相關(guān)性性（見圖1.10）。圖1.9r=0.92圖1.10r=0.991.4線性相關(guān)系數(shù)的局限性(1)只適用于考察變量間的線性相關(guān)關(guān)系。也就是說當(dāng)=0時(shí)，只說明二變量間不存在線性相關(guān)關(guān)系，但不能保證不存在其它非線性相關(guān)關(guān)系。所以變量不相關(guān)與變量相互獨(dú)立在概念上是不同的。(2)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算是一個(gè)數(shù)學(xué)過程。它只說明二變量間的相關(guān)強(qiáng)度，但不能揭示這種相關(guān)性的原因，不能揭示變量間關(guān)系的實(shí)質(zhì)，即變量間是否真正存在內(nèi)在聯(lián)系，因果關(guān)系。所以在計(jì)算r的同時(shí)，還要強(qiáng)調(diào)對實(shí)際問題的分析與理解。(3)一般說二變量相關(guān)時(shí)，可能屬于如下一種關(guān)系。單向因果關(guān)系。如施肥量與農(nóng)作物產(chǎn)量；對金屬的加熱時(shí)間與溫度值。雙向因果關(guān)系。如工業(yè)生產(chǎn)與農(nóng)業(yè)生產(chǎn)；商品供給量與商品價(jià)格。③另有隱含因素影響二變量變化。如市場上計(jì)算機(jī)銷量與電視機(jī)銷量呈正相關(guān)。顯然人均收入的增加是一個(gè)隱含因素。④虛假相關(guān)。如年國民生產(chǎn)總值與刑事案件數(shù)呈正相關(guān)。顯然二變量間不存在因果關(guān)系。應(yīng)屬虛假相關(guān)。中國和美國某個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)高度相關(guān)，顯然這沒有可比性，毫無意義。(1997-2001，file:5correlation1)1.5簡單相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)(1)直接檢驗(yàn)（查相關(guān)系數(shù)臨界值表）H0：=0；H1：0用xt和yt的樣本計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，以自由度f=T-2查臨界值表。檢驗(yàn)規(guī)則是，若r>r(T-2)（臨界值），則xt和yt相關(guān)；若r<r(T-2)（臨界值），則xt和yt不相關(guān)。(2)t檢驗(yàn)H0：=0；H1：0t==t(T-2)其中2表示涉及兩個(gè)變量。若t>t(T-2)，則xt和yt相關(guān)；若t<t(T-2)，則xt和yt不相關(guān)。附錄：相關(guān)系數(shù)臨界值表f0.100.050.020.010.00110.987690.996920.9995070.9998770.999998820.900000.950000.980000.990000.9990030.80540.87830.934330.958730.9911640.72930.81140.88220.917200.9740650.66940.75450.83290.87450.9507460.62150.70670.78870.83430.9249370.58220.66640.74980.79770.898280.54940.63190.71550.76460.872190.52140.60210.68510.73480.8471100.49330.57600.65810.70790.8233110.47620.55290.63390.68350.8010120.45750.53240.61200.66140.7800130.44090.51390.59230.64110.7603140.42590.49730.57420.62260.7420150.41240.48210.55770.60550.7246160.40000.46830.54250.58970.7084170