高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步 單元測(cè)試二

單元測(cè)試二本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．A、B為空間兩點(diǎn)，l為一條直線，則過A、B且垂直于l的平面()A．不存在B．至多一個(gè)C．有且只有一個(gè)D．有無數(shù)個(gè)答案：B解析：當(dāng)l⊥AB時(shí)，存在唯一一個(gè)這樣的平面，當(dāng)l不垂直AB時(shí)，這樣的平面不存在．2．下列四個(gè)命題中，正確的為()①若兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合；②兩條直線可以確定一個(gè)平面；③若M∈α，M∈β，a∩β＝l，則M∈l；④空間中相交于同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)．A．①②B．①③C．②③D．③④答案：B解析：根據(jù)空間圖形的公理容易判斷①③是正確的．故選B.3．若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則直線a與平面α的位置關(guān)系是()A．a(chǎn)∥αB．a(chǎn)αC．a(chǎn)∥α或aαD．a(chǎn)?α答案：C解析：直線a沒有指明位置，有可能在平面α內(nèi)，也有可能平行于平面α.4．若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若mβ，α⊥β，則m⊥αB．若α∥β，mα，nβ，則m∥nC．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γD．若m⊥β，m∥α，則α⊥β答案：D解析：兩個(gè)平面垂直，一個(gè)平面內(nèi)的直線不一定垂直于另一個(gè)平面，所以A不正確；兩個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面內(nèi)的直線不一定平行，所以B不正確；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面不一定垂直，也可能平行，所以C不正確；根據(jù)面面垂直的判定定理，知D正確．5．已知α1，α2，α3是三個(gè)相互平行的平面．平面α1，α2之間的距離為d1，平面α2，α3之間的距離為d2.直線l與α1，α2，α3分別相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：C6．如圖1是一正方體被過棱的中點(diǎn)M、N和頂點(diǎn)A、D、C1的兩個(gè)截面截去兩個(gè)角后所得的幾何體，則該幾何體的主視圖為()圖1ABCD答案：B解析：根據(jù)三視圖的畫法可知選B.7．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()ABCD答案：B解析：由正視圖可把A、C排除，再由左視圖把D排除，故選B.8．如圖，已知在四面體C－ABD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則異面直線EF與CD所成的角為()A．90°B．45°C．60°D．30°答案：D解析：取AD的中點(diǎn)G，連接FG，EG，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，所以FG∥AB，且FG＝1，EG∥CD，且EG＝2，所以EF與CD所成的角即為EF與EG所成的角，即∠FEG.又EF⊥AB，即∠EFG＝90°，所以∠FEG＝30°.9．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2).將△沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中()A．存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直B．存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直C．存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直D．對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直答案：C解析：最簡(jiǎn)單的方法是取一長(zhǎng)方形動(dòng)手按照其要求進(jìn)行翻折，觀察翻折過程，即可知選項(xiàng)C是正確的．10．如圖，已知等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，將△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)得到△A′DE，則下列命題中錯(cuò)誤的是()A．動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱錐A′－EFD的體積有最大值D．異面直線A′E與BD不可能垂直答案：D解析：由于A′G⊥DE，F(xiàn)G⊥DE，所以DE⊥平面A′FG，平面A′FG⊥平面BCED，過點(diǎn)A′作平面ABC的垂線，則垂足在線段AF上，所以命題A，B正確；當(dāng)平面A′DE⊥平面BCED時(shí)，三棱錐A′－EFD的體積最大，所以命題C正確；因?yàn)锽D∥EF，設(shè)AC＝2a，所以EF＝A′E＝a，A′G＝GF＝eq\f(\r(3),2)a，當(dāng)A′F＝eq\r(2)a時(shí)，eq\r(2)a<A′G＋GF，A′E2＋EF2＝A′F2，所以異面直線A′E與BD可能垂直，所以命題D不正確．故選D.第Ⅱ卷(非選擇題共100分)二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上．11．一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形卷成圓柱側(cè)面，則此圓柱的軸截面的面積為________．答案：eq\f(a2,π)解析：設(shè)圓柱底面半徑為r，則2π·r＝a，r＝eq\f(a,2π)，故軸截面長(zhǎng)為a，寬為eq\f(a,π)，面積為eq\f(a2,π).12．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．答案：12＋π13．正方體AC1中，M、N分別為棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN為直角，則∠C1MN＝________.答案：90°解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1，∴MN⊥B1C1，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面MB1C1.∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.14．下列關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題中，正確的命題序號(hào)為________．①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱②若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱④若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱答案：②④解析：對(duì)于命題①，斜棱柱中的兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面可以同時(shí)垂直于底面，故①錯(cuò)誤．對(duì)于命題②，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則它們的交線一定垂直于底面，又這一交線是兩對(duì)角面的平行四邊形的中位線，所以四條側(cè)棱都垂直于底面，棱柱為直四棱柱，即②正確．對(duì)于命題③，如圖所示的斜四棱柱，它的所有棱長(zhǎng)都相等，且∠AA1B1＝∠AA1D1＝60°，這時(shí)它的四個(gè)側(cè)面兩兩全等，故③錯(cuò)誤．對(duì)于命題④，由四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等得到兩對(duì)角面是矩形，從而四棱柱是直四棱柱，故④正確．15．設(shè)m、n是異面直線，則下列四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)為______________．(1)一定存在平面α，使m?α且n∥α；(2)一定存在平面α，使m?α且n⊥α；(3)一定存在平面γ，使m、n到γ的距離相等；(4)一定存在無數(shù)對(duì)平面α、β，使m?α，n?β且α⊥β.答案：(1)(3)(4)解析：(1)正確，在直線m上任取一點(diǎn)作n的平行線n′，則直線m和n′相交，確定的平面為所求的α；(2)錯(cuò)誤，當(dāng)異面直線m、n不垂直的時(shí)候，就不存在平面α，使m?α且n⊥α；(3)正確，在異面直線m、n上各任意取一點(diǎn)A、B，過線段AB的中點(diǎn)作一個(gè)平面γ，使平面γ與異面直線都平行，則平面γ為所求；(4)正確，過直線m任作一個(gè)平面α，則過直線n的平面β繞著直線n旋轉(zhuǎn)時(shí)，一定有一個(gè)位置，使得平面β與平面α垂直．三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．(13分)下圖是4個(gè)三視圖和4個(gè)實(shí)物圖，請(qǐng)將三視圖和實(shí)物圖正確配對(duì)．(1)(2)(3)(4)ABCD解：利用作三視圖的方法判別．(1)的實(shí)物圖形是C；(3)和(4)的俯視圖可以看出，(3)(4)分別對(duì)應(yīng)B，A，于是(2)對(duì)應(yīng)D.17．(13分)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M，N分別是棱AB，PC的中點(diǎn)，平面CMN與平面PAD交于PE.(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN∥PE.證明：(1)如圖，取DC的中點(diǎn)Q，連接MQ，NQ.∵N，Q分別是PC，DC的中點(diǎn)，∴NQ∥PD.∵NQ?平面PAD，PD平面PAD，∴NQ∥平面PAD.∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，∴MQ∥AD.又∵M(jìn)Q?平面PAD，AD平面PAD，∴MQ∥平面PAD.∵M(jìn)Q∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.∵M(jìn)N平面MNQ，∴MN∥平面PAD.(2)∵平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，∴MN∥PE.18．(13分)已知在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AC＝eq\f(1,2)AB，N為AB上一點(diǎn)，AB＝4AN，M，D，S分別為PB，AB，BC的中點(diǎn)．(1)求證：PA∥平面CDM；(2)求證：SN⊥平面CDM.證明：(1)因?yàn)樵谌忮FP－ABC中，M，D分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以MD∥PA，因?yàn)镸D平面CDM，PA?平面CDM，所以PA∥平面CDM.(2)由(1)，知MD∥PA.又PA⊥平面ABC，所以MD⊥平面ABC.又SN平面ABC，所以MD⊥SN.在△ABC中，連接DS，因?yàn)镈，S分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DS∥AC，且DS＝eq\f(1,2)AC.又AB⊥AC，所以AD⊥DS.因?yàn)锳C＝eq\f(1,2)AB，所以AC＝AD，所以∠ADC＝45°，∠CDS＝45°.又AB＝4AN，所以DN＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)AC，即DN＝DS，所以∠SND＝45°，故SN⊥CD.又MD∩CD＝D，所以SN⊥平面CDM.19．(13分)如圖，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求證：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM∥平面BEC.解：(1)設(shè)BD中點(diǎn)為O，連接OC，OE，則由BC＝CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，所以BD⊥平面OCE.所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分線，所以BE＝DE.(2)取AB中點(diǎn)N，連接MN，DN，∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴MN∥BE，∵△ABD是等邊三角形，∴DN⊥AB.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.20．(14分)四棱錐P－ABCD的底面與四個(gè)側(cè)面的形狀和大小如圖所示．(1)寫出四棱錐P－ABCD中四對(duì)線面垂直關(guān)系(不要求證明)；(2)在四棱錐P－ABCD中，若E為PA的中點(diǎn)，求證：BE∥平面PCD.解：(1)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD.(2)證法一：取PD的中點(diǎn)F，連接EF，CF，∵E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，EF＝eq\f(1,2)AD，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝eq\f(1,2)AD，∴EF∥BC，且EF＝BC，∴四邊形BEFC是平行四邊形，∵BE∥CF.又∵CF?平面PCD，BE?平面PCD，∴BE∥平面PCD.證法二：取AD的中點(diǎn)N，連接EN，BN∵E，N分別是PA，AD的中點(diǎn)，∴EN∥PD，又∵EN?平面PCD，∴EN∥平面PCD在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝eq\f(1,2)AD＝DN，∴四邊形BCDN是平行四邊形，BN∥CD又∵BN?平面PCD，∴BN∥平面PCD∵BN∩EN＝N，∴平面BEN∥平面PCD.又BE?平面BEN，∴BE∥平面PCD.21．(14分)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC＝BC＝AA1＝a，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)．(1)求證：C1D⊥平面A1B1BA.(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上的什么位置時(shí)，AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．解：(1)∵AC＝BC，∴A1C1＝B1C1，