高中數(shù)學蘇教版第一章立體幾何初步單元測試 市一等獎

1．平面與平面的位置關系木工師傅用氣泡式水準儀在桌面上交叉放兩次，如果水準儀的氣泡都是居中的，就可以判定這個桌面和水平面平行．想一想，這是依據(jù)什么道理？如右圖，檢查工件的相鄰兩個平面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動，觀察尺邊是否與這個面密合就可以了．你知道這是為什么嗎？1．兩個平面之間有兩種位置關系：①兩個平面平行——沒有公共點；②兩個平面相交——有一條公共直線．2．(1)畫兩個平行平面時，表示平面的平行四邊形的對應邊平行．(2)畫兩個相交平面時，先畫表示平面的平行四邊形的相交兩邊，再畫出表示兩個平面相交的線段，然后在各點引同向且相等的線段，成圖時注意：不可見的部分畫成虛線或不畫．3．兩個平面平行的判定定理．(1)文字語言：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(2)符號語言：若a?β，b?β，a∥α，b∥α，a∩b＝P，則β∥α.4．利用判定定理證明兩個平面平行，必須具備的兩個條件是：①有兩條直線平行于另一個平面；②這兩條直線必須相交．5．由兩個平面平行的判定定理可以得到推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)兩條直線，那么這兩個平面平行．即a∥a′，b∥b′，a∩b＝P，a?α，b?α，a′?β，b′?β?α∥β.6．兩個平面平行的性質(zhì)定理．(1)文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行，簡記為：“若面面平行，則線線平行．”(2)符號語言：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b.(3)若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面，簡記為：“若面面平行，則線面平行．”用符號表示是：若α∥β，a?α，則a∥β．(4)若兩個平面平行，則夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等．7．與兩個平行平面都垂直的直線叫做這兩個平行平面的公垂線，公垂線夾在這兩個平行平面間的線段叫做這兩個平行平面的公垂線段，公垂線段的長度叫做這兩個平行平面的距離．8．二面角的概念：一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所成的圖形叫做二面角．9．(1)二面角的平面角：在二面角αlβ的棱l上任取一點O，以O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角αlβ的平面角．二面角的大小用它的平面角來度量．二面角的范圍是[0°，180°]，其中當兩個半平面重合時，二面角為0°；當兩個半平面合成一個平面時，二面角為180°.(2)作出二面角的平面角時應抓住三個要素：①確定二面角的棱上一點；②經(jīng)過這點分別在兩個面內(nèi)引射線；③所引的射線都垂直于棱．(3)求二面角的平面角的大小步驟是：①作出(或找出)二面角的平面角；②證明這個角是二面角的平面角；③作出這個角所在的三角形，解三角形，求出角．10．兩平面垂直的判定定理．(1)文字語言：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．簡稱：“若線面垂直，則面面垂直．”(2)符號語言：若AB?α，AB⊥β，則α⊥β.11．兩個平面垂直的性質(zhì)定理．(1)文字語言：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．(2)符號語言：若α⊥β，α∩β＝CD，AB?α且AB⊥CD于點B，則AB⊥β.,一、兩個平面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．該定理是證明兩個平面平行的重要方法，定理告訴我們“欲證明兩個平面平行只需證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線同時與另一個平面平行即可，而證明線面平行只需要證明線線平行”，其證明思路為：線線平行?線面平行?面面平行．兩個平面平行的判定定理的推論是：①如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．用數(shù)學符號表示為a∥a′，b∥b′，a∩b＝P，a?α，b?α，a′?β，b′?β?α∥β.②如果兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行．二、兩個平面平行的性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行．簡稱：“若面面平行，則線線平行．”該定理給出了兩個平行平面所具備的性質(zhì)，是證明線線平行和線面平行的重要依據(jù)．結(jié)合線面平行的判定定理我們可以得出兩個平面平行的另一條性質(zhì)，即“若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面”．三、二面角的平面角在二面角αlβ的棱l上任取一點O，以O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角αlβ的平面角．二面角的平面角范圍是[0°，180°]．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的大小是通過二面角的平面角來表示的，應當特別指出的是∠AOB的特征是：①“OA⊥l，OB⊥l”；②∠AOB的大小與點O在l上的位置無關．四、兩個平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．該定理告訴我們證明兩平面垂直的問題可以轉(zhuǎn)化為直線與平面垂直的問題進而轉(zhuǎn)化為線線垂直的問題．定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“平面與平面垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．另外，利用定義證明兩平面垂直也是一種常用的方法，即通過計算給出證明．五、兩個平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．從性質(zhì)定理可以看出，由平面與平面垂直可以得到直線與平面垂直．而由判定定理可以看出，由直線與平面垂直可以得到平面與平面垂直其轉(zhuǎn)化關系可表示為：這種相互轉(zhuǎn)化關系是解決空間圖形問題的重要思想方法．該定理也可以視為直線和平面垂直的判定定理，運用該性質(zhì)定理證明相關問題時，一般需要作輔助線——過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后，進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(鞏)eq\x(固)知識點一平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理1．平面內(nèi)α內(nèi)有兩條直線a，b都平行于平面β，則α與β的位置關系是(D)A．平行B．相交C．重合D．不能確定解析：兩條直線不一定相交，所以兩個平面的位置關系不能確定．2．下列說法中：(1)若平面α內(nèi)有兩條平行直線分別平行于平面β，則α∥β；(2)若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線分別平行于平面β，則α∥β；(3)若平面α內(nèi)任意一條直線都與平面β平行，則α∥β；(4)兩個平面平行于同一直線，則這兩個平面平行；(5)過已知平面外一條直線，必能作一個平面與已知平面平行；(6)平面α、β、γ，若α∥γ，β∥γ，則有α∥β.正確說法的序號是________．答案：(3)(6)3．平面α∥β，直線a?平面α，下列命題：①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)的無數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的任何直線都不平行；④a與β沒有公共點．其中正確說法的序號是________．解析：利用面面平行的性質(zhì)判斷．答案：②④知識點二平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理4．自二面角內(nèi)一點分別向兩個面引垂線，它們所成的角與二面角的平面角________．解析：這兩個角恰好為具有外接圓的四邊形的對角．答案：互補5．直線a與b垂直，b⊥平面α，則a與α的位置關系是________．解析：由線面垂直的性質(zhì)可得．答案：a?α或a∥α6．已知兩個平面垂直，下列命題①一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．其中正確命題的序號是________．解析：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知①③錯誤，②④正確．答案：②④eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)綜合點一平面與平面平行的綜合應用7．已知平面α∥平面β，P是α、β外一點，過點P的直線m與α、β分別交于點A、C，過點P的直線n與α、β分別交于點B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長為________．解析：分點P在兩面中間和點P在兩面的一側(cè)兩種情況來計算．答案：24或eq\f(24,5)8．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動時，則M滿足條件________時，有MN∥平面B1BDD解析：取B1C1的中點R，連接FR、NR，可證面FHNR∥面B1BDD1∴當M∈線段FH時，有MN?面FHNR.∴MN∥面B1BDD1.答案：M∈線段FH9．如圖，在棱長為2cm的正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中點是P，問過點A1作與截面PBC解析：如圖，取AB的中點M，取C1D1的中點N，連接A1M、A1N、CM、CN由于A1N綊PC1綊MC，所以四邊形A1MCN是平行四邊形．由于A1N∥PC1，A1N?平面PBC1，則A1N∥平面PBC1.同理，A1M∥平面PBC于是，平面A1MCN∥平面PBC1.過A1有且僅有一個平面與平面PBC1平行．故過點A1作與截面PBC1平行的截面是平行四邊形A1MCN.因為A1M＝MC，A1N綊MC,所以四邊形A1MCN是菱形，連接MN因為MB綊NC1，所以四邊形MBC1N是平行四邊形，所以MN＝BC1＝2eq\r在菱形A1MCN中，A1M＝eq\r(5)cm，所以A1C＝2eq\r(（A1M）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(MN,2)))\s\up12(2))＝2eq\r(3)(cm)．所以S菱形A1MCN＝eq\f(1,2)·A1C·MN＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(2)＝2eq\r(6)(cm2)．綜合點二兩個平面垂直的綜合應用10．如右圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.證明：(1)在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，連接BD，則△ABD為正三角形．因為G為AD的中點，所以BG⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)連接PG，∵△PAD為正三角形，G為AD中點，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.又∵PB?平面PBG，∴AD⊥PB.綜合點三面面平行證明中的一題多解11．如右下圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，其棱長為1.求證：平面AB1C∥平面A1C證明：方法一eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AA1綊BB1,BB1綊CC1,))?AA1綊CC1?AA1C1C為平行四邊形?AC∥A1Ceq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC∥A1C1,AC?平面A1C1D,A1C1?平面A1C1D))?AC∥平面A1C1D,同理AB1∥平面A1C1D,AC∩AB1＝A))?平面AB1C∥平面A1C1方法二易知AA1和CC1確定一個平面ACC1A1，于是eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面ACC1A1∩平面A1B1C1D1＝A1C1,平面ACC1A1∩平面ABCD＝AC,平面A1B1C1D1∥平面ABCD))?A1C1∥ACeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A1C1∥AC,A1C1?平面AB1C,AC?平面AB1C))?A1C1∥平面AB1C.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A1C1∥平面AB1C,同理A1D∥平面AB1C,A1C1∩A1D＝A1))?平面AB1C∥平面A1C1綜合點四探求面面垂直關系12．在直三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC中，A