高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列單元測(cè)試

河南省示范性高中羅山高中2023屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)單元過(guò)關(guān)練：必修五數(shù)列（理科含解析）1．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則（）A.B.C.2．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則等于()A．13B．35C．49D3．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足且，則此數(shù)列第5項(xiàng)是（）A．15B．255C．16D．4．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，且，則當(dāng)時(shí)，（）A.B.C.D.5．已知數(shù)列則是它的第（）項(xiàng)..20C6．設(shè)a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,其公比為2,則的值為()A.B.C.7．若數(shù)列滿(mǎn)足，，則稱(chēng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”。已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，且，則的最小值是（）A．2B．4C．6D．88．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）A．B．C．D．9．在等比數(shù)列{an}中，a2＝8，a5＝64，，則公比q為（）A．2B．3C．4D．810．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的值為（）A、B、C、D、411．在正項(xiàng)等比數(shù)列的兩根，則等于（） A．16 B．32 12．在數(shù)列中，，對(duì)于任意自然數(shù)，都有，則（）A.B.C.D.13．．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的最大值為.14．已知，且對(duì)任意都有①；②。則的值為_(kāi)___________。15．若等比數(shù)列的首項(xiàng)，且，則數(shù)列的公比是_______.16．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列定義如下：對(duì)于正整數(shù)是使得不等式成立的所有中的最大值，則，數(shù)列的通項(xiàng)公式．17．．若果數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則相應(yīng)的數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，運(yùn)用此性質(zhì)，可以較為簡(jiǎn)潔的求出一類(lèi)遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，并簡(jiǎn)稱(chēng)此法為雙等比數(shù)列法.已知數(shù)列中，，，且.（1）試?yán)秒p等比數(shù)列法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知，．（1）求首項(xiàng)和公比的值；（2）若，求的值．19．已知等差數(shù)列的公差,前項(xiàng)和為.(1)若成等比數(shù)列,求;(2)若,求的取值范圍.20．?dāng)?shù)列中，.⑴求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；⑵是否為該數(shù)列的項(xiàng)，為什么？⑶求證：；⑷在區(qū)間內(nèi)有無(wú)數(shù)列的項(xiàng)，若有，有幾項(xiàng)？若無(wú)，說(shuō)明理由.21．對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，若對(duì)一切恒成立，則對(duì)也恒成立是真命題．（1）若，，且，求證：數(shù)列前項(xiàng)和；（2）若，，求證：．22．已知無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n都有Sn3＝(Sn)3成立，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意正整數(shù)n，從集合{a1，a2，…，an}中不重復(fù)地任取若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)之間經(jīng)過(guò)加減運(yùn)算后所得數(shù)的絕對(duì)值為互不相同的正整數(shù)，且這些正整數(shù)與a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全體正整數(shù)組成的集合．(ⅰ)求a1，a2的值；(ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．參考答案1．B【解析】試題分析：設(shè)公比為，則由可得即，因?yàn)?，從而，求解得，又因?yàn)椋?，選B.考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.2．C【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及求和公式得：故選C3．B【解析】由且，得.4．C【解析】考點(diǎn)：等比數(shù)列及對(duì)數(shù)運(yùn)算由及數(shù)列為等比數(shù)列，可得，又，所以，則點(diǎn)評(píng)：此題為等比數(shù)列與函數(shù)結(jié)合的典型題型，表面上看有很大的計(jì)算量，實(shí)際上只要掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)計(jì)算公式便可以很快解決.5．C【解析】試題分析：觀察式子,其中根式里面的數(shù)字為以6為公差的等差數(shù)列.而，所以答案為C.考點(diǎn)：等差數(shù)列6．A【解析】將a2=a1×2,a3=a1×22,a4=a1×23代入求解.7．B【解析】試題分析：依題意可得，則數(shù)列為等比數(shù)列。又，則。，當(dāng)且僅當(dāng)即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào).考點(diǎn)：1.新定義；2.等比數(shù)列的性質(zhì)；3.基本不等式.8．B【解析】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，，所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).9．A【解析】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{an}中，a2＝8，a5＝64，，則公比q3=8，q=2,那么可知公比q為2，選A.10．A【解析】略11．C【解析】略12．D【解析】試題分析：因?yàn)椋杂校骸奂拥茫河散?②得：故選D．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．13．【解析】略14．【解析】試題分析：，所以.考點(diǎn)：抽象數(shù)列.15．.【解析】試題分析：，又∵等比數(shù)列，∴.考點(diǎn)：1.定積分的計(jì)算；2.等比數(shù)列基本量的計(jì)算.16．【解析】試題分析：∵對(duì)于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最大值，∴2n-3≤2解得，最大的整數(shù)為2，則；設(shè)，則所以，滿(mǎn)足的所有中的最大值（其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)）；故故答案為：2，．考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性；2．?dāng)?shù)列的應(yīng)用．17．解：（1）有條件知：，①所以是公比為的等比數(shù)列，故是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以：，②由①、②得。（2）【解析】略18．（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意利用等比數(shù)列的性質(zhì)將條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)一步求得的值；（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式列出關(guān)于的方程，進(jìn)一步求得的值,得到結(jié)果.試題解析：（1）,∴，解得．（2）由,得：∴∴．考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；3,。等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.19．（1）a1=-1或a1=2；（2）-5＜a1＜2．【解析】試題分析：（1）由公差d=1，可用d與a1表示，又成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)關(guān)系式可列出關(guān)于a1的方程即可求解；（2）由其中S5及a9可用a1表示，可化為關(guān)于的不等關(guān)系即可求其范圍.試題解析：（1）∵等差數(shù)列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，∴a12=1×(a1+2)，∴a12-a1-2=0∴a1=-1或a1=2；（2）∵等差數(shù)列{an}的公差d=1，且S5＞a1a9，∴5a1+10＞a12+8a1；∴a12+3a1∴-5＜a1＜2．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)關(guān)系式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，解一元二次不等式，化歸思想.20．⑴⑵不是該數(shù)列的項(xiàng)⑶證明略⑷當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有數(shù)列的項(xiàng)【解析】⑴，；⑵令，無(wú)整數(shù)解，不是該數(shù)列的項(xiàng).⑶，，，⑷由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有數(shù)列的項(xiàng).21．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】試題分析：（1）根據(jù)題中定義，結(jié)合得到，再利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和證明；（2）利用分子有理化化簡(jiǎn)得到，進(jìn)一步推得，再利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行證明.試題解析：（1），2分，4分，6分；7分（2），10分，11分，12分13分.考點(diǎn)：1.新定義型題目；2.等比數(shù)列；3.放縮法.22．（1）an＝1或an＝2n－1（2）a1＝1，a2＝3，an＝3n－1【解析】(1)設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)镾n3＝(Sn)3對(duì)任意正整數(shù)n都成立，所以分別取n＝1，n＝2時(shí)，則有：因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，所以d≥0.可得a1＝1，d＝0或d＝2.(4分)當(dāng)a1＝1，d＝0時(shí)，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；當(dāng)a1＝1，d＝2時(shí)，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.因此，共有2個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列滿(mǎn)足條件，通項(xiàng)公式為an＝1或an＝2n－1.(6分)(2)(ⅰ)記An＝{1,2，…，Sn}，顯然a1＝S1＝1.(7分)對(duì)于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1,2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1,2,3,4}，故1＋a2＝4，所以a2＝3.(9分)(ⅱ)由題意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述規(guī)則，共產(chǎn)生Sn個(gè)正整數(shù)．(10分)而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述規(guī)則產(chǎn)生的Sn＋1個(gè)正整數(shù)