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文檔簡介

實李代數(shù)完備化的若干條件張磊,嚴再立

(寧波大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,浙江寧波315211)

1引言

如果一個李代數(shù)的中心為0,所有的導子都是它的內(nèi)導子,則稱其為完備李代數(shù).完備李代數(shù)的概念源于完備群的概念,第一次出現(xiàn)在導子塔定理[1]中,它的正式定義由Jacobson[2]在1962年給出.完備李代數(shù)是比半單李代數(shù)更廣泛的一類李代數(shù).特征零代數(shù)閉域上的半單李代數(shù)是完備李代數(shù).在上世紀九十年代,孟道驥和合作者[3-7]系統(tǒng)發(fā)展了復數(shù)域上完備李代數(shù)的理論,特別地,他們給出了復可解完備李代數(shù)的結構.

由于冪零李代數(shù)的中心不為0,因此冪零李代數(shù)不是完備李代數(shù).即使這樣,完備李代數(shù)和冪零李代數(shù)依然有著緊密的關聯(lián).如果冪零李代數(shù)是一個可解完備李代數(shù)的極大冪零理想(冪零根基),則稱其為可完備化冪零李代數(shù).到目前為止,以下一些復冪零李代數(shù)是可完備化冪零李代數(shù).

(i)交換李代數(shù)和海森堡代數(shù)[3];

(ii)半單李代數(shù)的Borel子代數(shù)的極大冪零理想[4];

(iii)具有極大秩的冪零李代數(shù)[5];

(iv)Quasi-Heisenberg代數(shù)和一些兩步冪零李代數(shù)[7-8];

(v)某些filiform李代數(shù)[9];

(vi)某些Quasi-filiform李代數(shù)[10].

至今為止,對完備李代數(shù)的研究主要集中在復完備李代數(shù),對實完備李代數(shù)的研究還比較少.本文主要研究實完備李代數(shù)的結構,證明實李代數(shù)是完備李代數(shù)當且僅當其復化李代數(shù)是完備李代數(shù).

2基礎知識及主要定理

為介紹本文的一些定理及其證明,需要回顧李代數(shù)的基本定義和一些相關知識.

定義1設L是復數(shù)域上的有限維向量空間,并且假設在L中定義一種運算L×L→L,即在L中任意取兩個元素x,y都有唯一的元素與之對應,表示為(x,y)[x,y],稱為x和y的李括號,如果滿足以下條件,則稱L為復數(shù)域上的李代數(shù).

(L1)這個括號運算是雙線性的,即對于任意的x1,x2,y∈及任意復數(shù)a1,a2都有

[a1x1+a2x2,y]=a1[x1,y]+a2[x2,y];

(L2)[x,x]=0,對于任意的x∈L;

(L3)[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0,對于任意的x,y,z∈L.

有了李代數(shù)的定義之后可以回顧可解李代數(shù)和冪零李代數(shù)的概念,設L的一個理想序列

L(0)=L,L(1)=[L,L],L(2)=[L(1),L(1)],…,L(i)=[L(i-1),L(i-1)],….

如果存在一個正整數(shù)n使得L(n)=0,則稱L是可解李代數(shù).類似地設L的一個降中心理想序列

L0=L,L1=[L,L],L2=[L,L1],…,Li=[L,Li-1],….

如果存在n使得Ln=0,則稱L是冪零李代數(shù).注意到L(i)?Li對于所有的i都成立,因此所有的冪零李代數(shù)都是可解李代數(shù).

設D是李代數(shù)L的一個線性變換,如果D有

D([x,y])=[Dx,y]+[x,Dy],?x,y∈L,

則稱D為L的一個導子.導子的概念在[12-13]中也涉及到.設A∈L,記伴隨變換adA:L→L為

adA(X)=[A,X],?X∈L,

易知adA是L上的線性變換且滿足條件

adA[X,Y]=[adA(X),Y]+[X,adA(Y)],?X,Y∈L.

adA是由A誘導出的D的內(nèi)導子.記李代數(shù)L上所有導子的集合為Der(L),所有內(nèi)導子的集合為adL.

另外再記李代數(shù)L的中心為C(L)={z∈L|[x,z]=0,?x∈L}.有了導子、內(nèi)導子和中心的定義就可以引出完備的定義.

定義2一個域上的李代數(shù)L,如果滿足

C(L)=0,Der(L)=adL,

則稱李代數(shù)L是完備李代數(shù).

在上世紀90年代,孟道驥研究了復完備李代數(shù)的一般理論,對復可解完備李代數(shù)做了一個完整的敘述[3-5].

假設n是一個復冪零李代數(shù),h?Der(n)是n上的極大環(huán)面子代數(shù),即由半單線性變換組成的極大交換子代數(shù).定義一個復可解李代數(shù)L=h⊕n,它的李括號運算為

[h1+x1,h2+x2]=h1(x2)-h2(x1)+[x1,x2]n,h1,h2∈h;x1,x2∈n.

定理1假設L是復可解完備李代數(shù),則以下三條結論成立.

(i)L有分解L=h⊕n,其中h是L的極大交換子代數(shù),n是L的極大冪零理想,即冪零根基.

(ii)adh在n上的限制adh|n是Der(n)的交換子代數(shù),也是n上的極大環(huán)面子代數(shù).

(iii)h同構于n上的一個極大環(huán)面子代數(shù).

本文主要證明以下兩個定理.

定理2一個實李代數(shù)L是完備李代數(shù)當且僅當L的復化李代數(shù)L是完備李代數(shù).

定理3一個實冪零李代數(shù)n是可完備化冪零李代數(shù)當且僅當n的復化冪零李代數(shù)n是可完備化冪零李代數(shù).

3定理2的證明

證(i)充分性.假設L是完備李代數(shù),首先證明L的中心為0.反設L的中心不為0,即存在x1∈L,對于任意的x,y∈L有[x1,x]=0.對于[x+iy]∈L,有

[x1,x+iy]=[x1,x]+i[x1,y]=0.

由此可知L的中心不為0,這與條件L是完備李代數(shù)相矛盾,因此L的中心為0.

對于任意一個導子D∈Der(L),定義一個線性映射D∈End(L)為

D(a+ib)=D(a)+iD(b),?a,b∈L.

(1)

對于任意的a1,a2,b1,b2∈L,利用(1)式可以得到

D([a1+ib1,a2+ib2])=D([a1,a2]-[b1,b2])+iD([a1,b2]+[b1,a2]).

(2)

另一方面,有

[D(a1+ib1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2+ib2)]

=[D(a1)+iD(b1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2)+iD(b2)]

=D([a1,a2]-[b1,b2])+iD([a1,b2]+[b1,a2]).

(3)

結合(2)和(3)兩個式子可以發(fā)現(xiàn)

D([a1+ib1,a2+ib2])=[D(a1+ib1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2+ib2)].

由導子的定義可以得到D是L的一個導子.又由于L是完備李代數(shù),存在一個元素M=m1+im2∈L滿足D=adM,其中m1,m2∈L.因此對于任意的a∈L,可以推出

D(a)=D(a)=adM(a)=[m1+im2,a]=[m1,a]+i[m2,a].

從而m2=0,D(a)=[m1,a]=adm1(a),進而得出D=adm1,即D為L的內(nèi)導子.因此L是完備李代數(shù).

(ii)必要性.假設L是完備李代數(shù),則L的中心為0,易知L的中心也為0.那么接下來只需要證明L的導子都是其內(nèi)導子.對于任意的導子D∈Der(L),存在兩個線性映射D1,D2∈End(L)使得

D(a)=D1(a)+iD2(a),?a∈L.

(4)

對于任意的a,b∈L,由(4)可以推出

D([a,b])=[D(a),b]+[a,D(b)]=[D1(a)+iD2(a),b]+[a,D1(b)+iD2(b)]

=[D1(a),b]+i[D2(a),b]+[a,D1(b)]+i[a,D2(b)].

又由于

D([a,b])=D1([a,b])+iD2([a,b]),

可以得出

D1([a,b])=[D1(a),b]+[a,D1(b)],D2([a,b])=[D2(a),b]+[a,D2(b)].

這說明D1,D2都是L的導子.即存在X,Y∈L,使得D1=adX,D2=adY.將其代入(4)可知

D(a)=D1(a)+iD2(a)=adX(a)+iadY(a)=(adX+ad(iY))(a).

即D=ad(X+iY),那么L的導子就是其內(nèi)導子,再根據(jù)L的中心為0可得L是完備李代數(shù).

4定理3的證明

證(i)必要性.假設n是實可完備化冪零李代數(shù),也就是說,存在一個有極大冪零理想n的實可解完備李代數(shù)L.根據(jù)定理2可以直接得出,實可解完備李代數(shù)L的復化可解李代數(shù)L也是完備李代數(shù).注意到[L,L]?n,那么根據(jù)定理1,n是L的冪零根基.這就意味著n是一個可完備化冪零李代數(shù).

(ii)充分性.假設h是實冪零李代數(shù)n上的一個極大環(huán)面子代數(shù),也就是由半單線性變換構成的Der(n)的極大交換子代數(shù).令L=h⊕n為實可解李代數(shù),

[h1+x1,h2+x2]=h1(x2)-h2(x1)+[x1,x2]n,h1,h2∈h;x1,x2∈n.

設L=h⊕n是L的復化可解李代數(shù).根據(jù)假設,n是可完備化冪零李代數(shù),即存在一個復可解完備李代數(shù)s1=h1⊕n.注意到h是n的一個極大環(huán)面子代數(shù).根據(jù)文獻[11],h和h1在Der(n)的內(nèi)自同構下是共軛的.這說明李代數(shù)L同構于完備李代數(shù)s1,因此L是完備李代數(shù).現(xiàn)在根據(jù)定理2,L是完備李代數(shù).因為n是L的冪零根基,所以n是實可

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