初中數(shù)學(xué)滬科版九年級上冊第23章　解直角三角形 優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎

解直角三角形及方位角的應(yīng)用課后作業(yè)：方案（A）一、教材題目：P125練習(xí)T2，T3，P128練習(xí)T21．在Rt△ABC中，根據(jù)下列條件，解直角三角形（∠C=90°）；（1）∠A=30°，c=8；（2）a=35，c=35；（3）a=14，∠A=36°；（4）a=30，b=15.在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=8，AD=6，∠D=43°.求四邊形的面積（精確到）.一船向東航行，上午9：00到達燈塔C的西南60nmile的A處，上午10:00到達燈塔C的正南的B處.

(1)畫出示意圖；（2）求這船的航行速度（結(jié)果保留根號）.二、補充題目：部分題目來源于《典中點》7．(2023·牡丹江)在△ABC中，AB＝12eq\r(2)，AC＝13，cosB＝eq\f(\r(2),2)，則BC的長為()A．7B．8C．8或17D．7或1711．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3eq\r(6)，解這個直角三角形．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知b＝10，∠B＝60°，解這個直角三角形．13.(中考·常德)如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C＝45°，sinB＝eq\f(1,3)，AD＝1.(1)求BC的長；(2)求tan∠DAE的值．14.(2023·連云港)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D為AC延長線上一點，AC＝3CD，過點D作DH∥AB，交BC的延長線于點H.(1)求BD·cos∠HBD的值；(2)若∠CBD＝∠A，求AB的長．15.(2023·臺州)如圖，這是一把可調(diào)節(jié)座椅的側(cè)面示意圖，已知頭枕上的點A到調(diào)節(jié)器點O處的距離為80cm，AO與地面垂直，現(xiàn)調(diào)整靠背，把OA繞點O旋轉(zhuǎn)35°到OA′處，求調(diào)整后點A′比調(diào)整前點A的高度降低了多少厘米？(結(jié)果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈16.(中考·呼和浩特)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？(結(jié)果用非特殊角的三角函數(shù)表示即可)17.(2023·宜賓)如圖，某市對位于筆直公路AC上兩個小區(qū)A，B的供水路線進行優(yōu)化改造，供水站M在筆直公路AD上，測得供水站M在小區(qū)A的南偏東60°方向，在小區(qū)B的西南方向，小區(qū)A，B之間的距離為300(eq\r(3)＋1)米，求供水站M分別到小區(qū)A，B的距離．(結(jié)果可保留根號)答案教材1．解：(1)因為∠C＝90°，∠A＝30°，所以∠B＝60°.又因為c＝8，所以a＝csin30°＝8×eq\f(1,2)＝4.所以由勾股定理，得b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3).因為∠C＝90°，a＝35，c＝35eq\r(2)，所以由勾股定理，得b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(（35\r(2)）2－352)＝35.所以tanA＝eq\f(a,b)＝1，所以∠A＝45°，∠B＝45°.因為∠C＝90°，∠A＝36°，所以∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－90°－36°＝54°.因為sinA＝eq\f(a,c)，所以c＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(14,sin36°)≈24.又因為tanB＝eq\f(b,a)，所以b＝atanB＝14×tan54°≈19.(4)因為∠C＝90°，所以根據(jù)勾股定理，得c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(302＋152)＝15eq\r(5).因為tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(30,15)＝2，所以∠A≈63°26′，∠B≈26°34′.2．解：過點A作AE⊥CD于點E，則∠AED＝90°.在Rt△AED中，∠D＝43°，∠AED＝90°，所以sinD＝eq\f(AE,AD)，所以AE＝AD·sinD＝6×sin43°≈.所以S四邊形ABCD＝eq\f(（AB＋CD）·AE,2)≈eq\f(（4＋8）×,2)≈.3．解：(1)如圖．(2)在Rt△ABC中，∠A＝45°，∠B＝90°，cosA＝eq\f(AB,AC)，所以AB＝AC·cosA＝60·cos45°＝30eq\r(2)(nmile)．所以這船的航行速度為：eq\f(30\r(2),10－9)＝30eq\r(2)(nmile/h)．點撥：本題解題關(guān)鍵是正確作出示意圖．典中點點撥：首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得∠B的度數(shù)，然后分銳角三角形(如圖②)和鈍角三角形(如圖①)分別求得BD和CD的長后即可求得BC的長．11．解：在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(（3\r(6)）2＋（3\r(6)）2)＝6eq\r(3).∵tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3\r(6),3\r(6))＝1，∴∠A＝45°.∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°.12．解：∵∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝30°.∵tanB＝eq\f(b,a)，∴a＝eq\f(b,tanB)＝eq\f(10,tan60°)＝eq\f(10,\r(3))＝eq\f(10\r(3),3).∵sinB＝eq\f(b,c)，∴c＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(b,sin60°)＝eq\f(10,\f(\r(3),2))＝eq\f(20\r(3),3).方法點撥：已知一個銳角時，可以先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余來計算另一個銳角的度數(shù)．已知一個銳角及其對邊，常通過正切和正弦來解直角三角形．13.解：(1)在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1.在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝eq\f(1,3)，AD＝1，∴AB＝eq\f(AD,sinB)＝3，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝2eq\r(2)，∴BC＝BD＋DC＝2eq\r(2)＋1.∵AE是BC邊上的中線，∴CE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)＋eq\f(1,2)，∴DE＝CE－CD＝eq\r(2)－eq\f(1,2)，∴tan∠DAE＝eq\f(DE,AD)＝eq\r(2)－eq\f(1,2).14.解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DHC，∴eq\f(AC,DC)＝eq\f(BC,HC).∵AC＝3CD，BC＝3，∴CH＝1.∴BH＝BC＋CH＝4.在Rt△BHD中，cos∠HBD＝eq\f(BH,BD).∴BD·cos∠HBD＝BH＝4.(2)方法一：∵∠A＝∠CBD，∠ABC＝∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴eq\f(BC,HD)＝eq\f(AB,BH).∵△ABC∽△DHC，∴eq\f(AB,DH)＝eq\f(AC,DC)＝eq\f(3,1)，∴AB＝3DH，∴eq\f(3,DH)＝eq\f(3HD,4)，∴DH＝2，∴AB＝6.方法二：∵∠CBD＝∠A，∠BDC＝∠ADB，∴△CDB∽△BDA，∴eq\f(CD,BD)＝eq\f(BD,AD)，即BD2＝CD·AD.∵AC＝3CD，∴AD＝4CD.∴BD2＝CD·4CD＝4CD2.∴BD＝2CD.∵△CDB∽△BDA，∴eq\f(CD,BD)＝eq\f(BC,AB).∴eq\f(CD,2CD)＝eq\f(3,AB).∴AB＝6.15.解：過點A′作A′H⊥OA于點H，由旋轉(zhuǎn)可知，OA′＝OA＝80cm，在Rt△OA′H中，OH＝OA′cos35°≈80×＝(cm)．∴AH＝OA－OH≈80－＝≈14(cm)．答：調(diào)整后點A′比調(diào)整前點A的高度降低了14cm.16．解：如圖，過點P作PD⊥AB于點D.由題意知∠DPB＝∠DBP＝45°.在Rt△PBD中，sin45°＝eq\f(PD,PB)＝eq\f(\r(2),2)，∴PB＝eq\r(2)PD.∵點A在點P的北偏東65°方向上，∴∠APD＝90°－65°＝25°.在Rt△PAD中，cos25°＝eq\f(PD,PA).∴PD＝PAcos25°＝80cos25°(海里)，∴PB＝80eq\r(2)cos25°海里，即海輪所在的B處距離燈塔P80eq\r(2)cos25°海里．17．解：如圖，過點M作MN⊥AB于點N，設(shè)MN＝x米．在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，∠MAN＝30°，∠AMN＝60°，∴MA＝2MN＝2x米，AN＝MN·tan∠AMN＝eq\r(3)x米．