高中物理競賽模擬試題四

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一.如圖11-16所示，兩個木塊A和B，質(zhì)量的的別為mA和mB，緊挨著并排放在水平桌面上，A，B間的接觸面垂直于圖面而且與水平成θ角。A，B間的接觸面是光潔的，但它們與水平桌面間有摩擦，靜摩擦系數(shù)和滑動摩擦系數(shù)均為μ。開頭時A，B都靜止，現(xiàn)施一水平推力

F于A，要使A，B向右加速運動，且A，B間不發(fā)生相對滑動，則

1．μ的數(shù)值應(yīng)滿足什么條件？

2．推力的最大值不能超過多少？（只考慮平動，不考慮轉(zhuǎn)動問題）

解：1）、令N表示A，B間的互相作用力，垂直

于接觸面，如圖11-17所示。若A相對于B發(fā)生滑動，則A在豎直方向必有加速度。現(xiàn)要使A相對于B不滑動，則A受的力N在豎直方向的分力必需小

于或等于A的重力。所以要使B向右加速運動而同時A相對于B不滑動，必需同時滿足下列二式：

,0)cos(sin>=+-amNgmNBAθμθ（1）.cosgmNA≤θ（2）由（1），（2）二式可解得

.

tanθμB

AA

mmm+，所以溫度下降到-20°C前A絲即被拉斷。A絲斷后。F=0，即使溫度再下降無數(shù)，B絲也不會斷。

三.如圖31-8所示，MN為一豎直墻，一平面鏡OB繞過O點的垂直于圖畫的水平軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度為ω，在墻上的A點有一水平光軸投射到平面鏡上被反射后又射到墻上形成一光點D，試求此時反射點在墻上移動的速度。已知AO=d，此刻平面鏡與墻面間的夾角為θ。

分析一：作出墻面在鏡中的像MO'如圖31-9所示，其中A'點為A點的像，

因為物像對稱，故圖中應(yīng)有θ2,,='∠'⊥'-='AAOMOACdAOOA，且

CDA'三點共線。在MN看來，D點的光芒猶如是由A'點沿直線CDA'射來的一樣，墻面MO的像OM'

相對于MN以速度ω2轉(zhuǎn)動。因為這一轉(zhuǎn)動，一方面使得A'點以

OAV'?=ω20沿AD'方向運動，

明顯這一運動并不會使光點

在墻上發(fā)生移動；另一方面，則有“光芒”CDA'也隨OM'

一道相對于墻面A'點以角速度ω2轉(zhuǎn)動，由此明顯會造成光點D在墻上的移動，綜合以上兩項可知，此時討論光點在墻面上的移動，只要考慮“光芒”CDA'轉(zhuǎn)動造成的效果就可以了。

解一：在圖31-9中，設(shè)經(jīng)受一段很短的時光t?，則CDA'繞A'點轉(zhuǎn)運的角度為t?=?ωα2，墻上的光點剛由D點移至F點，設(shè)此時間點移動

的速度大小為υ（因為t?很小，則DF也很短，可以近似地把光點在這段距離上的運動看成是勻速運動），則

圖31-8

圖31-9

M

FD

A

tDF?=υ

另一方面，因為t?很小，則α?也很小，在FA'上取DAEA'='，則有

2π

=

'∠≈'∠EDADEA

θ

π

22

-=

'∠≈'∠DAAFDA

θ

θπ2cos22sinDE

DEDF=

??

???-=

而在DEA'?∠中又近似有

tOADADE???'=??'=ωθα22tantd??=θω2tan2以DE之表達式代入前式中，便得

t

dDF?=

θθ

ω2cos2tan2

故有：

θθωυ2cos2tan2dtDF=?=

分析二：如圖31-10所示，設(shè)MO在鏡中的像為OM'

，明顯，反射光芒CD的像DC'與入射光芒AC共線，當平面鏡OB轉(zhuǎn)動時，D點在墻MN上移動，其對應(yīng)的像點D'則在像MO'上移動。D'點沿MO'移動的速度大小與D點沿MN移動的速度大小是相等的，故由此求出D'沿MO'移動的速度大小便求出了D點沿MN移動的速度大小。

D'點是射線AC與OM'的交點。在題述狀況下，射線AC不動，MO則繞

O點以角速度ω2轉(zhuǎn)動，因為這一轉(zhuǎn)動導致D'點移動。此時D'點的運動可以

看成是由兩個分運動合成的合運動，這兩個分運動是：因為MO'以速度ω2轉(zhuǎn)動而導致D'點

隨OM'

一道轉(zhuǎn)動和D'相對于OM'在OM'上向遠離O點的方向運動。這兩個分運動合成的合運動是D'點沿射線AC遠離A點的運動。上述兩分運動對應(yīng)的分速度分離如圖31-10中的⊥V和

//V（其中⊥V的分方向與OM'垂直，大小為ω2?'=⊥DOV，合速度即為DV'。

解二：如圖31-10，在DOA'?中，有

θ2cosd

DO=

'

圖31-10

在速度合成的平行四邊形中

θθωθωθ2cos2tan22tan22tan//dDOVV=

?'==⊥

即時此光點D沿墻面移動的速度大小為θθ

ω2cos2tan2d。

四．如圖31—35所示，海島城市A離C海岸120km，海濱城市B離C點160km，已知陸地上汽車速度是海上輪船速度的2倍，要使A、B兩城市之間運輸時光最少，轉(zhuǎn)運碼頭D建在何處最佳？

解法一：應(yīng)用數(shù)學學問求解：

設(shè)∠ADC=α，則AD=αα

sin120

sin=

ACBD=CB-CD=160-ααα

sincos120220tan120-

=vvvt80

sincos601202sincos120220sin120+-=-+=∴αα

ααα

對于()ααcos60,sin-可看作橢圓方程()1

602

2=???

??+-yx上的點。

令

αα

sincos60120-=

m，m值為點（0，120）與()ααcos60,sin-的斜率，從而不難求出

m的最小值，

23

sin=

α

3tan=∴α，從而可得：CD=km

340tan120

=α

(

)

kmDB340160-=∴

即碼頭應(yīng)建在距B城(

)km340160-處。上面這種辦法，通過構(gòu)想一個橢圓，把代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為幾何運算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)構(gòu)的思想。

解法二：費馬原理

費馬指出：光在指定的兩點間傳揚，實際的光程總是一個極值。也就是說，光沿光程值為最小、最大或恒定的路程傳揚。這是幾何學中的一個最普遍的基本原理，稱為費馬原理。

在普通狀況下，實際光程大多是取最小值。費馬本人最初提出的也是最短光程。光在均

35

31-圖

勻介質(zhì)中的傳揚，在平面分界面上的反射和折射，都是最短光程的例子。

把CB設(shè)想為空氣和水的分界面，光在水中的速度為v，在空氣中的速度為2v，則當A發(fā)

出的光以臨界角

302arcsin

==vv

θ入射到界面上時，按照費馬原理可知：BDA→→為

光芒由A傳到B的最小的路徑，所以要使A、B兩城市之間運輸時光最少，轉(zhuǎn)運碼頭D與海島

城市A的連線與海岸的夾角

60=α

km

kmACCD3403120

60tan===

()

kmBD340160-=∴

即碼頭應(yīng)建在距B城()

km340160-處。

比較上述兩種解法可看出：把船在水中的運動設(shè)想為光在水中的傳揚，靈便應(yīng)用費馬原理（光程最短），把復雜的數(shù)學求極值轉(zhuǎn)化為物理中的全反射現(xiàn)象，化繁為簡，使解題步驟大大簡化，提高了解題的效率。

五．絕緣光潔水平面上固定一個正點電荷+Q，另一個質(zhì)量為m、帶電量為-q的質(zhì)點在水平面上繞+Q做橢圓運動，運動過程中-q在水平方向上只受+Q的庫侖引力作用。已知在-q的運動中距+Q的最近距離為a，最遠距離為最近距離的n倍。問：-q到達離+Q最近距離處速率ν1多大？到達離+Q最遠距離處速率ν2多大？當-q到達離+Q最遠處時，欲要-q變?yōu)槔@+Q做勻速圓周運動，需要向-q提供多少能量？

解：q-在運動中惟獨庫侖力做功，動能與電勢能總和保持不變，運用開普勒行星運動其次定律有：

nakmvakmv-=-2

2212121，21nvv=，

聯(lián)拉方程可解出1v和2v：

maknnv211+=，

maknnnv2)1(2

+=，q-在最遠點從橢圓運動變?yōu)閯蛩賵A周運動后，其速率要由2v變?yōu)?

v'，而2v'由牛頓其次定律求出：

navmna

k222

)('=

，則

nak

nnmvvmE21121212222+-=-'=

?。

六.鈾U23892的半衰期τ=45億年，最后衰變成穩(wěn)定的鉛.20682Pb，假設(shè)從有地球開頭鈾

就延續(xù)衰變，現(xiàn)在測出礦石中所含鈾和鉛的質(zhì)量之比為.6.3:4試確定地球的年齡。

解：設(shè)發(fā)射性元素U238

92衰變前的原子核數(shù)為N，衰變后剩余原子核數(shù)為,N由半衰期

概念可知

τ

tNN)

21(0=按照題意可得

6.34)12(206238=-=τtPbUNMM

由此可得04.22=τ

t

兩邊取對數(shù)后有

04.212145ggt

=

解得46=t億年

所以，地球的年齡約為46億年。

七.45027.邊長為a的正方形導線框置于按空間勻稱分布的磁場區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強度B的方向與線框平面垂直，B隨時光按正弦邏輯變化，如圖45-26(a)所示。若線框中產(chǎn)生的最大感應(yīng)電流為Im，導線的電阻率為ρ，求導線的橫截面積。

分析：已知電阻率ρ和線框的長度a，要求導線的橫截面積S，則必需

求得線框的電阻R。而已知mI求R，則必需求感應(yīng)電動勢的最大值mε。感應(yīng)電動勢是由于B

的變化引起穿過線框的磁通量變化而產(chǎn)生的，但是我們無法用初等數(shù)學學問求出磁量的變化率，也無法求出感應(yīng)電動勢。我們用等效法來解開這個難題。

現(xiàn)在將圖45-26(a)的狀況等效為圖45-26(b)的狀況。這兩種狀況之所以等效，是由于：圖45-26(a)中B按正弦

邏輯變化，線框面積2

a不變，從而使穿過線框的磁通量按

正弦邏輯變化；圖45-26(b)中B不變，B

穿過線框的有效面積按正弦邏輯變化，從而使穿過

圖45-26(a)

B

B-O

律變化。假如令轉(zhuǎn)速

Tπω2=

（T線框的磁通量按正弦規(guī)為圖45-26(a)中B按正弦邏輯變化的周期），初始位置時B與線框平面平行，圖45-26(b)中的B為圖45-26(a)中的

mB，

那么兩圖中的線

框的磁通量變化狀況就徹低相同了，即等效了。圖45-26(b)中感應(yīng)電流的最大值即

為圖45-26(a)中感應(yīng)電

流的最大值。解：線框中感應(yīng)電

動勢的最大值為

TaBTaBaBmmmm2

2