高中物理競賽模擬試題四

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦高中物理競賽模擬試題四高中物理比賽模擬試題四

一.如圖11-16所示，兩個(gè)木塊A和B，質(zhì)量的的別為mA和mB，緊挨著并排放在水平桌面上，A，B間的接觸面垂直于圖面而且與水平成θ角。A，B間的接觸面是光潔的，但它們與水平桌面間有摩擦，靜摩擦系數(shù)和滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為μ。開頭時(shí)A，B都靜止，現(xiàn)施一水平推力

F于A，要使A，B向右加速運(yùn)動(dòng)，且A，B間不發(fā)生相對滑動(dòng)，則

1．μ的數(shù)值應(yīng)滿足什么條件？

2．推力的最大值不能超過多少？（只考慮平動(dòng)，不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)問題）

解：1）、令N表示A，B間的互相作用力，垂直

于接觸面，如圖11-17所示。若A相對于B發(fā)生滑動(dòng)，則A在豎直方向必有加速度?，F(xiàn)要使A相對于B不滑動(dòng)，則A受的力N在豎直方向的分力必需小

于或等于A的重力。所以要使B向右加速運(yùn)動(dòng)而同時(shí)A相對于B不滑動(dòng)，必需同時(shí)滿足下列二式：

,0)cos(sin>=+-amNgmNBAθμθ（1）.cosgmNA≤θ（2）由（1），（2）二式可解得

.

tanθμB

AA

mmm+，所以溫度下降到-20°C前A絲即被拉斷。A絲斷后。F=0，即使溫度再下降無數(shù)，B絲也不會(huì)斷。

三.如圖31-8所示，MN為一豎直墻，一平面鏡OB繞過O點(diǎn)的垂直于圖畫的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω，在墻上的A點(diǎn)有一水平光軸投射到平面鏡上被反射后又射到墻上形成一光點(diǎn)D，試求此時(shí)反射點(diǎn)在墻上移動(dòng)的速度。已知AO=d，此刻平面鏡與墻面間的夾角為θ。

分析一：作出墻面在鏡中的像MO'如圖31-9所示，其中A'點(diǎn)為A點(diǎn)的像，

因?yàn)槲锵駥ΨQ，故圖中應(yīng)有θ2,,='∠'⊥'-='AAOMOACdAOOA，且

CDA'三點(diǎn)共線。在MN看來，D點(diǎn)的光芒猶如是由A'點(diǎn)沿直線CDA'射來的一樣，墻面MO的像OM'

相對于MN以速度ω2轉(zhuǎn)動(dòng)。因?yàn)檫@一轉(zhuǎn)動(dòng)，一方面使得A'點(diǎn)以

OAV'?=ω20沿AD'方向運(yùn)動(dòng)，

明顯這一運(yùn)動(dòng)并不會(huì)使光點(diǎn)

在墻上發(fā)生移動(dòng)；另一方面，則有“光芒”CDA'也隨OM'

一道相對于墻面A'點(diǎn)以角速度ω2轉(zhuǎn)動(dòng)，由此明顯會(huì)造成光點(diǎn)D在墻上的移動(dòng)，綜合以上兩項(xiàng)可知，此時(shí)討論光點(diǎn)在墻面上的移動(dòng)，只要考慮“光芒”CDA'轉(zhuǎn)動(dòng)造成的效果就可以了。

解一：在圖31-9中，設(shè)經(jīng)受一段很短的時(shí)光t?，則CDA'繞A'點(diǎn)轉(zhuǎn)運(yùn)的角度為t?=?ωα2，墻上的光點(diǎn)剛由D點(diǎn)移至F點(diǎn)，設(shè)此時(shí)間點(diǎn)移動(dòng)

的速度大小為υ（因?yàn)閠?很小，則DF也很短，可以近似地把光點(diǎn)在這段距離上的運(yùn)動(dòng)看成是勻速運(yùn)動(dòng)），則

圖31-8

圖31-9

M

FD

A

tDF?=υ

另一方面，因?yàn)閠?很小，則α?也很小，在FA'上取DAEA'='，則有

2π

=

'∠≈'∠EDADEA

θ

π

22

-=

'∠≈'∠DAAFDA

θ

θπ2cos22sinDE

DEDF=

??

???-=

而在DEA'?∠中又近似有

tOADADE???'=??'=ωθα22tantd??=θω2tan2以DE之表達(dá)式代入前式中，便得

t

dDF?=

θθ

ω2cos2tan2

故有：

θθωυ2cos2tan2dtDF=?=

分析二：如圖31-10所示，設(shè)MO在鏡中的像為OM'

，明顯，反射光芒CD的像DC'與入射光芒AC共線，當(dāng)平面鏡OB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)在墻MN上移動(dòng)，其對應(yīng)的像點(diǎn)D'則在像MO'上移動(dòng)。D'點(diǎn)沿MO'移動(dòng)的速度大小與D點(diǎn)沿MN移動(dòng)的速度大小是相等的，故由此求出D'沿MO'移動(dòng)的速度大小便求出了D點(diǎn)沿MN移動(dòng)的速度大小。

D'點(diǎn)是射線AC與OM'的交點(diǎn)。在題述狀況下，射線AC不動(dòng)，MO則繞

O點(diǎn)以角速度ω2轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)檫@一轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致D'點(diǎn)移動(dòng)。此時(shí)D'點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以

看成是由兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成的合運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)是：因?yàn)镸O'以速度ω2轉(zhuǎn)動(dòng)而導(dǎo)致D'點(diǎn)

隨OM'

一道轉(zhuǎn)動(dòng)和D'相對于OM'在OM'上向遠(yuǎn)離O點(diǎn)的方向運(yùn)動(dòng)。這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成的合運(yùn)動(dòng)是D'點(diǎn)沿射線AC遠(yuǎn)離A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。上述兩分運(yùn)動(dòng)對應(yīng)的分速度分離如圖31-10中的⊥V和

//V（其中⊥V的分方向與OM'垂直，大小為ω2?'=⊥DOV，合速度即為DV'。

解二：如圖31-10，在DOA'?中，有

θ2cosd

DO=

'

圖31-10

在速度合成的平行四邊形中

θθωθωθ2cos2tan22tan22tan//dDOVV=

?'==⊥

即時(shí)此光點(diǎn)D沿墻面移動(dòng)的速度大小為θθ

ω2cos2tan2d。

四．如圖31—35所示，海島城市A離C海岸120km，海濱城市B離C點(diǎn)160km，已知陸地上汽車速度是海上輪船速度的2倍，要使A、B兩城市之間運(yùn)輸時(shí)光最少，轉(zhuǎn)運(yùn)碼頭D建在何處最佳？

解法一：應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問求解：

設(shè)∠ADC=α，則AD=αα

sin120

sin=

ACBD=CB-CD=160-ααα

sincos120220tan120-

=vvvt80

sincos601202sincos120220sin120+-=-+=∴αα

ααα

對于()ααcos60,sin-可看作橢圓方程()1

602

2=???

??+-yx上的點(diǎn)。

令

αα

sincos60120-=

m，m值為點(diǎn)（0，120）與()ααcos60,sin-的斜率，從而不難求出

m的最小值，

23

sin=

α

3tan=∴α，從而可得：CD=km

340tan120

=α

(

)

kmDB340160-=∴

即碼頭應(yīng)建在距B城(

)km340160-處。上面這種辦法，通過構(gòu)想一個(gè)橢圓，把代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)構(gòu)的思想。

解法二：費(fèi)馬原理

費(fèi)馬指出：光在指定的兩點(diǎn)間傳揚(yáng)，實(shí)際的光程總是一個(gè)極值。也就是說，光沿光程值為最小、最大或恒定的路程傳揚(yáng)。這是幾何學(xué)中的一個(gè)最普遍的基本原理，稱為費(fèi)馬原理。

在普通狀況下，實(shí)際光程大多是取最小值。費(fèi)馬本人最初提出的也是最短光程。光在均

35

31-圖

勻介質(zhì)中的傳揚(yáng)，在平面分界面上的反射和折射，都是最短光程的例子。

把CB設(shè)想為空氣和水的分界面，光在水中的速度為v，在空氣中的速度為2v，則當(dāng)A發(fā)

出的光以臨界角

302arcsin

==vv

θ入射到界面上時(shí)，按照費(fèi)馬原理可知：BDA→→為

光芒由A傳到B的最小的路徑，所以要使A、B兩城市之間運(yùn)輸時(shí)光最少，轉(zhuǎn)運(yùn)碼頭D與海島

城市A的連線與海岸的夾角

60=α

km

kmACCD3403120

60tan===

()

kmBD340160-=∴

即碼頭應(yīng)建在距B城()

km340160-處。

比較上述兩種解法可看出：把船在水中的運(yùn)動(dòng)設(shè)想為光在水中的傳揚(yáng)，靈便應(yīng)用費(fèi)馬原理（光程最短），把復(fù)雜的數(shù)學(xué)求極值轉(zhuǎn)化為物理中的全反射現(xiàn)象，化繁為簡，使解題步驟大大簡化，提高了解題的效率。

五．絕緣光潔水平面上固定一個(gè)正點(diǎn)電荷+Q，另一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為-q的質(zhì)點(diǎn)在水平面上繞+Q做橢圓運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中-q在水平方向上只受+Q的庫侖引力作用。已知在-q的運(yùn)動(dòng)中距+Q的最近距離為a，最遠(yuǎn)距離為最近距離的n倍。問：-q到達(dá)離+Q最近距離處速率ν1多大？到達(dá)離+Q最遠(yuǎn)距離處速率ν2多大？當(dāng)-q到達(dá)離+Q最遠(yuǎn)處時(shí)，欲要-q變?yōu)槔@+Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，需要向-q提供多少能量？

解：q-在運(yùn)動(dòng)中惟獨(dú)庫侖力做功，動(dòng)能與電勢能總和保持不變，運(yùn)用開普勒行星運(yùn)動(dòng)其次定律有：

nakmvakmv-=-2

2212121，21nvv=，

聯(lián)拉方程可解出1v和2v：

maknnv211+=，

maknnnv2)1(2

+=，q-在最遠(yuǎn)點(diǎn)從橢圓運(yùn)動(dòng)變?yōu)閯蛩賵A周運(yùn)動(dòng)后，其速率要由2v變?yōu)?

v'，而2v'由牛頓其次定律求出：

navmna

k222

)('=

，則

nak

nnmvvmE21121212222+-=-'=

?。

六.鈾U23892的半衰期τ=45億年，最后衰變成穩(wěn)定的鉛.20682Pb，假設(shè)從有地球開頭鈾

就延續(xù)衰變，現(xiàn)在測出礦石中所含鈾和鉛的質(zhì)量之比為.6.3:4試確定地球的年齡。

解：設(shè)發(fā)射性元素U238

92衰變前的原子核數(shù)為N，衰變后剩余原子核數(shù)為,N由半衰期

概念可知

τ

tNN)

21(0=按照題意可得

6.34)12(206238=-=τtPbUNMM

由此可得04.22=τ

t

兩邊取對數(shù)后有

04.212145ggt

=

解得46=t億年

所以，地球的年齡約為46億年。

七.45027.邊長為a的正方形導(dǎo)線框置于按空間勻稱分布的磁場區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向與線框平面垂直，B隨時(shí)光按正弦邏輯變化，如圖45-26(a)所示。若線框中產(chǎn)生的最大感應(yīng)電流為Im，導(dǎo)線的電阻率為ρ，求導(dǎo)線的橫截面積。

分析：已知電阻率ρ和線框的長度a，要求導(dǎo)線的橫截面積S，則必需

求得線框的電阻R。而已知mI求R，則必需求感應(yīng)電動(dòng)勢的最大值mε。感應(yīng)電動(dòng)勢是由于B

的變化引起穿過線框的磁通量變化而產(chǎn)生的，但是我們無法用初等數(shù)學(xué)學(xué)問求出磁量的變化率，也無法求出感應(yīng)電動(dòng)勢。我們用等效法來解開這個(gè)難題。

現(xiàn)在將圖45-26(a)的狀況等效為圖45-26(b)的狀況。這兩種狀況之所以等效，是由于：圖45-26(a)中B按正弦

邏輯變化，線框面積2

a不變，從而使穿過線框的磁通量按

正弦邏輯變化；圖45-26(b)中B不變，B

穿過線框的有效面積按正弦邏輯變化，從而使穿過

圖45-26(a)

B

B-O

律變化。假如令轉(zhuǎn)速

Tπω2=

（T線框的磁通量按正弦規(guī)為圖45-26(a)中B按正弦邏輯變化的周期），初始位置時(shí)B與線框平面平行，圖45-26(b)中的B為圖45-26(a)中的

mB，

那么兩圖中的線

框的磁通量變化狀況就徹低相同了，即等效了。圖45-26(b)中感應(yīng)電流的最大值即

為圖45-26(a)中感應(yīng)電

流的最大值。解：線框中感應(yīng)電

動(dòng)勢的最大值為

TaBTaBaBmmmm2

2