福建船政職院航海數(shù)學(xué)教案04球面幾何和球面三角

授課教案第頁課程：航海數(shù)學(xué)學(xué)年第_一_學(xué)期第周月日教學(xué)內(nèi)容備注PAGE74PAGE第四章球面幾何和球面三角4.1球面幾何教學(xué)要求：掌握球面上的基本概念、地球上的基本點、線、圈.教學(xué)內(nèi)容:一、球、球面空間中與定點O等距離r的所有點的軌跡，稱為以O(shè)為球心，r為半徑的球面，包圍在球面中的實體稱為球.連接球面上兩點且通過球心的線段稱為球直徑.半徑相等的球稱為等球.二、大圓顯然，任一平面與球面相截的截痕是圓.一個過球心的截面，在球面上所截得的圓稱為大圓.在平面幾何上相當(dāng)于一條直線.大圓上一段圓周稱為大圓弧.反之，一個不過球心的截面，在球面上所截得的圓稱為小圓，小圓上一段圓周稱為小圓弧.任何兩個大圓都交于對頂?shù)膬牲c，所以大圓分球和球面為相等的兩個部分；且過對頂?shù)膬牲c能作無數(shù)多個大圓，而不能作小圓；但如果不過對頂?shù)膬牲c只能作一個大圓，卻能作無數(shù)個小圓；兩個大圓平面的交線是球的直徑也是這兩個大圓的直徑，并且把兩個大圓互相平分.（圖4.1.2）圖4.1.1圖4.1.2三、球面距離球面上一個大圓的長是，球面上兩點A、B間小于的大圓弧（也稱劣?。╅L稱為球面距離，它是點A、B間的最短球面距離，在航海上稱為大圓航線.地球半徑大約為6370km.海上距離的單位是海里，即把地球子午線上的弧長稱為1nmile.其換算公式是1nmile=1852m.四、軸、極、極距、極線垂直于任一圓的球直徑稱為該圓的軸，軸與球面的兩個交點稱為極.從大圓弧或小圓弧上球面中心不是圓心；球面半徑不是球半徑.的一點到極的球面距離稱為極距.因為同圓上任意一點的極距都相等，所以也可以稱極為該圓的球面中心，稱極距為該圓的球面半徑.顯然，球上每一個圓都有兩個極，通過這兩個極有且僅有一個大圓但卻有無數(shù)多個小圓.球面中心不是圓心；球面半徑不是球半徑.極距等于的大圓弧稱為極線或稱為赤道.因為任一大圓與其極的極距為，所以大圓弧是它的極的極線；反之，極線必定是大圓弧.如果球面上某一點到其它兩點（不是直徑的兩個端點）的球面距離均為，則前一點必是通過后兩點的大圓的極.對一個圓而言，軸、極必定是成對而出現(xiàn)的；而極和極線也是成對出現(xiàn)的.兩個大圓的極之間的大圓弧所對的球心角等于此兩大圓平面的二面角.五、球面角及其度量球面角的大小由這兩個大圓弧平面所構(gòu)成的二面角來確定.球面角的度量方法：1、作兩邊的切線取其夾角（平面角）；2、頂點的極線被球面角兩邊所截的弧長；3、該弧長所對的球心角.注：極線上的弧長與其所對的球心角同度；球面角的取值范圍是.六、小圓弧長與大圓弧長之比圓心角相等的小圓弧長與大圓弧長之比等于小圓極距的正弦或小圓緯度的余弦.即APbAPbB圖4.1.3七、地球上的基本知識地球的第一近似體為圓球體，其半徑約為6367km，地球的自轉(zhuǎn)軸稱為地軸，地球繞地軸自西向東轉(zhuǎn).我們可由右手法則確定南北極.南北極的極線稱為赤道.赤道將地球分為南北兩個相等的半球.地球南北極與某地A所連成的大圓稱為A地的子午圈，通過英國格林尼治天文臺的子午圈稱為格林子午圈；連接地球南北極和某地A之間的半個大圓稱為A地的午圈（子午線或經(jīng)線）.在赤道上由格林午圈至A地的午圈之間的弧長稱為A地的經(jīng)度.經(jīng)度相同的點的軌跡是午圈.位于東半球的稱為東經(jīng)；反之稱為西經(jīng).東西經(jīng)的取值范圍均是.在A地的午圈上由赤道到該地的弧長稱為A地的緯度.緯度相同的點的軌跡是平行于赤道的小圓，該小圓稱為緯度圈或等緯圈.緯度越高，等緯圈的長度越短.若A地位于南半球，稱之為南緯，反之稱為北緯.南北緯的取值范圍均是.在航海上，A地的坐標(biāo)通常用表示，其中是緯度，是經(jīng)度.例1設(shè)某船由，向東航行至，求AB的距離.解由5．1．6知，在赤道上，nmile，所以nmile.即當(dāng)緯度為時，等緯圈的長度僅為赤道長度的一半.例2設(shè)兩船同在北緯，相距600nmile，若它們以同速向北航行1800nmile，求兩船相距多少海里？解由5．1．6知，兩船在赤道上的距離為nmile，向北航行1800nmile，即，到達(dá)北緯，所以兩船相距nmile.注：1、子午圈，午圈，子午線，經(jīng)線指南北向；緯度圈，等緯圈指東西向.2、午圈上所有點的經(jīng)度相同；緯度圈上所有點的緯度相同.課堂練習(xí)P78練習(xí)題5.1：1小結(jié)：球面上兩點A、B間小于的大圓?。ㄒ卜Q劣弧）長稱為球面距離.球面角度量方法有三種。圓心角相等的小圓弧長與大圓弧長之比等于小圓極距的正弦或小圓緯度的余弦.作業(yè)P792；3；4；5.4.2球面三角形教學(xué)要求：理解球面三角形的定義和性質(zhì).教學(xué)內(nèi)容：一、球面三角形的定義在球面上由三個大圓弧相交于三點所圍成的球面部分稱為球面三角形.理論上，球面三角形六要素：a,b,c,A,B,C均大于而小于，但實際應(yīng)用上，我們僅討論六要素：a,b,c,A,B,C均大于而小于，即歐拉球面三角形.二、球面三角形的分類1、球面等腰三角形和球面等邊三角形；2、球面直角三角形和球面直邊三角形；3、球面初等三角形；4、球面任意三角形.三、球面三角形的關(guān)系1、全等球面三角形；2、對稱球面三角形；3、相似球面三角形；4、極線球面三角形.1）定義：球面三角形的三個頂點的極線所構(gòu)成的球面三角形；2）性質(zhì)：a、原三角形與極線球面三角形的關(guān)系是相互的；b、原三角形的角（邊）與極線球面三角形的邊（角）互補(bǔ).四、球面三角形的性質(zhì)1、球面三角形與三面角的關(guān)系球面三角形三面角球心頂點球半徑棱邊平面角角二面角2、球面三角形邊的性質(zhì)（1）邊必須是大圓?。唬?）；（3）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（4）.3、球面三角形角的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩角之和減去第三角小于；（4）兩角之和（差）大于（小于）第三角的外角.4、邊和角的關(guān)系（1）等邊對等角，等角對等邊；（2）大（?。┻厡Φ冉牵螅ㄐ。┙菍Φ冗?注意：1、當(dāng)給定了球面三角形的三個邊時：（1）；（2）；（3）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.2、當(dāng)給定了球面三角形的三個角時：（1）；（2）；（3）兩角之和減去第三角小于.3、若給定球面三角形的兩個角（邊）及其夾邊（角），則僅需滿足每一個角和每一個邊大于，小于的條件，球面三角形都成立.例判斷下面的球面三角形是否存在1．，，，不存在.2．，，，不存在.3．，，，存在.4．，，，存在.作業(yè)：P844(1)(3)(5)(7)(9)；5；6.4.3球面任意三角形的基本公式教學(xué)要求：理解、熟記并能運(yùn)用球面三角形正弦余弦、五聯(lián)、四聯(lián)公式.教學(xué)內(nèi)容：一、余弦公式1、邊的余弦公式：球面三角形一個邊的余弦等于其它兩邊余弦的乘積加上這兩邊正弦及其夾角余弦的乘積..用途：一般地，已知三邊求一角或者已知兩邊及其夾角求第三邊.2、角的余弦公式：球面三角形一個角的余弦等于其它兩角余弦的乘積冠以負(fù)號加上這兩角正弦及其夾邊余弦的乘積..用途：一般地，已知三角求一邊或者已知兩角及其夾邊求第三角.二、正弦公式：球面三角形各邊的正弦和它對應(yīng)角的正弦成正比..用途：已知一邊及其對角，又已知一角（邊）求它的對邊（角）.三、邊角正余弦公式（五聯(lián)公式）：球面三角形相鄰邊角正余弦的乘積等于鄰邊第三邊正余弦的乘積減去鄰邊第三邊余正弦及其夾角余弦的乘積.用途：較少用于解球面三角形.四、余切公式（四聯(lián)公式）：.用途：一般地，用于求四個聯(lián)起來要素中的外邊或者外角.例1在球面三角形ABC中，已知，求證：與、與相等或互補(bǔ).解因為，所以，，；即與、與相等或互補(bǔ).例2球面三角形各邊都等于，求證每角的余弦為.解由，；同理可證.作業(yè)：P872；3；5.4．4球面直角三角形和球面直邊三角形教學(xué)要求：熟練把握大字法則規(guī)律性，熟練運(yùn)用大字法則解球面直角三角形和球面直邊三角形.教學(xué)內(nèi)容：一、球面直角三角形1、定義至少有一個角為直角的球面三角形稱為球面直角三角形.若三個角都是，則三邊也都是；若兩個角是，則直角的兩對邊都是，而第三個角與其邊在數(shù)值上必相等。因此上述兩種情況下球面三角形的邊角關(guān)系已經(jīng)很清楚，不必再進(jìn)行討論。下面僅討論一個角為直角的球面三角形的邊角函數(shù)關(guān)系.2、球面直角三角形公式推導(dǎo)由邊的余弦公式、角的余弦公式、正弦公式、余切公式可推得…（10個公式）.設(shè)，則有；；；；.3、球面直角三角形公式的記憶法則（納比爾法則）納比爾法則：在五個循環(huán)要素中，任一要素的正弦，等于其相鄰兩要素正切的乘積，或等于其相隔兩要素余弦的乘積.納比爾法則又稱為“大字法則”.在五個循環(huán)要素中，我們可以通過任意已知的兩個要素，直接求出其余三個要素，一步到位.二、球面直邊三角形1、定義至少有一個邊為直邊的球面三角形稱為球面直邊三角形.若三條邊都是，則三角也都是；若兩條邊是，則直邊的兩對角都是，而第三條邊與其角在數(shù)值上必相等。因此上述兩種情況下球面三角形的邊角關(guān)系已經(jīng)很清楚，不必再進(jìn)行討論.下面僅討論一條邊為直邊的球面三角形的邊角函數(shù)關(guān)系.2、球面直邊三角形公式類似于球面直角三角形公式的推導(dǎo)，由邊的余弦公式、角的余弦公式、正弦公式、余切公式可推得…（10個公式）.設(shè)，則有；；；；.3、球面直邊三角形公式的記憶法則納比爾法則：在五個循環(huán)要素中，任一要素的正弦，等于其相鄰兩要素正切的乘積，或等于其相隔兩要素余弦的乘積。但是，在等式右邊的兩項正切或余弦的乘積中，如遇有兩個要素都是邊或都是角時，則在乘積之前冠以負(fù)號.在五個循環(huán)要素中，我們可以通過任意已知的兩個要素，直接求出其余三個要素，一步到位.但是應(yīng)特別注意符號問題.例在球面三角形中，設(shè)，則或.作業(yè)：P901；2；3；4.4．5球面初等三角形教學(xué)要求：了解球面小三角形和球面窄三角形的概念，會求解球面小三角形和球面窄三角形的實際問題.教學(xué)內(nèi)容：一、球面小三角形1、定義三邊比起地球半徑都甚小的球面三角形稱為球面小三角形.雖然三邊甚小，但三角不會很小，其內(nèi)角和接近且大于.2、球面角盈E：內(nèi)角和多出的部分.（1）若三角已知：；（2）若三邊已知：.其中：：球面三角形面積；：球半徑（地球半徑：6370km）；：三邊長度；，其中：為半周長，代入得：.為何要計算球面角盈？由以上公式可計算出：當(dāng)?shù)孛嫔系那蛎嫘∪切胃鬟呴L均為10nmile、40nmile、70nmile、100nmile時，球面角盈分別約為、、、.這說明，在地面上當(dāng)距離為數(shù)十海里時，球面角盈很小，因此，當(dāng)精讀要求不是很高時，可將球面小三角形看成平面三角形求解。航海上，在視野范圍內(nèi)觀測陸標(biāo)定位時，完全可將球面三角形視為平面三角形來對待.計算公式為：；；..二、球面窄三角形1、定義只有一個角及其對邊與球半徑相比甚小的球面三角形稱為球面窄三角形.2、近似公式已知小邊和它的鄰角及角的鄰邊，求另一邊和小角.（1）求兩邊之差的第一近似公式：；（由五聯(lián)公式推得）（2）求角A的第一近似公式：；（由正弦公式推得）（3）求的第二近似公式：；（4）求角A的第二近似公式：.顯然，第二近似公式雖比第一近似公式更精確，但計算量更大.例1測得地面上三角形的三邊分別為18km、52km、65km，試求該球面三角形的球面角盈.解，，；；.例2球面三角形ABC是一球面窄三角形，設(shè)c比a、b小得很多，已知邊，角，，試求該三角形的C角和a邊.解；所以；.作業(yè)：P931；2；3.4.6球面三角形的解法教學(xué)要求：了解解球面三角形的一般問題即六種情況，會用計算器解算球面三角形.教學(xué)內(nèi)容：解球面三角形的一般問題解球面三角形的必要條件：六要素中必須知道三個要素的值.解球面三角形共包括六種情況：1、已知兩邊及其夾角，求其余兩角及另一邊；求法：第三邊可直接通過邊的余弦公式求出，其余兩個角通過余切公式得到.2、已知兩角及其夾邊，求其余兩邊及另一角；求法：第三角可直接通過角的余弦公式求出，其余兩條邊通過余切公式得到.3、已知兩邊及其一對角，求其余兩角及其一對邊；求法：直接運(yùn)用正弦公式可求出一角，而剩下一角及其對邊不得不通過余切公式和邊的余弦公式來求.4、已知兩角及其一對邊，求其余兩邊及其另一角；求法：直接運(yùn)用正弦公式可求出一邊，而剩下一角及其對邊不得不通過角的余弦公式和余切公式來求.5、已知三邊，求三個角；求法：邊的余弦公式.6、已知三角，求三條邊。求法：角的余弦公式.總之，為了減小誤差、提高精度，盡量用原已知要素來求未知要素.作業(yè)：P973；4；5.4．6大圓航程和大圓起始航向的求法教學(xué)要求：會計算經(jīng)差、掌握大圓航向和大圓起始航向求法.教學(xué)內(nèi)容：某船擬由行駛到，駛大圓航線，求大圓航程和大圓起始航向.這是一個基本的航海運(yùn)算問題.所謂大圓起始航向，是指連接地球北極與出發(fā)點之間的大圓弧，與大圓航線間按順時針方向的球面角，取值范圍在到之間.一、經(jīng)差