初中數(shù)學浙教版八年級下冊第5章特殊平行四邊形同課異構(gòu)

課題學習格點多邊形的面積計算1．在格點圖中，橫排或豎排相鄰兩格點間的距離都為1，若格點多邊形邊界上有12個格點，圖形內(nèi)有4個格點，則這個格點多邊形的面積為__9__．2．在格點圖中，橫排或豎排相鄰兩格點間的距離都為1，若格點多邊形邊界上有200個格點，面積為199，則這個格點多邊形內(nèi)有__100__個格點．3．在格點圖中，橫排或豎排相鄰兩格點間的距離都為1，若格點多邊形內(nèi)有18個格點，面積為32，則這個格點多邊形邊界上有__30__個格點．(第4題)4．如圖，關(guān)于方格板中的兩個四邊形，下列敘述正確的是(C)A.四邊形Ⅰ的面積大于四邊形Ⅱ的面積B.四邊形Ⅰ的面積小于四邊形Ⅱ的面積C.這兩個四邊形有相同的面積，但Ⅰ的周長小于Ⅱ的周長D.這兩個四邊形有相同的面積，但Ⅰ的周長大于Ⅱ的周長【解】設(shè)每相鄰兩個點間的距離都是1，則Ⅰ的周長＝2＋2eq\r(2)，面積＝1×1＝1；Ⅱ的周長＝1＋2eq\r(2)＋eq\r(5)，Ⅱ的面積＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.故這兩個四邊形有相同的面積，但Ⅰ的周長小于Ⅱ的周長．5．在如圖所示的5×5的方格紙中，每個小正方形的邊長都為1.畫出三個格點多邊形，使格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)為4，格點多邊形邊界上的格點數(shù)分別為5，6，7，并求出每一個圖中的格點多邊形的面積．(第5題)【解】如圖所示(畫法較多，滿足條件即可)．圖①中，格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)a＝4，格點多邊形邊界上的格點數(shù)b＝5，∴S＝a＋eq\f(1,2)b－1＝4＋eq\f(1,2)×5－1＝eq\f(11,2).圖②中，格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)a＝4，格點多邊形邊界上的格點數(shù)b＝6，∴S＝a＋eq\f(1,2)b－1＝4＋eq\f(1,2)×6－1＝6.圖③中，格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)a＝4，格點多邊形邊界上的格點數(shù)b＝7，∴S＝a＋eq\f(1,2)b－1＝4＋eq\f(1,2)×7－1＝eq\f(13,2).(第6題)6．如圖，在7×8的方格紙中，已知圖中每個小正方形的邊長都為1，求圖中陰影部分的面積．【解】將圖形分成三個部分，標注序號如圖，圖①中，格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)a＝4，格點多邊形邊界上的格點數(shù)b＝4，∴S①＝a＋eq\f(1,2)b－1＝4＋eq\f(1,2)×4－1＝5.圖②中，格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)a＝2，格點多邊形邊界上的格點數(shù)b＝6，∴S②＝a＋eq\f(1,2)b－1＝2＋eq\f(1,2)×6－1＝4.S③＝6×2＝12.∴陰影部分的面積為5＋4＋12＝21.(注意：本題用皮克定理計算時，一定要分成三個圖形，不能看成一個圖形．)7．如圖，圖中每個小正方形的邊長都為1.把△ABC的頂點A先向下平移3格，再向左平移1格到達點A′，連結(jié)A′B，求線段A′B與線段AC的關(guān)系．(第7題)【解】如解圖，將點A先向下平移3格，再向左平移1格到達點A′，連結(jié)A′B，與線段AC交于點O.(第7題解)∵A′O＝OB＝eq\f(1,2)A′B＝eq\r(2)，AO＝OC＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(2)，∴線段A′B與線段AC互相平分，AC＝2A′B∵∠AOA′＝45°＋45°＝90°，∴A′B⊥AC.∴線段A′B與線段AC互相垂直平分，且AC＝2A′B8．如圖，在5×4的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點O，A，B在方格紙的交點(格點)上，在第四象限內(nèi)的格點上找一點C，使△ABC的面積為3，則這樣的點C共有(B)(第8題)A.2個B.3個C.4個D.5個【解】由解圖可知，AB∥x軸，且AB＝3.(第8題解)設(shè)點C到AB的距離為h，則△ABC的面積＝eq\f(1,2)×3h＝3，解得h＝2.∵點C在第四象限，∴點C的位置如解圖所示，共有3個．(第9題)9．如圖，在方格紙中，有一鄉(xiāng)村小屋，已知圖形中每個小正方形的邊長均為2，求鄉(xiāng)村小屋的面積．【解】“鄉(xiāng)村小屋”內(nèi)的格點數(shù)a＝9，邊界上的格點數(shù)b＝20.∵皮克定理是在橫豎兩格點之間的距離為1的情況下得出的，現(xiàn)在距離變?yōu)榱?，∴面積應(yīng)擴大到原來的4倍，∴S＝4×(a＋eq\f(1,2)b－1)＝4×(9＋eq\f(1,2)×20－1)＝72.(第10題)10．如圖，在5×5的方格紙中，小正方形的面積均為1，小正方形的頂點為格點，請你在圖中選7個格點，要求其中任意3個格點都不在一條直線上，并且使這7個點用直線連結(jié)后圍成的圖形面積盡可能大，并求出這個最大面積．(第10題解)【解】當7個格點的位置如解圖所示時，圍成的面積最大，最大面積為5×5－×3＝.(或∵a＝16，b＝17，∴S＝a＋eq\f(1,2)b－1＝16＋eq\f(1,2)×17－1＝.)11．在邊長為1的小正方形組成的方格紙中，稱小正方形的頂點為格點，頂點全在格點上的多邊形為格點多邊形，將格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L，例如，圖中△ABC是格點三角形，對應(yīng)的S＝1，N＝0，L＝4.(第11題)(1)求出圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S，N，L的值．(2)已知格點多邊形的面積可表示為S＝N＋aL＋b，其中a，b為常數(shù)．若某格點多邊形對應(yīng)的N＝82，L＝38，求S的值．【解】(1)觀察圖形，可得S＝3，N＝1，L＝6.(2)根據(jù)格點三角形ABC及格點四邊形DEFG所對應(yīng)的S，N，L的值，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋b＝1，,1＋6a＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－1.))∴S＝N＋eq\f(1,2)L－1.將N＝82，L＝38代入，得S＝82＋eq\f(1,2)×38－1＝100.12．各頂點都在方格紙格點(橫豎格子線的交錯點)上的多邊形稱為格點多邊形.如何計算它的面積？奧地利數(shù)學家皮克證明了格點多邊形的面積公式：S＝a＋eq\f(1,2)b－1，其中a表示多邊形內(nèi)部的格點數(shù)，b表示多邊形邊界上的格點數(shù)，S表示多邊形的面積.如圖①，a＝4，b＝6，S＝4＋eq\f(1,2)×6－1＝6.(1)請在圖②中畫一個格點正方形，使它內(nèi)部只含有4個格點，并寫出它的面積．(2)請在圖③中畫一個格點三角形，使它的面積為eq\f(7,2)，且每條邊上除頂點外無其他格點．(第12題)【解】(1)畫法不唯一，如解圖①或解圖②.(第12題解)(2)畫法不唯一，如解圖③或解圖④.(第13題)13．如圖，在方格紙上的每一個格點處放一枚棋子，共放16枚棋子，求以棋子為頂點的正方形的個數(shù)．【解】邊長為1的正方形有9個，邊長為eq\r(2)的正方形有4個，邊長為2的正方形有4個，邊長為eq\r(5)的正方形有2個，邊長為3的正方形有1個，∴以棋子為頂點的正方形的個數(shù)為9＋4＋4＋2＋1＝20.14．如圖，正六邊形ABCDEF的面積為54cm2，AP＝2PF，CQ＝2BQ.求四邊形CEPQ(第14題)(第14題解)【解】如解圖，把正六邊形等分成54個小正三角形，由于正六邊形ABCDEF的面積為54cm2，故每一個小正三角形的面積為1cm2，∴S四邊形ABQG＝7cm2，S?GPHQ＝8cm2，S?PMEF＝6cm2，S?依據(jù)平行四邊形的對角線平分平行四邊形的面積，得S△PQG＝eq\f(1,2)S?GPHQ＝4cm2，S△EFP＝eq\f(1,2)S?PMEF＝3cm2，S△CDE＝eq\f(1,2)S?CDEN＝9cm2，∴S四邊形ABQP＝S四邊形ABQG＋S△PQG＝7＋4＝11(cm2)，∴S四邊形CEPQ＝S正六邊形ABCDEF－S四邊形ABQP－S△CDE－S△EFP＝54－11－9－3＝31(cm2)．(第15題)15．如圖，在6個邊長為1的小正方形及其部分對角線構(gòu)成的圖形中，從點A到點B只能沿圖中的線段走，那么從點A到點B的最短距離的