電路分析 第八章阻抗及導(dǎo)納

本章重點(diǎn):阻抗和導(dǎo)納、兩類約束的相量形式、相量法本章難點(diǎn)：相量模型第八章阻抗和導(dǎo)納變換方法的概念§8-1振幅相量§

8-3相量線性性質(zhì)和基爾霍夫定律相量形式§8-4三種基本元件VCR的相量形式§8-5阻抗和導(dǎo)納§8-6相量模型(phasormodel)§8-7正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析§8-8相量模型的網(wǎng)孔分析法和節(jié)點(diǎn)分析法§8-9相量模型的等效§8-10有效值有效值相量§8-11兩類特殊問(wèn)題相量圖法§8-12基本思路8-1變換方法的概念原來(lái)的問(wèn)題變換域中較易的問(wèn)題原來(lái)問(wèn)題的解答變換域中問(wèn)題的解答變換反變換求解直接求解8-3振幅相量1.正弦穩(wěn)態(tài)電路正弦波

u(t)=Umcos(ωt+θu)i(t)=Imcos(ωt+θi)三特征:振幅，角頻率ω，初相角θ正弦穩(wěn)態(tài)電路各電壓電流響應(yīng)與激勵(lì)均為同頻率正弦波。對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路，只需確定初相位和振幅正弦量復(fù)數(shù)變換的思想2.振幅相量歐拉恒等式:ejθ=cosθ+jsinθ正弦波:u(t)=Umcos(ωt+θ)u(t)=Re[Umej(ωt+

θ)]=Re[Umejθ

ejωt

]在確定頻率下,正弦波都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)-----相量。ùm=Umejθ=Um

∠θ相量：能夠表征正弦時(shí)間函數(shù)的復(fù)值常數(shù)úm電壓振幅相量，ím電流振幅相量úm?u(t)則u(t)=Re[úm∠ωt]ím?i(t)則i(t)=Re[ím∠ωt]相量是與t無(wú)關(guān)的復(fù)值常數(shù)，模為正弦波振幅，幅角為初相相量只能代表正弦波，并不等于正弦波正弦激勵(lì)下動(dòng)態(tài)電路中求微分方程特解的方法：相量法8-11有效值有效值相量1.有效值(effectivevalue)U，I從平均做功能力，這兩個(gè)電流是等效的周期電流(壓)有效值的定義式:正弦波的有效值RRi(t)I2.有效值相量例求正弦波的振幅相量和有效值相量(1)5sin(ωt+30o);(2)–8cos(ωt-45o);(3)-6sin(ωt-120o)思路：正弦波的振幅和初相解(1)5cos(ωt-60o);5∠-60o2.5∠?60°

(2)8cos(ωt+135o);8∠135o4∠135°

(3)6cos(ωt-30o)6∠-30o3

∠?30°相量圖為6∠-30o8∠135o5∠-60o+1+j8-4相量線性性質(zhì)和基爾霍夫定律相量形式(1)KCL在任一節(jié)點(diǎn)，Σik(t)

=0

在單一頻率正弦激勵(lì)下的線性非時(shí)變電路,Σik

(t)

=Σikm

cos(ωt+θk)=ΣRe(í

kme

jωt

)=0KCL相量形式：在任一節(jié)點(diǎn)，(2)KVL沿任一回路，Σuk(t)

=0

KVL相量形式：沿任一回路，正弦穩(wěn)態(tài)電路中基爾霍夫定律可直接用電壓電流相量表示。在相量圖中，電流(電壓)的相量和構(gòu)成閉合多邊形。注意例8-5圖8-9所示為電路中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，已知：i1(t)=10cos(ωt+600)Ai2(t)=5sin(ωt)A求i3(t)。i1i3i2解1、電流i1和i2的振幅相量為：í1m=10∠600A，í2m=5∠-900A2、由KCL的相量形式可得i3的振幅相量：í3m=í1m+í2m=10∠600+5∠-900

=5+j8.66-j5=5+j3.66=6.2∠36.20

A3、由i3的振幅相量寫(xiě)出i3(t)i3(t)=6.2cos(ωt+36.2)A10∠6005∠-9006.2∠36.20

+1+j例8-6已知：uab=-10cos(ωt+600)V，ubc=8sin(ωt+1200)V求uac。解：由于各電壓為頻率相同有正弦波，且uac=uab+ubc故其電壓相量關(guān)系為：úacm=úabm+úbcm其中：úabm=10∠600+1800=10∠2400=10∠-1200V，

úbcm=8∠1200-900=8∠300V故得：úacm=10∠-1200

+8∠300

=-5-j8.66+6.93+j4=1.93-j4.66=5.04∠-67.50Vú=Rí8-5三種基本元件VCR的相量形式1.電阻元件時(shí)域關(guān)系u(t)=Ri(t)Umcos(ωt+θu)=RImcos(ωt+θi)相量關(guān)系Re(úm

e

jωt

)=RRe(íme

jωt)=Re(R

ím

e

jωt

)其中：úm=Um∠θu

ím=Im∠θi且θu=θi；即電阻兩端的正弦電壓與流過(guò)的正弦電流同相úm=Rím此為電阻元件VCR的相量形式，表明電壓、電流的幅度和相位關(guān)系。即:Um∠θu=RIm∠θiUm=RIm,θu=θi+-Riu-+Rímúmúmím+1+jθu=θi2.電容元件時(shí)域關(guān)系Imcos(ωt+θi)=－CωUmsin(ωt+θu)=CωUmcos(ωt+θu+90o)Im=ωCUmθi=θu+900相量關(guān)系Re(í

m

ejωt)=Re(jωCú

m

ejωt

)í

m=jωCú

mí

=jωCú

Im∠θ

i=ωCUm

∠(θu

+90°)Im=ωCUm

電流超前電壓90oθ

i=θu+90°電容元件VCR相量形式úmím+1+j+-Ciu+-Címúm2.電感元件時(shí)域關(guān)系由此根據(jù)電路的對(duì)偶關(guān)系，可得到電感謝的VCR相量形式：ú

m=jωLí

mú

=jωLí

Um∠θ

u=ωLIm

∠(θi

+90°)Um=ωLIm

電流滯后電壓90oθ

u=θi+90°電感元件VCR相量形式úmím+1+j例8-8流過(guò)0.5F電容的電流為A。試求電容的電壓u(t)，并繪相量圖。用相量關(guān)系求解，應(yīng)注意如下幾個(gè)步驟解（a）寫(xiě)出已知正弦量i(t)的相量（b）利用相量關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算V（c）根據(jù)算得的相量寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的正弦量V（d）畫(huà)出相量圖+j+1ímúmO8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——

阻抗和導(dǎo)納在關(guān)聯(lián)參考方向下，三種基本元件VCR相量形式分別為：電阻元件：úm

=Rím電容元件：ú

m=1/jωCím電感元件：ú

m=jωLí

m1、阻抗和導(dǎo)納阻抗(impedance)：元件在正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)電壓相量與電流相量之比。用Z表示，單位歐姆Ω?；蛘曳€(wěn)態(tài)下三種元件VCR相量統(tǒng)一形式為：úm=Zím

電阻阻抗ZR=R電容阻抗電感阻抗ZL=jωL歐姆定律的相量形式導(dǎo)納(admittance)：阻抗的倒數(shù)，用Y表示，單位西門(mén)子S。Y=1/Z=í/ú(在關(guān)聯(lián)參考方向下)電阻導(dǎo)納YR=1/R=G電容導(dǎo)納YC=jωC電感導(dǎo)納由上面分析研究可知，電容電感的阻抗和導(dǎo)納均為虛數(shù)，即：Z=jX故X為：X=Im[Z]稱為電抗。容抗：感抗：XL=Im[ZL]=ωL同理：Y=jB

B=Im[Y]稱為電納。容納：BC=Im[YC]=ωC感納：2單口網(wǎng)絡(luò)的阻抗和導(dǎo)納無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)在正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)單口端鈕的電壓相量與電流相量之比為輸入阻抗，阻抗的倒數(shù)為輸入導(dǎo)納輸入阻抗：(在關(guān)聯(lián)參考方向下)輸入導(dǎo)納：(在關(guān)聯(lián)參考方向下)N0ωí+-úRX|Z|φZ(yǔ)阻抗三角形8-7相量模型(phasormodel)電路模型N：以R、L、C等參數(shù)來(lái)表征元件的模型

相量模型Nω：運(yùn)用相量對(duì)正弦電路進(jìn)行分析計(jì)算的假想模型和原電路有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，各元件用阻抗或?qū)Ъ{表示

電阻R?R；電容C?-j/(ωC)；電感L?jωL；

電壓電流用相量表示，其參考方向仍與原電路相同+----+++ustuLuRuCRLCi(t)原電路時(shí)域模型N-j/(ωC)+----+++úsmúLmúRmúCmímjωLR相量模型Nω8-8正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析相量分析法：以相量模型為分析對(duì)象，兩類約束相量形式為基本依據(jù)，仿照直流電阻電路的分析方法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。（1）時(shí)域變頻域時(shí)域模型N(原電路圖)?相量模型Nω（2）頻域分析參考電阻電路分析方法?；谙嗔孔杩?，分析正弦穩(wěn)態(tài)電路（3）頻域變時(shí)域把相量化為正弦波表示8-9相量模型的網(wǎng)孔分析和節(jié)點(diǎn)分析1.網(wǎng)孔分析法回顧：電阻電路的網(wǎng)孔分析法Rii：網(wǎng)孔自電阻Rkj：(k≠j)網(wǎng)孔k與j的互電阻Usii：網(wǎng)孔i中電源電壓升代數(shù)和相量模型的網(wǎng)孔分析法Zii：網(wǎng)孔自阻抗Zkj：(k≠j)網(wǎng)孔k與j的互阻抗úsii：網(wǎng)孔i中電源電壓相量的代數(shù)和，電壓升為正。2.節(jié)點(diǎn)分析法回顧：電阻電路的節(jié)點(diǎn)分析法Gii：節(jié)點(diǎn)i自電導(dǎo)Gkj：(k≠j)節(jié)點(diǎn)k與j的互電導(dǎo)isii：流入節(jié)點(diǎn)i電流源電流代數(shù)和，流入為正相量模型的節(jié)點(diǎn)分析法Yii：節(jié)點(diǎn)i自導(dǎo)納Ykj：(k≠j)節(jié)點(diǎn)k與j的互導(dǎo)納ísii：流入節(jié)點(diǎn)i電流源電流相量的代數(shù)和，流入為正。注意：如相鄰節(jié)點(diǎn)1、2間電導(dǎo)為G1，則G12=G21=-G18-10相量模型的等效N0ωí+-等效概念也可用于相量模型。1、對(duì)于給定不含源單口網(wǎng)絡(luò)N0ω，其VCR為：ú=ZíZ為單口網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗，一般為復(fù)數(shù)，即：Z=R+jXRjXí+ú-X>0,RL串聯(lián)感性電路X<0,RC串聯(lián)容性電路B>0,RC并聯(lián)容性B<0,RL并聯(lián)感性感性電路：電壓超前電流容性電路：電壓滯后電流úYjB+-í或：í=YúY=G+jBR,X,G,B均為頻率ω的函數(shù),等效電路是指某一頻率下的等效。注意：2、正弦穩(wěn)態(tài)含源單口網(wǎng)絡(luò)的等效給定正弦穩(wěn)態(tài)含獨(dú)立電源的單口網(wǎng)絡(luò)Nω，可以運(yùn)用戴維南定理和諾頓定理求得它的等效相量模型。Nωí+-Z0+-úOC+-Z0íSC8-12兩類特殊問(wèn)題相量圖法二類特殊問(wèn)題:只需計(jì)算有效值和相位差相量圖法：先定