趨勢外推法知識分享

M(1)t=M(1)t–1+xt-xt-n/n

市場預測(shìchǎnɡyùcè)與決策

陳曉慧(8)

2009.1.第一頁，共39頁。chap8趨勢(qūshì)外推預測法趨勢外推法概述(ɡàishù)曲線趨勢外推法增長曲線趨勢外推法第二頁，共39頁。趨勢外推預測(yùcè)法概述一、趨勢外推法(Trendextension)1.Concept當預測對象依時間變化呈現某種上升或下降趨勢，沒有明顯的季節(jié)波動，且能找到一個合適的函數曲線反映(fǎnyìng)這種變化趨勢時，就可以用趨勢外推法進行預測。2.Postulate（1）假設事物發(fā)展過程沒有跳躍式變化；（2）假定事物的發(fā)展因素也決定事物未來的發(fā)展，其條件是不變或變化不大。第三頁，共39頁。二、趨勢(qūshì)模型類型(Tendmodeltypes)1.多項式曲線(qūxiàn)(Multinomialcurve)

第四頁，共39頁。2.指數曲線外推模型一般形式：對數(duìshù)曲線3.增長曲線外推法：修正的指數曲線羅吉斯曲線龔珀茲曲線第五頁，共39頁。二階差分(chàfēn)三階(sānjiē)差分一階差分(chàfēn)環(huán)比指數注意：

增長曲線模型在理論上的變化規(guī)律都遵循著一階差分、二階差分、三階差分、一階差分環(huán)比指數為一常數的特征。一階差分差分概念第六頁，共39頁。一、直線趨勢外推法(Linertend)1、principle最小二乘法(Leastsquaremethod),將時間(shíjiān)序列擬合成一條預測直線趨勢，使預測值與實際值之間的離差和為最小。

(t1,y1)(t2,y2)(t4,y4)(t3,y3)ei圖擬合(nǐhé)直線方程原理曲線趨勢(qūshì)外推預測法BA設有n個點即：(t1,y1),(t2,y2),…,(tn,yn),如圖，AB為擬合直線，n個觀察值對該直線的離差分別為e1,e2,…,en。令：ty第七頁，共39頁。（1）在Q中,描述了直線方程與n個觀察點的接近程度。誤差的大小隨直線的位置變化(biànhuà)而變化(biànhuà)。即誤差的值會隨著a和b變化(biànhuà)而變化(biànhuà)。即是a和b的二元函數。2.forecastmodel為了使誤差(wùchā)最小,即Q為最小值;可分別對a,b求偏導,并令其為0.則有:（2）第八頁，共39頁。（2）（4）（5）（3）第九頁，共39頁。(6)(7)3.擬合直線方程的步驟(bùzhòu)(1)繪制散點圖(2)列表計算求待定系數所需的數據(3)確定待定系數a、b,建立預測模型(4)用擬合直線方程求預測值Action：在確定直線方程時,時間序列為奇數時,取中間數(n+1/2)的編號為0,那么x的編號就構成了以0中心,的正、負數對稱的編號。例如,當n=9時,9+1/2=5,那么就可以編成-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,這時由于∑x=0,可簡化計算。此時(cǐshí)的a,b公式為:第十頁，共39頁。某家用電器廠1994年~2004年利潤數據資料如表所示，試預測(yùcè)2005、2006年利潤各為多少？年份19941995199619971998199920002001200220032004銷售額2003003504005006307007508509501020解：（1）畫散點圖并觀察各個點變化趨勢是否可用直線方程來擬合。（2）列表計算(jìsuàn)求待定系數所需要的數據資料，由于時間序列為11個，即n+1/2=11+1/2=6。故以1990年為中點編號：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5。19941995199619971998199912001000800600400200圖直線(zhíxiàn)繪制圖表某家用電器廠1985年~1995年利潤及擬合直線方程法計算表單位：萬元中心線性趨勢外推法舉例第十一頁，共39頁。年份利潤yitt2tyt

左邊tt2tyt

右邊1994200-525-1000191.0000191.01995300-416-2000273.711300273.71996350-39-1050356.424700356.41997400-24-800439.1391200439.11998500-11-500521.84162000521.81999630000604.55253150604.5200070011700687.26364200687.22001750241500769.97495250769.92002850392550852.68646800852.620039504163800935.39818550935.32004102052551001018.010100102001018.0∑6650011091005538542350表某家用電器廠1994年~1904年利潤及擬合(nǐhé)直線方程法計算表單位：萬元第十二頁，共39頁。表的以左邊∑t=0,∑yt=6650,∑t2=110;∑tyt=9100.表的右邊以0，1，…,10對自變量t進行編號,并求得：∑t=55,∑t2=385;∑tyt=42350(3)確定(quèdìng)待定系數,建立預測模型①按表的左邊t編號,有：a=∑yt/n=6650/11=604.3;b=∑ty/∑t2=9100/110=82.7故左邊預測的直線方程為：②按表右邊的x編號方法有：第十三頁，共39頁。（4）用擬合直線方程求預測值分別按左、右邊直線方程進行預測結果相同，故擬合直線有效。見表⒊特點（1）擬合直線方程的一階差分為一常數，即：（2）直線外推法只適用時間(shíjiān)序列呈直線趨勢預測。（3）無論遠、近的數據不考慮權重。（4）用最小二乘法擬合直線方程消除了不規(guī)則的影響，使內插值和外推值都落在擬合的直線上。第十四頁，共39頁。二、二次曲線外推法(Twicecurveextension)在實際預測中,常常碰到的是其他的曲線形式。在這樣的情況下,就要用到曲線外推趨勢法。這種方法仍然(réngrán)是利用最二乘法來擬合曲線方程。介紹如下：設曲線預測模型為：（一）model（1）利用最小二乘法得：第十五頁，共39頁。（2）第十六頁，共39頁。原理擬合直線方程根據最小二乘法原理，使觀察期對于估計值的離差平方和，再求偏導并令其等于0，求出a,b,最后建立直線方程進行預測。但這種方法的問題是在擬合直線過程，對時間的近期和遠期的數據同等對待，求出的預測方程不夠精確(jīngquè)。而加權擬合法就較好的解決了這個問題。(例題略)三、加權擬合直線(zhíxiàn)方程

第十七頁，共39頁。生物的生長過程經歷了出生、成長、成熟三個階段，在這三個階段生物的生長速度是不一樣的。例如,南瓜的重量(zhòngliàng)增長速度,在第一階段增長的較慢,在成長時期則突然加快,而到了成熟期又趨減慢,形成一條S形曲線-增長曲線。增長曲線是描繪經濟指標隨時間變化呈某種生物變化規(guī)律的一種曲線。用增長曲線進行預測的方法稱為增長曲線預測法。它是一種很常用的方法。例如新技術、新產品的開發(fā)和更新換代過程,需求增長規(guī)律等均可用增長曲線來描述。增長曲線(qūxiàn)預測方法第十八頁，共39頁。1.人類(rénlèi)增長曲線年齡36912151821242730身高4876112140168172176178180181人類身高的成長(chéngzhǎng)曲線的生長規(guī)律如表5-1所示單位：cm年齡(niánlíng)身高

圖人身高成長曲線

一、例子第十九頁，共39頁。如表是南瓜重量隨時間變化的生長(shēngzhǎng)曲線。天24681012141618202224克120200400100026003300380043004900510053005400圖南瓜重量生長(shēngzhǎng)曲線天重量(zhòngliàng)2.生物增長曲線第二十頁，共39頁。如圖自行車壽命周期(zhōuqī)曲線導入期成長期成熟期衰推期t銷量(xiāoliànɡ)3.商品壽命(shòumìng)曲線第二十一頁，共39頁。1.Model其中：a,b—參數(cānshù)，t—時間序列,yt—經濟目標值

b＞10＜b＜1圖簡單(jiǎndān)指數型增長曲線圖(0，a)t（1）（一）簡單(jiǎndān)指數yt2.Applicationcondition當時間序列呈單純的增加或減少的趨勢，且各期的增長率或減少率基本相等，則可用指數曲線描述時間序列是比較好的。第二十二頁，共39頁。將（1）取對數(duìshù)，有：（2）（3）由(3)和(4)可知：①其對數曲線方程為一條直線(zhíxiàn);②其對數曲線一階差分為一常數。

3.Characteristic（4）第二十三頁，共39頁。2.Characteristic一階差分環(huán)比指數(zhǐshù)為一常數。1.Model

（1）（二）修正指數(zhǐshù)曲線(Amendexponentialcurve)第二十四頁，共39頁。k＞0，0＜

a＜1，0＜b＜1y0=K+a圖7-6修正曲線的幾種(jǐzhǒnɡ)類型tttt圖(d)衰退(shuāituì)后期圖（b）飽和(bǎohé)期圖(a)成長期圖（c）衰退期前期k＞0，a＞1，b＞1k＞0，0＜

a＜1，b＞1k＞0，a＞0，0＜b＜13.修正曲線模型的幾種類型圖第二十五頁，共39頁。式中:k,a,b為待定參數(cānshù).由(1)可得一階、二階導數為：(1)(2)（三）羅吉斯曲線(qūxiàn)1.Model第二十六頁，共39頁。k＞0，a＞10＜b＜1圖羅吉斯曲線(qūxiàn)y0=1/(k+a)y∞=1/k?2.characteristic羅吉斯曲線拐點左側呈上凹趨勢，過了該拐點后曲線轉變?yōu)橄蛳掳稼厔?。?）當t=0時,有：y0=1/k+a,（2）當t→∞時，yt→1/k當t→-∞時，yt→0都是羅吉斯曲線的漸進線。羅吉斯曲線形狀與龔柏茲曲線形狀很相似，它所描述的經濟變量的變化規(guī)律也是開始緩慢增長，而后(érhòu)逐漸加快，達到拐點后，增長率減緩，最后達到一臨界值。

第二十七頁，共39頁。1.Model

（1）（3）（2）2.Characteristic導數的一階差分(chàfēn)環(huán)比指數為一常數或其對數方程為一修正曲線。（四）龔柏茲曲線(qūxiàn)(Gompertzcurve)第二十八頁，共39頁。

0＜a＜1，0＜b＜1y0=Ktttt圖(d)衰退期圖（a）成長期和成熟(chéngshú)前期圖(b)成熟期后半期和衰退期圖（c）成長期0＜a＜1，b＞1a＞1，b＞1a＞1，0＜b＜1y0=K4.龔柏茲曲線(qūxiàn)的幾種類型圖3.應用范圍耐用消費品或技術含量較高商品(shāngpǐn)的市場需求變化。第二十九頁，共39頁。1.常用的增長曲線(Incommonusethegrowthcurve)修正曲線、龔柏茲曲線、羅吉斯曲線。利用這三種曲線可描述產品市場增長周期的不同階段,從而揭示產品增長周期銷售何時由某一階段向另一階段的轉變,預測產品的市場需求潛量、最大銷售量以及達到飽和狀態(tài)的時間等。2.Forecastmethod常用的方法有:三和法、三點法、最小二乘法等。3.Action當極限值k可確定,可采用(cǎiyòng)最小二乘法可簡化計算；不能確定時就用三和法或三點法;當時間序列數據收集資料不全的情況下用三點法。（五）增長(zēngzhǎng)曲線預測法

第三十頁，共39頁。以修正曲線為例，具體步驟如下：1、將時間序列分為項數相等的三段，每段的項數為r(r=n/3,n為時間序列總項數)，若原序列項數不能被3整除，需刪除序列最初一期(yīqī)或兩期數據；2、時間序列t取值第一段，0，1，…，r-1；第二段，r,r+1,…，2r-1;第三段，2r,2r+1,…,3r-1;3、分別求出序列每段數據的和第一，第二，第三段數據的和分別用∑1Yt、∑2Yt、∑3Yt表示，二、三和法(Trisectmethod)第三十一頁，共39頁。解此方程組，得a,b,k值：第三十二頁，共39頁。三和法舉例(jǔlì)某地區(qū)電冰箱銷售(xiāoshòu)資料如表所示，試預測2005年的銷售(xiāoshòu)量和達到飽和狀態(tài)的時間。某地區(qū)電冰箱銷售(xiāoshòu)資料單位：萬臺年份199619971998199920002001200220032004銷售量256390498586656714762800830解：(1)畫散點圖∵環(huán)比系數為0.81,0.81,0.80,0.83,0.79,0.79,大體(dàtǐ)相同，∴用修正曲線進行預測。N=9,r=3,t=0,1,2,……,8,計算得∑1Yt=1142,∑2Yt=1956,