專題六 距離空間基本概念(tou)

泛函分析基本內容

一、引言“實數(shù)的極限理論”是“數(shù)學分析”（即有限維分析）的基礎,用“極限思想”研究函數(shù)是實分析的主要特點。包括:

1）實數(shù)序列的極限概念：xnx(n)2）函數(shù)序列的各種收斂問題:fn(x)f(x)(n)(一致收斂、處處收斂、幾乎處處收斂、近一致收斂、依測度收斂等)3）函數(shù)的極限：f(x)A（xx0或x）這些“極限”概念的一個共性----“距離”概念的滲透(僅限于實直線上兩點之間的距離)：

|xn-x|0是指xn與x之間的“距離”無限地減?。粅fn(x)-f(x)|0是指在x點處兩個函數(shù)值fn(x)與f(x)之間的“距離”無限地減小。

|f(x)-A|0是指函數(shù)值f(x)與數(shù)A之間的“距離”無限地減小。二、泛函分析的基本內容在泛函分析中,將定義一種更具有一般意義的抽象的“距離”概念，它將實直線上的“數(shù)列的收斂”、“函數(shù)列的收斂”及“函數(shù)的極限”等概念都包括在“按距離收斂”、“距離函數(shù)的極限”等概念之中，并建立起“距離空間及其極限理論---按距離收斂、距離函數(shù)的極限等”，使我們更容易認識那些“初看起來似乎毫無關系的某些極限過程”之間的本質聯(lián)系。“泛函分析”以“距離空間及其極限理論”為基礎，綜合運用分析、代數(shù)和幾何的觀點和方法，研究了“函數(shù)的函數(shù)”、“函數(shù)空間”及“各種函數(shù)空間之間的關系”等內容,歸屬于“無窮維分析”。泛函分析的主要內容包括:三大空間及其線性算子理論,三大基本定理，不動點理論，最佳逼近理論及線性算子譜論初步，抽象空間的微積分。三大空間：距離空間線性賦泛空間(巴拿赫空間)內積空間(希爾伯特空間)2)三大空間上的線性算子理論：距離空間上的連續(xù)映射(算子)巴拿赫空間上的線性算子與線性泛函、共軛算子希爾伯特空間上的線性泛函與自共軛算子3)三大基本定理：漢恩-巴拿赫基本定理，一致有界定理，逆算子定理與閉圖象定理4）不動點理論與最佳逼近理論5）線性算子譜論初步：線性算子的譜自共軛算子譜6）抽象空間的微積分：抽象函數(shù)的導算子及微分理論抽象函數(shù)的極值抽象函數(shù)的積分距離與距離空間的定義專題六距離空間的基本概念距離空間的極限理論距離空間中的開集、閉集與有界集距離空間上的連續(xù)映射定義2(子空間）如果AX，且A按照X中距離(x,y)

也是一個距離空間，則稱A為X的子空間.定義1

（距離與距離空間）設X是任一集合，x,yX,若能定義實函數(shù)(x,y)，滿足距離公理：1)非負性：(x,y)0，2)對稱性：(x,y)=(y,x)，

3)三角不等式：(x,y)(x,z)+(z,y)(zX)

則稱X是距離空間，

(x,y)是距離空間X中點x與y的距離

一、距離與距離空間的定義1.距離、距離空間及子空間的定義注:1）要證集合X是距離空間,只要證明定義在X上的函數(shù)滿足距離公理條件。2）距離空間即定義了距離的集合.（距離空間=集合+距離）3）要證A是X的子空間,只要證X上的距離對A中任兩點都適合1）直線R,按距離(x,y)=x-y----一維空間4）全體n元有序數(shù)組集合:2.常見的幾個距離空間2）平面R2,按距離----二維空間3）空間R3,按距離--三維空間按距離也構成距離空間按距離也構成距離空間證：z=(z1,z2,…zn}Rn(或Cn)，i(x,y)0,i(x,y)=i(y,x)(Minkowski不等式(k=2))按距離----n維歐氏空間----連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]按距離5）閉區(qū)間[a,b]上的全體連續(xù)函數(shù)的集合C[a,b]：也構成另一距離空間按距離證：z=z(t)C[a,b]，非負性與對稱性顯然按距離也構成另一距離空間6）有界數(shù)列全體構成的集合m（cm

c是m的子空間）按距離函數(shù)----有界數(shù)列空間m7）收斂數(shù)列全體構成的集合按距離函數(shù)----收斂數(shù)列空間c8）有界函數(shù)集合構成距離空間----有界函數(shù)空間B(A)按函數(shù)9)任一非空集合X按函數(shù)構成距離空間--離散距離空間注:在任一非空集合上都可以定義距離函數(shù)，使之成為距離空間。

在同一集合中,可以構據(jù)需要定義不同的距離函數(shù)使之成為不同的距離空間。證：級數(shù)顯然收斂，故(x,y)有意義，且(x,y)0，(x,y)=(y,x)，10）全體序列集合----序列空間S

按函數(shù)構成距離空間11）可測函數(shù)集合按函數(shù)構成距離空間----可測函數(shù)空間m(X)這里,把幾乎處處相等的函數(shù)看作是同一函數(shù)證：12）可測集ER上的p冪可積函數(shù)f(x)的全體構成的集合

按函數(shù)構成距離空間----p冪L可積函數(shù)空間Lp(E)這里,把幾乎處處相等的函數(shù)看作是同一函數(shù)證：故(x,y)有意義。z=z(t)Lp(E)(Minkowski不等式)(Minkowski不等式)13）p冪可和序列的全體構成的集合按函數(shù)構成距離空間----p冪可和序列空間lp證：故(x,y)有意義。z=(1,2,…,n)lp(Minkowski不等式)附注：空間的重要性質（lp也有同樣性質）2)對于線性運算是封閉的，即3)滿足Holder不等式和Minkowski不等式定理1（極限的性質）

設（X,d)是距離空間，{xn}X.1){xn}收斂其極限唯一

2){xn}收斂{xn}一定是有界的

二、距離中的極限理論1.極限定義與性質定義3(極限)設(X,d)是一個距離空間,{xn}X,

xX,如果(xn,x)0(n),則稱點列{xn}按距離收斂于x,也稱{xn}為距離空間(X,d)中的一個極限為x的收斂點列,注：在距離空間中，記作:證：2.常見距離空間中點列收斂的意義(1)歐氏距離空間Rn,n維向量序列{xk}即按坐標收斂于x

(2)連續(xù)函數(shù)空間C[a,b],函數(shù)列{xk(t)}在[a,b]上一致收斂于x(t)(3)有界數(shù)列空間m,點列{xk}即按坐標收斂x,且對i是一致)(4)序列空間S,(5)可測函數(shù)空間m(X)，(7)p冪L可積函數(shù)空間Lp(E)(p1),(6)p冪可和序列空間lp(p1),定義4(開球(或點的鄰域)與閉球)設(X,d)是距離空間,

x0X,r>0

2)稱集合

是以x0為中心，r為半徑的閉球注：對于不同的距離空間X，x0及的意義不同，從而開球S(x0,r)或閉球的意義也不同.例如：1.距離空間中的開球（點的鄰域）、閉球

三、距離空間的開集、閉集及有界集1）稱集合S(x0,r)={x(x,x0)<r,xX}是以x0為中心，r為半徑的開球，或x0的一個r鄰域1)直線R按距離開球為----直線開區(qū)間2)平面按距離，開球為------平面上不含邊界的圓域

4）平面R2按距離------平面上不含邊界的正方形域開球為3）平面R2按距離------平面上不含邊界的正方形域開球為5）離散距離空間X按距離開球為事實上，r1時，r>1時，2.距離空間中的有界集、開集與閉集直線上點集有關概念推廣距離空間中點集的有關概念定理2(開集的性質)設X距離空間.(1)空集與全空間X是開集。(2)X中任意多個開集的并是開集。(3)X中有限個開集的交是開集。定義5(有界集)設AX,若存在一個開球S(x0,r)A，則稱A是X中的有界集.定義6(內點與開集)設X是距離空間,GX,x0X.(1)若存在x0的鄰域(開球)S(x0,r)G,則稱x0為G的內點。(2)如果G的每個點都是內點則稱G為開集例1任一開球S(x0,r)都是開集。

證:xS(x0,r)(x,x0)<r,取0<r-(x,x0),yS(x,)(x,y)<r-(x,x0)(y,x0)(y,x)+(x,x0)<r(三角不等式)yS(x0,)S(x,)S(x0,r)S(x0,r)是開集.

定義7(閉集)設X是距離空間,FX.如果FC=X-F是開集,則稱F是X中的閉集。定義8(極限點、導集與閉包、孤立點）設X是距離空間，

AX,x0X.(1)如果>0,x0的鄰域S(x0,)內總含有A中異于x0的點，則稱x0為A的極限點(或聚點)。(2)

A‘={x|x是A的聚點}稱為A的導集(3)集合A=AA‘稱為A的閉包。(4)如果>0,使S(x0,)內除x0之外,不含A中任何其他點，則稱x0為A的孤立點。孤立點的全體所成集合稱為孤立點集.(x是A的孤立點xA，xA‘)定理3(閉集的性質)設X距離空間.(1)空集與全空間X都是閉集。(2)X中有限個閉集的并是閉集。(3)X中任意多個閉集的交是閉集。定理4(閉集的充要條件)設X是距離空間，AX,則A是閉集A‘AA=A對{xn}A，xnx,有xA證:(1)“”(反證法)設x0A’但x0Ax0A’且x0AC,

A閉AC開S(x0,)ACS(x0,)A=x0不是A的極限點x0A’,矛盾.“”設A‘AAC(A’)C,xACx(A’)CxA’x不是A的極限點

S(x,),使S(x,)A=S(x,),使S(x,)ACx是AC的內點AC開A閉(2)“”A閉A‘AA=AA’=A“”A=A,A‘AA’=AA‘AA閉

(3)“”A閉A‘AA的所有極限點都屬于Ax=limxnA“”{xn}A,xnx,xAA’A定理5設X是距離空間,

AX,

則A'與A都是閉集。(同上)證:要證明A’及A都是閉集,只要證明(A’)’A’,(A)’A.注：在直線R上,只有空集與R既是開集又是閉集;而在距離空間中除了空集和全空間X既是開集又是閉集外,還可能存在其他既開又閉的集合.

例如,離散距離空間X中,任何子集A都既開又閉.事實上,設xX,則S(x,1/2)={x}是開集,從而A={x}是開集;而ACX是開集,故A={x}又是閉集例2任一閉球S(x0,r)都是閉集；證:是閉集.

三、距離空間上的連續(xù)映射定義9(映射連續(xù),一致連續(xù))設(X,1)與(Y,2)是兩個距離空間,定義映射T:XY,x0X.(1)如果對>0,>0,使得當(x,x0)<時,有1(Tx,Tx0)<,則稱映射T在x0點連續(xù).(2)若映射T在X上處處連續(xù)(即T在X中每一點都連續(xù)),則稱映射T在X上處處連續(xù),也稱映射T為距離空間X上的連續(xù)映射.(3)如果對>0,>0,x1,x2X,當(x1,x2)<時,有1(Tx1,Tx2)<,則稱映射T在X上一致連續(xù).特別地,如果Y=R,則稱映射T為距離空間X上的連續(xù)泛函數(shù),此時T記作f,而x的象記作f(x)1連續(xù)映射定義例1設(X,)是距離空間,x0X,則f(x)=(x,x0)是連續(xù)函數(shù).證:>0,x,yX,1(f(x),f(y))=|(x,x0)-(y,x0)|(x,y)取=>0,當(x,y)<時,就有1(f(x),f(y))<,f(x)連續(xù)2映射連續(xù)的充要條件定理6設X，Y是兩個距離空間，T：XY，x0X,則T在x0連續(xù)S(Tx0,),S(x0,),使得T(S(x0,)S(Tx0,){xn}X:xnx0,有TxnTx0.證:(1)(2)

T在x0

連續(xù)>0,>0,使得當(x,x0)<時,有1(Tx,Tx0)<S(Tx0,),S(x0,),當xS(x0,)時,有TxS(Tx0,)S(Tx0,),S(x0,),使得T(S(x0,)S(Tx0,){xn}X:xnx0,對上述>0,N,n>N時,(xn,x0)<,從而1(Txn,Tx0)<TxnTx0>0,>0,使得當(x,x0)<時,有1(Tx,Tx0)<S(Tx0,),S(x0,),當xS(x0,)時,有TxS(Tx0,)(2)(3)S(Tx0,),S(x0,),使得T(S(x0,)S(Tx0,)(3)(1)設{xn}X:xnx0,有TxnTx0.若T在x0不連續(xù),則0>0,對n>0,xn:(xn,x0)<,但1(Txn,Tx0)0,矛盾.定理6設(X,)和(Y,1)都是距離空間,T：XY.則

T是X上的連續(xù)映射對于任意開集GY,G的原象T-1(G)={x|TxG,xX}X是開集對于任意閉集FY,F的原象T-1(F)X是閉集證:(1)必要性:設T是X上的連續(xù)映射，GY是任一開集,若T-1(G)=,則顯然T-1(G)X,且是開集.若T-1(G),x0T-1(G)y0=Tx0GG開集y0是內點S(y0,)GS(x0,),使得T(S(x0,)S(y0,)GS(x0,)T-1(G)x0是內點,T-1(G)是開集充分性:任取x0X,>0,構造Y中開集G=S(Tx0,)

Tx0Gx0T-1(G)

由假設,G開集,有T-1(G)是開集x0是T-1(G)的內點S(x0,)T-1(G)T(S(x0,)G=S(Tx0,)T在x0連續(xù)T在X內連續(xù)

(2)F閉FC