中南大學(xué)微積分II下復(fù)習(xí)資料 曲線積分及曲面積分 常微分方程及差分方程

AdvancedMathmaticIIProf.LiubiyuWellcomeyou§5.2Lineintegralofthesecondtype§5.3Green’sformula

§5.1Lineintegralofthefirsttype§5.4Surfaceintegralofthefirsttype§5.6Gauss’sformulaanddivergence§5.7Stokes’sformulaandthecurlofavector§5.5SurfaceintegralofthesecondtypeChapter5曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分是多元函數(shù)積分學(xué)中的兩個不同的概念.與重積分類似,它們都是定積分中“分割、求和、取極限”的基本分析方法在二維和三維空間中的推廣，它們的計算都要歸結(jié)為定積分的計算.本章主要研究曲線積分與曲面積分的計算方法,以及剃度、散度和旋度的概念及其計算§5.1Lineintegralofthefirsttype

一、引例及第一類曲線積分的定義二、第一類曲線積分的計算三、第一類曲線積分的應(yīng)用一、引例及第一類曲線積分的定義1.引例Solution.

分割求和

取極限近似值精確值Solution.分割求和

取極限近似值精確值2.第一類曲線積分的統(tǒng)一定義（形式上的定義）記為也稱其為平面上對弧長的曲線積分也稱其為空間上對弧長的曲線積分弧長f(x,y)定義在L上IntegralsumintegrandPathofintegration說明:對弧長的曲線積分與路徑的走向無關(guān)!3.第一類曲線積分的性質(zhì)對路徑的可加性

與路徑方向無關(guān)二、第一類曲線積分的計算(只講方法不作證明)1.基本計算法基本思想是:根據(jù)路徑L的參數(shù)表達式化為定積分.

定理1.“一代二換三定限”=ds弧微分公式！說明:概括為“一代二換三定限”幾種特殊情形:x為參數(shù)y為參數(shù)直角坐標下的弧微分公式極坐標下的弧微分公式奇函數(shù)Example1Solutiony為參數(shù)從而化為y的定積分Example2Solutionx為參數(shù)y為參數(shù)Example3SolutionExample4Solution宜采用極坐標計算Example5Solution(2)不難看出:所給曲線是一半徑為2的圓周,其周長為4,故注意:被積函數(shù)是定義在上.所以2.利用對稱性簡化

(3)輪換對稱性Example6Method1.Method2.

由于L關(guān)于x軸對稱,被積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù).Example7Solution由輪換對稱性得:球面大圓周長三、第一類曲線積分的應(yīng)用對空間曲線構(gòu)件也有結(jié)論!Example8SolutionExample9Solution(1)求A的元素dA(2)元素dA的積分得面積A§5.2Lineintegralofthesecondtype

一、Theconceptoffield(場論的基本概念)二、變力沿曲線作功與第二類曲線積分的概念三、第二類曲線積分的計算四、第二類曲線積分的應(yīng)用五、第一、二類曲線積分的關(guān)系一、Theconceptoffield(場論的基本概念)Itiswellknownthattherearedifferentkindsoffieldinphysics,forinstance,temperaturefields,potentialfields,forcefieldsandelectricforcefields.Ingeneral,adomainintheplaneorinspaceonwhichsomekindofphysicalquantityisdistributediscalledafield.Inmathematics,afieldisadomainonwhichascalarorvector-valuedfunctiondefined.Ifthisfunctionisascalarfunctionthenthefieldiscalledascalarfield;ifitisavector-valuedfunctionthenthefieldiscalledavectorfield.IfthephysicalquantityinthefielddependsonlyonthelocationofthepointMandisindependentofthetimet,thenthefieldiscalledastationaryfieldorstablefield.IfthefielddependsnotonlyonthelocationofthepointMbutalsoonthetimet,thenitiscalledanon-stationaryfieldortime-varyingfield.二、變力沿曲線作功與第二類曲線積分的概念1、變力沿曲線作功(1)分割(2)求和(3)取極限近似值精確值2、第二類曲線積分的定義定義1也稱為第二類曲線積分或II型曲線積分!記為！說明:(3)物理意義:變力沿曲線作功.可分可合其中可分可合3、第二類曲線積分的性質(zhì)即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān).三、第二類曲線積分的計算定理.

1.基本計算法

“一代二換三定限”.！說明:x為參數(shù)y為參數(shù)“一代二換三定限”.Example1Solution.

Method1(化為x的定積分)Example2Method2(化為y的定積分)Example3Method1.Method2.Example4Solution(1)上半個圓的參數(shù)方程:結(jié)論表明:此積分值與積分路徑有關(guān),即,即使具有相同起點與終點的積分路徑,如果其路徑軌跡不同,曲線積分值是不同的.Example5Solution結(jié)論表明:此積分值與路徑無關(guān),即,具有相同起點與終點的積分路徑,即使是沿不同的路徑軌跡,曲線積分值是相同的.Thisisaveryimportantandinterestingpropertyoflineintegralsofthesecondtypewhichwewilldiscussfurtherlater.Example6Solution.Example7SolutionExample8Solution

2.利用對稱性簡化計算

注意:無輪換對稱性

四、第二類曲線積分的應(yīng)用Example9Solution由II型曲線積分的物理意義知:Example10Solution.五、第一、二類曲線積分的關(guān)系一方面——單位切向量.第二類曲線積分定積分另一方面同樣可得,

第一類曲線積分定積分第一、二類曲線積分之間的關(guān)系Example11Solution§5.3Green’sformula一、Green公式二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、微分形式Green公式建立了平面區(qū)域D的邊界曲線L上的曲線積分與D內(nèi)的二重積分之間的聯(lián)系，提供了計算沿閉曲線上的曲線積分的一種有效方法。一、Green公式1.單連通區(qū)域設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD單連通區(qū)域——不含有“洞”或“點洞”;

復(fù)連通區(qū)域——含有“洞”或“點洞”;

2.D的邊界曲線L的正向規(guī)定

當觀察者沿L的正向行走時,區(qū)域D內(nèi)離他近處的那一部分總在他的左邊.DD3.Green公式

定理

Proof.

根據(jù)D的不同形狀,分三種情況進行討論.yxoabDcdABCE同理可證兩式相加得Green公式DGDFCEAB由(2)知！說明:(1)便于記憶形式:(2)當邊界曲線取反方向時,Green公式中二重積分符號前添“”號!(3)應(yīng)用Green公式時,特別要注意以下條件:

注意:L為區(qū)域D的正向邊界.

4.Green公式的應(yīng)用

(1)利用Green公式計算曲線積分

Example1Solutionxyo由Green公式得Example2Solution由于L不封閉,不能直接用Green公式,為此由Green公式得Example3Solution曲線L為星形線,包含原點O(0,0)在內(nèi),取以O(shè)為中心,充分小的為半徑作圓周l:x=cos,y=sin,使其全部包含在L內(nèi),l的方向取順時針方向.設(shè)D是由L與l所圍成的區(qū)域.由Green公式得Example4Solution(1)若原點不在L所圍區(qū)域的內(nèi)部xyoL(2)若原點在L所圍區(qū)域的內(nèi)部yxo為此,取r>0足夠小,以原點O為中心,r為半徑作一小圓,且使小圓位于L所圍區(qū)域內(nèi).由Green公式得:Example5Solution由Green公式得:(2)利用Green公式計算二重積分

Example6Solutionxyo二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件1.曲線積分與路徑無關(guān)的定義

GyxoBA如果在區(qū)域G內(nèi)有與路徑無關(guān).2.與路徑無關(guān)的四個等價條件定理:

恰當條件此時,也稱u(x,y)為微分形式Pdx+Qdy的原函數(shù).Proof.如圖所示積分中值公式由Green公式得證畢.！說明:(1)曲線積分與路徑無關(guān)要求在單連通區(qū)域內(nèi)考慮,而Green公式只要求封閉路徑；具體求法為：積分上限函數(shù)與路徑無關(guān),故可走特殊路徑.或者3.利用路徑無關(guān)條件計算曲線積分Example7Solution所以,此曲線積分與路徑無關(guān).Example8SolutionExample9SolutionExample10Solution由Green公式有,(3)如圖,

由積分與路徑無關(guān)，Example11Solution.

由積分與路徑無關(guān),得

三、微分形式定義根據(jù)與路徑無關(guān)的四個等價條件可知:Example12Solution有三種方法可以求這樣的u(x,y).Method1(曲線積分法)Method2(不定積分法)Method3(湊微分法)Example13Solution§5.4Surfaceintegralofthefirsttype一、第一類曲面積分的概念二、第一類曲面積分的計算三、第一類曲面積分的應(yīng)用一、第一類曲面積分的概念1.引例

Solution.分割

求和

取極限近似值精確值Definition1(光滑曲面)如果曲面S上的每一點都有切平面且切平面隨點連續(xù)變動,則稱曲面S為光滑曲面.2.定義

Definition2(第一類曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分)表示面積記為或第I型曲面積分,或?qū)γ娣e的曲面積分.！說明:(4)第一類曲面積分與曲面的方向無關(guān)!

Property1Property23.性質(zhì)

其他性質(zhì)與第一類曲線積分類似.二、第一類曲面積分的計算1.基本計算法(“

一投二代三替換”)第一類曲面積分亦即對面積的曲面積分,其基本計算方法是轉(zhuǎn)化為二重積分來計算.證明大意:

故結(jié)論成立.一般地,向投影區(qū)域易找且面積非0的坐標面投影.Example1Solution向xoy面投影較易.采用極坐標.Example2Solution.Solution.Example3只能向yoz面投影.Example4Solution.只能向yoz面或xoz面投影,因在xoy面上的投影為0.2.對稱性簡化計算

(4)輪換對稱性Example5Solution.球面關(guān)于三個坐標面對稱,

Example6Solution.Example7Solution.關(guān)于三個坐標面對稱,

其中1表示第一卦限部分曲面,即

1:x+y+z=a,即z=a-x-y

Example8Solution.由輪換對稱性得球面面積三、第一類曲面積分的應(yīng)用類似于平面、立體、曲線構(gòu)件可得：Example9Solution坐標軸即為球面構(gòu)件的直徑，所以輪換對稱性§5.5Surfaceintegralofthesecondtype一、第二類曲面積分的概念二、第二類曲面積分的計算四、第二類曲面積分的應(yīng)用三、第一、二類曲面積分的關(guān)系一、第二類曲面積分的概念1.有向曲面(雙側(cè)曲面,單側(cè)曲面)觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面有雙側(cè)曲面和單側(cè)曲面.假設(shè)曲面是光滑的,則當點P在曲面上連續(xù)變動時,相應(yīng)的法向量也隨之連續(xù)變動.如果點P在曲面上沿任一路徑連續(xù)變動后且不跨越曲面的邊界回到原來的位置時,相應(yīng)的法向量的方向與原來的方向相同,則稱曲面為雙側(cè)曲面.典型的雙側(cè)曲面

如果點P在曲面上沿任一路徑連續(xù)變動后回到原來的位置時,相應(yīng)的法向量的方向與原來的方向相反,則稱曲面為單側(cè)曲面.典型的單側(cè)曲面

莫比烏斯(Mobius)帶通常我們所遇到的曲面都是雙側(cè)的,如球面、旋轉(zhuǎn)拋物面等如果把一長方形紙條的一端扭轉(zhuǎn)1800，再與另一端粘合起來可得到莫比烏斯(Mobius)帶。麥比烏斯的地鐵系統(tǒng)在科學(xué)幻想故事“一列名叫麥比烏斯的地鐵”中，故事情節(jié)圍繞一列從波士頓地鐵系統(tǒng)中神秘消逝的第86號列車而展開.這個地鐵系統(tǒng)前一天才舉行通車儀式,但是現(xiàn)在第86號卻消失了,什么痕跡也沒有留下.事實上,很多人都報告說他們聽到了列車在它們的正上方或正下方飛馳的聲音,但是誰也沒有真正地看到過它.當確定這列火車為止的所有努力都失敗之后,哈佛的數(shù)學(xué)家羅杰.圖佩羅給交通中心打電話,并且提出了一個驚人的理論:這個地鐵系統(tǒng)非常復(fù)雜,以至于它可能變成了一個單側(cè)曲面(麥比烏斯帶)的一部分,而那列在當時丟失的火車可能正在這條帶子的“另一個”面上跑它的正常路線.面對極度驚愕的市政官員,他耐心地解釋了這種系統(tǒng)的拓撲奇異性.在經(jīng)過一段時間——確切地說是十星期之后——這列丟失的列車又重新出現(xiàn)了，它的乘客都安然無恙，只是有一點累.

曲面的側(cè)是利用曲面上法向量的指向來確定的.取定了法向量或選定了側(cè)的曲面叫做有向曲面.2.有向曲面在坐標面上的投影設(shè)為有向曲面,S為上一小塊曲面.S在xoy面上的投影定義如下:類似地S在yoz面上的投影S在xoz面上的投影3.流量問題Solution.3.第二類曲面積分的定義定義1(第二類曲面積分或第II型面積分或?qū)ψ鴺说那娣e分)其中——對坐標x,y

的曲面積分——對坐標y,z

的曲面積分——對坐標z,x

的曲面積分！說明:(4)當P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)

在有向光滑曲面上連續(xù)時,對坐標的曲面積分一定存在.4.第二類曲面積分的性質(zhì)二、第二類曲面積分的計算第二類曲面積分的計算方法有:1.基本計算法;2.對稱性簡化;3.類型轉(zhuǎn)換法;4.投影轉(zhuǎn)換法;5.利用高斯公式.1.基本計算法(“一投二代三定向”)計算第二類曲面積分的基本方法是通過投影轉(zhuǎn)化為二重積分的計算;轉(zhuǎn)化過程可概括為”一投二代三定向”.三定向根據(jù)題中給定的曲面的方向確定上述等號右邊的符號.如果取上側(cè),應(yīng)取正號;如果取下側(cè),應(yīng)取負號.此外,如果曲面上的法向量垂直于z軸,即曲面在xoy坐標面上的投影為0,則曲面積分值為0.類似可得:注意:將曲面投影到y(tǒng)oz坐標面上注意:將曲面投影到xoz坐標面上注意(1)計算過程為“一投影二代三正向”;Example1Solution由于兩曲面在xoy坐標面上的投影域均為:用極坐標計算二重積分Example2Solution.如圖所示,取下側(cè)；取上側(cè)；取下側(cè).Example3Solution2.對稱性簡化計算法

Example4Solution.Example5Solution.如圖所示,取下側(cè);取上側(cè);三、第一、二類曲面積分的關(guān)系由第二類曲面積分的定義可得:兩類曲面積分的關(guān)系式.3.第二類曲面積分計算的類型轉(zhuǎn)換法

計算第二類曲面積分,有時利用基本計算方法時,若投影工作量較大,則可根據(jù)兩類曲面積分的關(guān)系轉(zhuǎn)換為第一類曲面積分計算.Example6Solution.如圖所示,Example7Solution因為所給球面上任意點(x,y,z)處的單位外法向量4.第二類曲面積分計算的投影轉(zhuǎn)換法

因此投影之間可相互轉(zhuǎn)換,從而使計算簡便,例如:Example8Solution.由對稱性及奇偶性得

四、第二類曲面積分的應(yīng)用根據(jù)前面的流量問題的解決可知:

故,求流體的流量問題可用第二類曲面積分來計算.Example9Solution所求流體的流量為:下側(cè)上側(cè)§5.6Gauss’sformulaanddivergence一、Gauss公式三、通量與散度四、綜合應(yīng)用二、沿閉曲面的曲面積分為零的條件一、Gauss公式Gauss公式建立了沿空間區(qū)域的邊界曲面上的曲面積分與內(nèi)的三重積分之間的聯(lián)系,因此提供了計算沿封閉曲面上的曲面積分的一種有效方法.定理:(高斯公式或奧氏公式或奧高公式)Proof.(1)設(shè)平行于坐標軸的直線與邊界曲面的交點不多于兩個，如圖xy-型根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法同理,

三式相加得,(2)當平行于坐標軸的直線與邊界曲面的交點多于兩個時,引進輔助曲面分成多個(1)中的區(qū)域，可得結(jié)論.三式可單獨用,也可以合并用.！說明:(1)Gauss公式的實質(zhì)：表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.(2)Gauss公式主要用來簡化某些曲面積分的計算.(3)不是封閉曲面時,添加輔助面后可用Gauss公式.(4)使用Gauss公式時應(yīng)考慮:P,Q,R是對什么變量求偏導(dǎo),是否有連續(xù)偏導(dǎo),是否是閉曲面的外側(cè).如果是閉曲面的內(nèi)側(cè),則在三重積分號前添“”號!Example1其中是第一卦限內(nèi)邊長為a的正方體表面并取外側(cè).Solution.利用Gauss公式，有Example2Solution.利用Gauss公式,得利用柱面坐標Example3Solution(1)記(S)所圍的區(qū)域為,利用Gauss公式,得利用球面坐標(2)曲面(S)不封閉,故補充:利用Gauss公式,得利用球面坐標Example4Solution(1)不含原點,由Gauss公式,得(2)包含原點,在內(nèi)作一球面1:1內(nèi)側(cè)二、沿閉曲面的曲面積分為零的條件定理則有結(jié)論:

三、通量與散度定義.！說明:(1)利用上述概念,Gauss公式可寫成在上述公式中,如果向量場v表示一不可壓縮流體的穩(wěn)定流速場,則公式的右端可解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)域的流體的總質(zhì)量.由于假定流體是不可壓縮的和穩(wěn)定的,因此流體在離開的同時,內(nèi)部必須有產(chǎn)生流體的”源”產(chǎn)生出同樣多的流體進行補充.所以,公式的左端可解釋為單位時間內(nèi)在內(nèi)的”源”所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量.如果divv(M)>0,則表明點M是”源”,直觀上表示有流體經(jīng)由點M處的一個小洞流入?yún)^(qū)域,見圖,其值表示源的強度.如果divv(M)<0,則表明點M是”匯”,直觀上表示有流體經(jīng)由點M處的一個小洞流入?yún)^(qū)域,見圖,其值表示匯的強度.如果divv(M)=0,則表明點M即不是”源”也不是”匯”.(2)由三重積分的中值定理可得即散度=源頭強度(單位體積內(nèi)流體的流量).散度有如下性質(zhì):Example5Solution.四、綜合應(yīng)用Example6Solution.所給曲面如圖，取上側(cè)由Gauss公式有Example7Solution.如圖所示，取后側(cè)取左側(cè)取上側(cè)由Gauss公式有Example8其中a為正常數(shù),記Ω表面的外側(cè)為∑,Ω的體積為V,Proof.xyz§5.7Stokes’sformulaandthecurlofavector一、Stokes公式三、環(huán)流量與旋度二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件其中的側(cè)與的方向按右手法則確定.Stokes’公式.Stokes公式建立了沿空間曲面的曲面積分與沿的邊界曲線的曲線積分之間的關(guān)系.與Green公式,Gauss公式一起,是多元函數(shù)積分學(xué)的三個重要公式.

一、Stokes公式曲面的側(cè)與邊界曲線的方向作如下規(guī)定(右手法則):當右手四指依的繞行方向時，大拇指所指的方向與上法向量的指向相同，這時稱是有向曲面的正向邊界曲線.定理1.其中的側(cè)與的方向按右手法則確定.Stokes’formula.Stokespublishedhistheoremin1854(withoutproof,foritappearedasaquestiononaCambridgeUniversityexamination).By1870itwasincommonuse.Proof思路:曲面積分二重積分曲線積分12(1)設(shè)平行于坐標軸的直線與∑的交點不多于一個，則設(shè)當∑為z=z(x,y)上側(cè),在xoy面上投影區(qū)域為Dxy,Г在xoy面上的投影曲線為C時,如圖所示.三式相加即得結(jié)論.(2)若平行于坐標軸的直線與∑的交點多于一個時，作輔助線可得結(jié)論成立.！說明:(1)便于記憶,Stokes公式可用行列式表示為(2)利用兩類曲面積分的關(guān)系,得Stokes公式的另一形式(3)Stokes公式的實質(zhì):表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.Stokes公式Green公式特殊情形也稱Stokes公式為空間的Green公式.(4)當是xoy面的平面閉區(qū)域時,利用Stokes公式,既可將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分來計算,也可將曲面積分轉(zhuǎn)化為曲線積分來計算.但Stokes公式主要還是提供了一種求空間曲線積分的有效方法.SolutionExample1利用Stokes公式計算較簡便.取上側(cè)Example2Solution1(ByStokesformula)Solution2(基本計算法)Example3Solution1(化為定積分—5.2節(jié)中已講)

Solution(利用Stokes公式)

Example4Solution.如圖所示oxyz利用Stokes公式！說明:(1)截面圓的半徑為(2)選用兩種類型的曲面積分都可以，就本題來說，積分號下出現(xiàn)常數(shù)，故選對面積的曲面積分為宜.(3)積分曲面∑是選平面還是選球面被平面割下的那一部分，從理論上講，都是可以的，以計算簡單為宜.(4)也可化為參數(shù)方程直接計算.二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2.

設(shè)空間開區(qū)域G是單連通區(qū)域;由于曲線積分與路徑無關(guān)，所以可選擇特殊路徑得上述公式，如圖所示.oxyzExample5Proof三、環(huán)流量與旋度定義.旋度滿足以下規(guī)律:！說明:Example6Solution.第5章練習(xí)冊題解Chapter6常微分方程§6.2-6.3一階微分方程及其解法§6.4可降階的高階微分方程§6.1微分方程的基本概念§6.5線性微分方程解的結(jié)構(gòu)§6.7微分方程的簡單應(yīng)用§6.6二階常系數(shù)線性微分方程與Euler方程對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉……傅立葉微分方程以方程的形式描述了未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的依賴關(guān)系.微分方程理論的基本問題是研究滿足這個方程的函數(shù),即所謂的解.這一章主要研究幾類特殊微分方程的解法.§6.1微分方程的基本概念一、引例二、微分方程的基本概念一、引例1.一曲線通過點(1,2),且在該曲線上任一點M(x,y)處的切線的斜率為2x,求此曲線方程.Solution:0yxy=x2+C(1.1)式兩邊積分得:0yxy=x2+12.假設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點,以初始速度vo從高為H的高空自由下落,若不計空氣阻力,求質(zhì)點在下落過程中高度s與時間t的關(guān)系?.Solution:s(t)SHFig.5-1-2.(1.5)式積分二次的得:將條件(1.6)代入(1.7)與(1.8)得:c1=v0,c2=H.3.(Malthas人口模型)英國人Malthas(1766~1834)根據(jù)百余年的統(tǒng)計資料,于1798年提出了聞名于世的所謂Malthas人口模型:他假設(shè)人口的增長率與該時刻的人口數(shù)成正比,求人口數(shù)與時間的關(guān)系?Solution:可見:若r>0,人口將以等比級數(shù)指數(shù)增長,出現(xiàn)人口爆炸在所難免.二、微分方程的基本概念1.微分方程含有未知函數(shù)及其未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程.

注意:(1)在微分方程中，未知函數(shù)和自變量可以不出現(xiàn)但其導(dǎo)數(shù)必須有，否則不是微分方程.(2)微分方程中,若未知函數(shù)是一元函數(shù),稱為常微分方程,若未知函數(shù)是二元或以上的函數(shù),稱為偏微分方程.(2x+y)dx+xdy=0(1.11)以上都是常微分方程.是偏微分方程.微分方程舉例2.微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階.且稱為一階、二階，…，n階微分方程.分別記為(2x+y)dx+xdy=0(1.11)(1.12)(1.14)為二階微分方程.(1.13)為三階微分方程(1.10),(1.11)為一階微分方程.3.微分方程的解使得微分方程成為恒等式的函數(shù).即

Example1Solution微分y得:故,y=c1sin2x+c2cos2x是該微分方程的解.由微分方程的解的定義4.微分方程的通解與特解：(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解:運用已知條件確定了通解中任意常數(shù)以后的解.注意:(1)通解中任意常數(shù)互相獨立，不能合并.應(yīng)為一個任意常數(shù).(2)通解、特解的幾何意義：5.初始條件確定通解中任意常數(shù)的已知條件稱為定解條件,求微分方程滿足定解條件的解的問題稱為定解問題.最常見的定解條件是初始條件.一般地:Example2Solution:所求特解為Example3.Solution.對所給方程求導(dǎo)得再求導(dǎo)得，一、可分離變量微分方程二、齊次微分方程§6.2-6.3一階微分方程及其解法三、一階線性微分方程四、Bernoulli方程五、全微分方程這一節(jié),主要討論幾種典型的一階微分方程的解法.其一般原則是,根據(jù)方程的類型確定相應(yīng)的解法.由于不同類型的微分方程采用不同的解法,因此最為重要的是認清方程類型并記住其解法(2.1)可分離變量微分方程齊次微分方程一階微分方程Bernoulli方程全微分方程主要類型:一、可分離變量微分方程解法

兩邊積分分離變量得通解它是一階方程中最重要而且最簡單的類型.求解步驟:(1)分離變量;(2)等式兩邊積分Example1解微分方程

Solution:分離變量得:這個解可以化簡!y=0

也是方程的解,故所求通解為:Example2Solution:分離變量得:兩邊積分得:從而通解為:此外,y=1也是原方程的解,但他們不包括在通解中.稱其為奇異解(singularsolutions).Example3Solution:Example4Solution:稱這樣的方程為積分方程.解法的基本思想為:通過求導(dǎo)化為微分方程后再求解.Example5Solution:有些方程雖然本身不是可分離變量方程,但根據(jù)方程的特點,可通過適當變換化為可分離變量方程,從而可以求解.Example6Solution:Example7Solution:二、齊次方程解法:

可分離變量的方程求解步驟:(1)作變量替換;(2)化為可分離變量方程Example8Solution:為齊次方程為可分離變量方程Example9Solution:為齊次方程故通解為:兩邊積分得:即,Example10Solution:原方程兩邊求導(dǎo)得代入并化簡得為積分方程,注意:一般求的是特解.有些方程雖然本身不是齊次方程,但根據(jù)方程的特點,可通過適當變換化為齊次方程,從而可以求解.為齊次方程,否則為非齊次方程.解法:Example11Solution:代入原方程得方程變?yōu)槿?、一階線性微分方程上方程稱為一階線性齊次方程上方程稱為一階線性非齊次方程特點“一階”：未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一階.“線性”：未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次.解法:

齊次方程的通解為(1)對于一階齊次線性方程(利用分離變量法)為可分離變量方程(2)對于一階非齊次線性方程方法1(常數(shù)變易法)先求出對應(yīng)齊次方程的通解然后變易常數(shù)，設(shè)非齊次方程的通解為求出C(x)便可得通解.積分得得一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程的一個特解常數(shù)變易公式

方法2(公式法):直接用下述常數(shù)變易公式

！說明:線性非齊次微分方程的通解=對應(yīng)齊次方程的通解與其自身的一個特解之和.(2)類似地，對于以x為函數(shù)的一階非齊次線性方程Example12Solution:用常數(shù)變易法Example13Solution用常數(shù)變易公式Example14Solution:關(guān)于x是線性的關(guān)于y不是一階線性微分方程四、Bernoulli方程為一階線性微分方程.

為非線性微分方程.解法:

代入上式該方程為一階線性微分方程.具體通解公式:Example15Solution:Bernoulli方程,n=1/2Example16Solution:Example17.Solution:Bernoulli方程,n=2Example18.Solution:有些方程雖然本身不是上述典型方程,但根據(jù)方程的特點,可通過適當?shù)淖儞Q、求積分因子等技巧化為典型方程,從而求解.Example19Solution:Solution:可分離變量方程五、全微分方程(Totaldifferentialequations)1.定義2.判別方法3.求解方法chapter5線積分與路徑無關(guān)的四個等價條件

！說明:Example20Solution:Method1(曲線積分法)Method2(不定積分法)Method3(湊全微分法)有些方程雖然本身不是全微分方程,但可通過方程兩邊乘一個積分因子的技巧化為全微分方程,從而求解----積分因子法.積分因子的求法(1)觀察法Example21利用觀察法求積分因子，并求解方程

Solution:將方程重新組合得為全微分方程Example22Solution:結(jié)論這里主要討論了幾種典型的一階微分方程的解法.其一般原則是,根據(jù)方程的類型確定相應(yīng)的解法.如果所遇到的方程不是典型方程，則必須根據(jù)方程的特點，充分利用變量替換、求積分因子等技巧，把方程化為典型方程，從而求解.由于不同類型的微分方程采用不同的解法,因此最為重要的是認清方程類型并記住其解法§6.4

可降階的高階微分方程

接下來我們討論高階微分方程的解法.高階微分方程的求解問題實際上是一個比較困難的問題.本節(jié)先討論幾種特殊類型的高階微分方程的求解問題,然后再介紹高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)以及高階常系數(shù)線性微分方程的解法.這里討論的幾種特殊類型的高階微分方程,其求解思想相同,即利用變量替換將方程降階----稱為可降階的高階微分方程,主要考慮二階微分方程.連續(xù)積分n次得含有n個互相獨立任意常數(shù)的通解.…即得通解注意:每積一次加一個任意常數(shù)解法:

Example1.Solution.(不顯含未知函數(shù)y的微分方程)方程變形為

解此一階微分方程可得即

兩邊積分得

p=(x,C1)解法:

方程降為一階即得通解Example2Solution:分離變量得:兩邊積分得:Solution.代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為Example3.(不顯含自變量的微分方程)解法:

令y'=p(y),則方程變?yōu)榻獯艘浑A微分方程得p=(y,C1)即分離變量并兩邊積分得方程降為一階Example4.

求解微分方程

2yy''+y'2=0Solution.分離變量得即令y'=p(y),則即分離變量得兩邊積分得或即Example5.Solution.Example6Solution:方程兩邊求導(dǎo)得:方程兩邊再求導(dǎo)得:由y(x),y‘(x)的表達式可得:

y(0)=–1,y'(0)=1因此問題變?yōu)橄铝谐踔祮栴}的解:

y''=2yy',y(0)=–1,y'(0)=1解此方程得:由y(0)=–1,y‘(0)=1,得C1=0分離變量且兩邊積分得:由y(0)=–1,得C2=1一、二階線性微分方程的概念二、函數(shù)的線性相關(guān)性§6.4線性微分方程解的結(jié)構(gòu)三、二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)四、二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)五、n階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)六、二階變系數(shù)線性微分方程的常數(shù)變易法一、二階線性微分方程的概念二階線性微分方程.稱二階齊次線性微分方程.稱二階非齊次線性微分方程.特點“二階”：未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是二階.“線性”：未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次.二、函數(shù)的線性相關(guān)性否則稱為線性無關(guān).顯然:Example1.Proof.Example2.Solution.三、二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)Theorem1(解的疊加原理)問題:Theorem2(齊次方程通解結(jié)構(gòu))例如四、二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)Theorem3(非齊次方程通解結(jié)構(gòu))

Forexample:Theorem4(疊加原理)

Theorem5Example3.Solution.五、n階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)六、二階變系數(shù)線性微分方程的常數(shù)變易法Proof:

(1)令y2(x)=u(x)y1(x)是此方程的一個與y1(x)線性無關(guān)的特解,則

y'2(x)=u'(x)y1(x)+u(x)y'1(x)

y''2(x)=u''(x)y1(x)+2u'

(x)y'1(x)+u(x)y''1(x)上兩式代入方程得:結(jié)論:解此線性方程得:關(guān)于u是可降階的二階微分方程

LiouvilleFormulaExample4.Solution:因y1(x)=x是此方程的一個特解,利用Liouville公式得:故方程的通解為:結(jié)論2.Proof:二階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易公式y(tǒng)'(x)=C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)+C1(x)y'1(x)+C2(x)y'2(x)

y''(x)=C'1(x)y'1(x)+C1(x)y''1(x)+C'2(x)y'2(x)+C2(x)y''2(x)令C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)=0(3)將y(x),y'(

x),y''(x)代入方程得:則y'(x)=C1(x)y'1(x)+C2(x)y'2(x),故因一個方程,兩個未知函數(shù),故

二階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易公式Example5Solution由Liouville公式得對應(yīng)齊次方程的另一個特解故對應(yīng)齊次方程的通解為Y

(x)=C1ex+C2x.由常數(shù)變易公式得原方程的通解為§6.5二階常系數(shù)線性微分方程與Euler方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二、n階常系數(shù)齊次線性微分方程三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程四、Enler方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程將其代入原方程,得特征方程特征根(1)有兩個不相等的實根得兩個線性無關(guān)的特解故齊次方程的通解為特征根為(2)有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為(3)有一對共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為得兩個線性無關(guān)的特解Euler公式Example1.求解下列微分方程Solution.(1)特征方程為故所求通解為(2)特征方程為故所求通解為(3)特征方程為故所求通解為(4)特征方程為故所求通解為(5)特征方程為故所求通解為二、n階常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程為特征方程的根通解中的對應(yīng)項Example2.求解下列微分方程Solution.(1)特征方程為故所求通解為(2)特征方程為故所求通解為特征根為故所求通解為(3)特征方程為三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程設(shè)非齊次方程的特解為代入原方程綜上討論得試解形式Example3.Solution.Example4.Solution.關(guān)于f(x)是線性方程利用Euler公式是所求方程的特解形式.Example5.Solution.比較系數(shù)得由定理知定理Example6.Solution.Example7.Solution.對應(yīng)齊次方程的通解為或作輔助方程代入上式所求非齊次方程的特解為原方程通解為（取虛部）Example8.Solution.對應(yīng)齊次方程的通解為作輔助方程代入輔助方程四、Euler(歐拉)方程形如的方程稱為Euler方程,其中P1,P2,…Pn是常數(shù).解法：歐拉方程