第2章平面問題的基本理論0917

彈性力學(xué)羅建輝第二章平面問題的基本理論2-1平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題

一、彈性力學(xué)空間問題的簡化(在特定的條件下)空間問題平面問題

二、彈性力學(xué)平面問題1、平面應(yīng)力問題

(1)幾何特征：等厚度的薄板，厚度<<長、寬；

(2)受力特征：∥xy面，沿板厚不變；

體力fx、fy作用于體內(nèi)；

面力fx、fy作用于板邊；

約束u、v作用于板邊。

(3)化簡：兩板面上無面力和約束作用，故

由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，又無

z

向外力，可認(rèn)為：

平面應(yīng)力狀態(tài)：

例如：深梁問題例1（習(xí)題2-3）試分析不受面力的空間體表面薄層中的應(yīng)力狀態(tài)。

選擇坐標(biāo)系如圖。因該表面無任何面力，fx、fy、fz

=0,故表面上(σz

,τzx

,τzy)=0在近表面很薄一層(σz

,τzx

,τzy)→0∴接近平面應(yīng)力問題。2、平面應(yīng)變問題

(1)幾何特征：常截面的柱體，長度>>截面的長、寬；

(2)受力特征：∥xy面，沿厚度不變；

體力fx、fy作用于體內(nèi)；

面力fx、fy作用于柱面；

約束u、v作用于柱面。

(3)化簡：任何橫截面均為對(duì)稱面?！鄔=0,

只有u,v,(平面位移問題)

由于截面形狀、體力、面力及約束沿z向均不變，故應(yīng)力、應(yīng)變、位移均為f(x,y)。平面應(yīng)變狀態(tài)：

例如：擋土墻，隧道隧道擋土墻3、平面問題總結(jié)：

例2（習(xí)題2-4）

按平面應(yīng)變問題特征來分析，本題中

只有

思考題設(shè)有厚度很大(即z向很長)的基礎(chǔ)梁放置在地基上,如果想把它近似地簡化為平面問題處理,問應(yīng)如何考慮?

2-2平面問題的平衡微分方程

一、單元體的受力圖

t=1

平面應(yīng)力：z方向應(yīng)力為零。

平面應(yīng)變：z方向應(yīng)力自成平衡。應(yīng)用的基本假定：連續(xù)性假定─應(yīng)力用連續(xù)函數(shù)來表示。小變形假定─用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。

二、平衡微分方程(平面任意力系)合力=應(yīng)力×面積，體力×體積；以正向物理量來表示。平面問題中可列出三個(gè)平衡條件:

ΣFy=0，同理可得：ΣMC=0,得剪應(yīng)力互等定理

三、總結(jié)：平衡微分方程

四、討論：1、超靜定問題。2、任意點(diǎn)平衡保證整體平衡。3、平面問題都適用。

思考題

1.試檢查，同一方程中的各項(xiàng)，其量綱必然相同（可用來檢驗(yàn)方程的正確性）。2.將條件ΣMc=0,改為對(duì)某一角點(diǎn)的ΣM=0，將得出什么結(jié)果？3.微分體邊上的應(yīng)力若考慮為不均勻分布，將得出什么結(jié)果？2-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

一、斜截面上的應(yīng)力取出一個(gè)三角形微分體（包含x面、y面，n面）已知坐標(biāo)面上應(yīng)力σx

,σy

,τxy

求斜面上的應(yīng)力。斜面應(yīng)力表示：p＝(px,py),p=(σn

,τn)2-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

一、斜截面上的應(yīng)力求解：邊長

AB=ds,

PB=lds,

PA=mds.

l=cos(n,x),

m=sin(n,y)

(1)求（px,py）2-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

一、斜截面上的應(yīng)力

l=cos(n,x),

m=sin(n,y)

(2)求（σn

,τn

）將（px,py）向法向、切向投影，得2-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

一、斜截面上的應(yīng)力2-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

一、斜截面上的應(yīng)力2-4幾何方程剛體位移

一、幾何方程:表示應(yīng)變與位移之間的關(guān)系

二、幾何方程的導(dǎo)出：應(yīng)變分量用位移表示

PA

線應(yīng)變

二、幾何方程的導(dǎo)出：

PA

線應(yīng)變

PA

轉(zhuǎn)角

PB

線應(yīng)變

PB

轉(zhuǎn)角

三、幾何方程的總結(jié)：

⑴適用于區(qū)域內(nèi)任何點(diǎn)；

⑵應(yīng)用小變形假定，略去了高階小量→線性的幾何方程；

⑶適用條件：a.連續(xù)性；b.小變形。

⑷幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件的反映和必然結(jié)果。

四、剛體位移1、基本概念位移確定→形變完全確定：

從物理概念看，各點(diǎn)的位置確定，則微分線段上的形變確定。

從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，位移函數(shù)確定，則其導(dǎo)數(shù)（形變）確定。形變確定，位移不完全確定：

從物理概念看，ε、γ確定，物體還可作剛體位移。

從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，ε、γ確定，求位移是積分運(yùn)算，出現(xiàn)待定函數(shù)。2、剛體位移2、剛體位移物理意義：

─表示x，y向的剛體平移，

─表示物體繞原點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。結(jié)論：

形變確定，位移不完全確定：

從物理概念看，ε、γ確定，物體還可作剛體位移。

思考題

1.試證明微分體繞z軸的平均轉(zhuǎn)動(dòng)分量是

2.當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，εx=a,εy=b,γxy=c，試求出對(duì)應(yīng)的位移分量。選擇習(xí)題2—7、2—19。2-5物理方程

一、物理方程:表示應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系

二、廣義胡克定律物理方程的說明：(1)理想線性彈性體；(2)本構(gòu)關(guān)系：總結(jié)實(shí)驗(yàn)規(guī)律得出的；(3)各項(xiàng)同性；

三、平面問題的物理方程1、平面應(yīng)力問題的物理方程：2、平面應(yīng)變問題的物理方程

變換關(guān)系：

平面應(yīng)力物理方程→平面應(yīng)變物理方程：

平面應(yīng)變物理方程→平面應(yīng)力物理方程：1、平面應(yīng)力問題的物理方程：2、平面應(yīng)變問題的物理方程

思考題

1.試證：由主應(yīng)力可以求出主應(yīng)變，且兩者方向一致。2.試證：三個(gè)主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，有時(shí)可以產(chǎn)生拉裂現(xiàn)象。試根據(jù)空間問題的物理方程進(jìn)行解釋。3.試證：在自重作用下，圓環(huán)（平面應(yīng)力問題）比圓筒（平面應(yīng)變問題）的變形大。試根據(jù)它們的物理方程來解釋這種現(xiàn)象。2-6邊界條件一、邊界條件─表示在邊界上位移與約束、或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。

二、3類邊界條件

1、位移邊界條件

─在Su部分邊界上給定位移分量u(s)和v(s

)

（在Su上)。

位移邊界條件的說明：

(1)

它是函數(shù)方程，要求在

上每一點(diǎn)，位移與對(duì)應(yīng)的約束位移相等。

(2)

若為簡單的固定邊u=v=0，則有

(3)

它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條件，或位移保持連續(xù)性的條件。

（在Su上)。2、應(yīng)力邊界條件──在Sσ上給定了面力分量fx(s)，(s)

。

坐標(biāo)面應(yīng)力與斜面應(yīng)力的關(guān)系式：

將斜面與邊界面重合，則得應(yīng)力邊界條件

應(yīng)力邊界條件的說明：

(1)

它是邊界上微分體的靜力平衡條件；

(2)

它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點(diǎn)s上均滿足，這是精確的條件；(3)特例：自由邊界-----面力為零。當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時(shí)，若x=a為正x面，l=1,m=0,

則成為

若x=-b為負(fù)x面，l=-1,m=0,

則成為

例1

列出邊界條件：

例2

列出邊界條件：

3、混合邊界條件：

(1)部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件；

(2)同一邊界上，一個(gè)為位移邊界條件，另一個(gè)為應(yīng)力邊界條件。例3

列出x=a的邊界條件

思考題

1、若在斜邊界面上，受有常量的法向分布?jí)毫作用，試列出應(yīng)力邊界條件，(圖(a))。2、證明在無面力作用的0A邊上，σy不等于零（圖(b)）。3、證明在凸角A點(diǎn)附近，當(dāng)無面力作用時(shí)，其應(yīng)力為零（圖(c)）。4、試導(dǎo)出在無面力作用時(shí)，AB邊界上的σx,σy

,τxy

之間的關(guān)系。(圖(d))。5、試比較平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的基本方程和邊界條件的異同，并進(jìn)一步說明它們的解答的異同。選擇習(xí)題2—132-7圣維南原理及其應(yīng)用一、概述

彈力問題是微分方程的邊值問題。應(yīng)力、位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方程和S上的邊界條件。1、主要的困難在于難以滿足邊界條件。2、圣維南原理可用于簡化小邊界上的邊界條件。二、圣維南原理：

如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。

二、圣維南原理：

如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。

圣維南原理的說明：

1、圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界（小邊界，次要邊界或局部邊界）；

2、靜力等效─指兩者主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)主矩也相同；

3、近處─指面力變換范圍的一、二倍的局部區(qū)域；

4、遠(yuǎn)處─指“近處”之外。

圣維南原理表明，在小邊界上進(jìn)行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應(yīng)力，對(duì)絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒有明顯影響。

例1

比較下列問題的應(yīng)力解答

三、圣維南原理的第二敘述：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。例2

比較下列問題的應(yīng)力解答。

四、圣維南原理的應(yīng)用：簡化小邊界上的邊界條件。例1如圖，寫出x=l小邊界的應(yīng)力邊界條件。

(1)

精確的應(yīng)力邊界條件

在邊界x=l上，(2)圣維南原理意義下的應(yīng)力邊界條件(合力邊界條件)。在小邊界x=l上，討論：1.如果只給出面力的主矢量、主矩如圖，則直接代入面力的主矢量、主矩；2.合力邊界條件是近似的，但只影響于小邊界局部。合力邊界條件對(duì)應(yīng)于幾種精確應(yīng)力邊界條件？比較：

精確的應(yīng)力邊界條件(無限)和積分的應(yīng)力邊界條件(有限)方程個(gè)數(shù)23方程性質(zhì)函數(shù)方程（難滿足）代數(shù)方程（易滿足）精確性精確近似適用邊界大、小邊界小邊界

思考題

為什么在大邊界（主要邊界）上，不能應(yīng)用圣維南原理？選擇習(xí)題2—8、2—9。例1

試列出圖中的邊界條件。解：(a)在主要邊界y=±h/2應(yīng)精確滿足下列邊