第2章邏輯代數(shù)及其化簡(jiǎn)

第2章

邏輯代數(shù)及其化簡(jiǎn)

2.1計(jì)數(shù)制與編碼2.2邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.3邏輯函數(shù)常用的描述方法2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)2.5具有無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)2.6用Multisim2001進(jìn)行邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)與變換2.1計(jì)數(shù)制與編碼任何數(shù)通常都可以用兩種不同的方法來表示：一種是按其“值”表示，另一種是按“形”表示。按“值”表示，即選定某種進(jìn)位的計(jì)數(shù)制來表示某個(gè)數(shù)的值，這就是所謂的進(jìn)位計(jì)數(shù)制，簡(jiǎn)稱數(shù)制（NumberSystem）。按“形”表示，就是用代碼來表示某些數(shù)的“值”。按“形”表示一個(gè)數(shù)時(shí)，先要確定編碼規(guī)則，然后按此編碼規(guī)則編出代碼，并給代碼賦以一定的含義，這就是所謂的編碼。2.1計(jì)數(shù)制與編碼

2.1.1

常用計(jì)數(shù)制及其轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)的表示1.1.2十進(jìn)制數(shù)的表示1.1.1其他進(jìn)制數(shù)的表示1.1.31.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制二進(jìn)制數(shù)的表示1.1.2十進(jìn)制數(shù)的表示1.1.1其他進(jìn)制數(shù)的表示1.1.3十進(jìn)制數(shù)的表示⒈基本特征：

計(jì)數(shù)規(guī)律:數(shù)制：進(jìn)位計(jì)數(shù)制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9逢十進(jìn)1,借一當(dāng)10數(shù)碼的個(gè)數(shù)和計(jì)數(shù)規(guī)律是進(jìn)位計(jì)數(shù)制的兩個(gè)決定因素計(jì)數(shù)體制、計(jì)數(shù)方法。高位進(jìn)位，本位歸0。例：123.45讀作一百二十三點(diǎn)四五⒉計(jì)數(shù)法例：123.45讀作一百二十三點(diǎn)四五

位置計(jì)數(shù)法(N)10=(kn-1

kn-2…k1

k0.k-1

k-2…k-m)10

位置計(jì)數(shù)法通式例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2

按權(quán)展開式

按權(quán)展開通式

和式(N)10=kn-110n-1+kn-210n-2+…+k1101+k0100

+k-110-1+k-210-2+…+k-m10-m⒊基與基數(shù)用來表示數(shù)的數(shù)碼的集合稱為基（0—9）,集合的大小稱為基數(shù)(十進(jìn)制為10)。即表示某種進(jìn)位計(jì)數(shù)制所具有的數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，也叫模。在十進(jìn)制中，10的整冪次方稱為10進(jìn)制數(shù)的權(quán)。即表示某種進(jìn)位計(jì)數(shù)制不同位置上數(shù)字的單位值，位置不同顯示的數(shù)值大小不同。123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2數(shù)位不同，權(quán)值不同。⒋權(quán)例：其它進(jìn)制

其它進(jìn)制的計(jì)數(shù)規(guī)律可看成是十進(jìn)制計(jì)數(shù)制的推廣，對(duì)任意進(jìn)制R，數(shù)N可以表示成按權(quán)展開式：(N)R=kn-1Rn-1+kn-2Rn-2+…+k1R1+k0R0

+k-1R-1+k-2R-2+…+k-mR-m(N)R=(kn-1

kn-2…k1

k0.k-1

k-2…k-m)R權(quán)值一般用十進(jìn)制表示二進(jìn)制數(shù)碼個(gè)數(shù)2個(gè)：

計(jì)數(shù)規(guī)律:例：0,1逢二進(jìn)1,借一當(dāng)2(11011.01)2=124+123

+022+121+120

+02-1

+12-2＝1(10)100+1(10)11+0(10)10+1(10)1+1

(10)0

+

0(10)-1+1(10)-10權(quán)值一般用十進(jìn)制表示二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)

只有兩個(gè)數(shù)碼,很容易用物理器件來實(shí)現(xiàn)。

運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單。

二進(jìn)制數(shù)只有兩個(gè)狀態(tài)，數(shù)字的傳輸和處理不容易出錯(cuò)，可靠性高。

在邏輯運(yùn)算中可以使用邏輯代數(shù)。二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則加法規(guī)則0＋0=0；1＋0=1；0＋1=1；1＋1=0減法規(guī)則0－0=0；1－0=1；0－1=1；1－1=0乘法規(guī)則0×0=0；1×0=0；0×1=0；1×1=1除法規(guī)則0÷1=0；1÷1=1

二進(jìn)制用二個(gè)態(tài)表示0，1二個(gè)數(shù)，機(jī)器實(shí)現(xiàn)容易，如高電平“1”，低電平為“0”。目前數(shù)字系統(tǒng)均是采用二進(jìn)制,是機(jī)器唯一認(rèn)識(shí)的數(shù)碼。但書寫太長(zhǎng)易出錯(cuò)，為此引入八進(jìn)制與十六進(jìn)制的概念。八進(jìn)制和十六進(jìn)制的引入八進(jìn)制數(shù)碼個(gè)數(shù)8個(gè)： 計(jì)數(shù)規(guī)律:例：

0,1,2,3,4,5,6,7逢八進(jìn)1,借一當(dāng)8(176.5)8=182+781

+680

+58-1＝1(10)2+7(10)1+6

(10)0+5(10)-1八進(jìn)制二進(jìn)制00001001201030114100510161107111與二進(jìn)制的變換表十六進(jìn)制

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F(0………10……15)逢十六進(jìn)1,借一當(dāng)16(FA1.C)16=F162+A161

+1160

+C16-1＝F(10)2+A(10)1+1

(10)0+C(10)-1數(shù)碼個(gè)數(shù)16個(gè)：

計(jì)數(shù)規(guī)律:例：與二進(jìn)制的變換表十六進(jìn)制二進(jìn)制00000100012001030011401005010160110701118100091001A1010B1011C1100D1101E1110F1111幾種常用數(shù)制的表示方法：R＝10二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制000011112102231133410044510155611066711177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F數(shù)制轉(zhuǎn)換

十進(jìn)制人們最熟悉；二進(jìn)制是機(jī)器唯一認(rèn)識(shí)的數(shù)制；八進(jìn)制、十六進(jìn)制便于書寫和編程。因此必須了解各種數(shù)制間如何轉(zhuǎn)換。二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)、十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換1.2.2二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換1.2.1二進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換

（10101.11）B=1×24+1×22+1×20+1×2-1+1×2-2

=16+4+1+0.5+0.25

=（21.75）D例：

采用的方法就是按權(quán)展開相加

1.二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制（165.2）o

=1×82+6×81+5×80+2×8-1

=64+48+5+0.25

=（117.25）D（2A.8）H

=2×161+10×160+8×16-1

=32+10+0.5=（42.5）D例1：例2：

其他進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

看例題（427.625

）D=？整數(shù)和小數(shù)轉(zhuǎn)換方法不一樣。如一個(gè)既有小數(shù)又有整數(shù)的十進(jìn)制，分別將整數(shù)和小數(shù)轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的數(shù)，然后再相加。

①

整數(shù)轉(zhuǎn)換“連除取余”---除進(jìn)位基數(shù)R，直至商數(shù)小于基數(shù)為止。

（427）D=（？）B

LSBMSB當(dāng)轉(zhuǎn)換出二進(jìn)制后，可按三位一組，四位一組直接轉(zhuǎn)換八進(jìn)制和十六進(jìn)制。

(427)D=(110101011)B=(653)o=(1AB)H26262120…4272106253213232…1…1…10…0……1…121302…1

（0.625）D=（？）B

“連乘取整”--乘進(jìn)位基數(shù)，直至小數(shù)為0或滿足精度為止。②純小數(shù)轉(zhuǎn)換101

(0.625)D

=(0.101)B

=(0.5)o

=(0.A)H0.625×21.250×20.500×21.000

(427.625)D=(110101011.101)B

=(653.5)O=(1AB.A)H

(427)D=(110101011)B=(653)o=(1AB)H(0.625)D=(0.101)B=(0.5)o=(0.A)H③整數(shù)與小數(shù)轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的數(shù)相加

二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換

我們已知八進(jìn)制，十六進(jìn)制與二進(jìn)制的關(guān)系；故八進(jìn)制與十六進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換常通過二進(jìn)制實(shí)現(xiàn)。按四位一組按三位一組二進(jìn)制二進(jìn)制先將八進(jìn)制十六進(jìn)制十六進(jìn)制八進(jìn)制⒈八進(jìn)制與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換(10011100101101001000.01)B=(010011

100101101001

000.010)B=()O01554=(2345510.2)O322從小數(shù)點(diǎn)開始3位一組不足補(bǔ)0不足補(bǔ)0⒉十六進(jìn)制與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換(10011100101101001000.01)B=(1001

11001011

0100

1000.0100)B=()H84BC9=(9CB48.4

)H不足補(bǔ)0從小數(shù)點(diǎn)開始4位一組4反之(345.7)O=()B(345.7)O=(011100101.111)B1位八進(jìn)制對(duì)應(yīng)3位二進(jìn)制(27B.7C)H=()B(27B.7C)H=(001001111011.01111100)B1位十六進(jìn)制對(duì)應(yīng)4位二進(jìn)制=(1001111011.011111)B0可去掉2.1.2編碼

計(jì)算機(jī)等數(shù)字系統(tǒng)所處理的信息多為數(shù)值、文字、符號(hào)、圖形、聲音和圖像等，它們都可以用多位二進(jìn)制數(shù)來表示，這種多位二進(jìn)制數(shù)叫做代碼。如果用一組代碼并給每個(gè)代碼賦以一定的含義則稱編碼（Encode）。在數(shù)字電路中，常用二-十進(jìn)制碼，也叫做BCD（Binary-CodedDecimal）碼。所謂二-十進(jìn)制碼，就是用4位二進(jìn)制數(shù)組成的代碼來表示1位十進(jìn)制數(shù)。4位二進(jìn)制數(shù)具有16種組合，二-十進(jìn)制數(shù)的10個(gè)數(shù)字符號(hào)只需選用其中的10種組合來表示常用的幾種二-十進(jìn)制編碼表2-1所示。2.1.2編碼

表2-1常用的幾種二-十制編碼有權(quán)碼無權(quán)碼2.2邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾（GeorgeBoole）于1847年在他的著作中首先對(duì)邏輯代數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)的論述，故邏輯代數(shù)始稱為布爾代數(shù)，因?yàn)檫壿嫶鷶?shù)用于研究二值變量的運(yùn)算規(guī)律，所以也稱為二值代數(shù)。2.2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算

邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算包括與、或、非三種運(yùn)算。下面用三個(gè)指示燈的控制電路來分別說明三種基本邏輯運(yùn)算的物理意義。設(shè)開關(guān)A、B為邏輯變量，約定開關(guān)閉合為邏輯1、開關(guān)斷開為邏輯0；設(shè)燈為邏輯函數(shù)F，約定燈亮為邏輯1，燈滅為邏輯0。

1.與運(yùn)算

邏輯與（也叫邏輯乘）定義如下：“一個(gè)事件要發(fā)生需要多個(gè)條件，只有當(dāng)所有的條件都具備之后，此事件才發(fā)生”。EABF？？怎么表示與運(yùn)算呢1)真值表:將邏輯變量所有可能取值的組合與其一一對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值之間的關(guān)系以表格的形式表示出來，叫做邏輯函數(shù)的真值表。與邏輯運(yùn)算真值表ABF0011010100011.與運(yùn)算

2)邏輯表達(dá)式：表示邏輯與運(yùn)算的邏輯函數(shù)表達(dá)式為F＝A·B，式中“·”為與運(yùn)算符號(hào)，有時(shí)也可以省略。與運(yùn)算的規(guī)則為：

0·0＝0，0·1＝0，1·0＝0，1·1=1。與運(yùn)算可以推廣到多個(gè)邏輯變量，即

F＝A·B·C···。1.與運(yùn)算

3)邏輯符號(hào)（電路圖）：在數(shù)字電路中，實(shí)現(xiàn)邏輯與運(yùn)算的單元電路叫與門，與門的邏輯符號(hào)如圖所示。1.與運(yùn)算

本教材采用的符號(hào)2.或運(yùn)算

在決定一事件發(fā)生的多個(gè)條件中，只要有一個(gè)條件滿足，此事件就會(huì)發(fā)生。AEBF??邏輯或運(yùn)算的真值表或運(yùn)算邏輯函數(shù)表達(dá)式為F＝A＋B，式中“＋”為或運(yùn)算符號(hào)?；蜻\(yùn)算的規(guī)則為：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1=1。邏輯或運(yùn)算也可推廣到多個(gè)邏輯變量，即F=A+B+C+……。2.或運(yùn)算

2.或運(yùn)算實(shí)現(xiàn)邏輯或運(yùn)算的單元電路叫或門，或門的邏輯符號(hào)如圖所示。3.非運(yùn)算

當(dāng)條件不具備時(shí)，事件才會(huì)發(fā)生。EYAR??邏輯非運(yùn)算的真值表3.非運(yùn)算非運(yùn)算的邏輯表達(dá)式為，式中A上的“－”為非運(yùn)算符號(hào)，EDA中表示為。非運(yùn)算的規(guī)則為：實(shí)現(xiàn)非運(yùn)算的單元電路叫非門(或反相器），非門的邏輯符號(hào)如圖所示。4.

幾種常用的邏輯運(yùn)算由與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算可以組合成多種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算。

1)與非運(yùn)算ABF0011010111104.

幾種常用的邏輯運(yùn)算2）或非運(yùn)算ABF0011010110004.

幾種常用的邏輯運(yùn)算3）與或非運(yùn)算4）異或邏輯運(yùn)算對(duì)于兩變量的異或運(yùn)算，當(dāng)輸入相異時(shí)輸出為1，輸入相同時(shí)輸出為0。5）同或邏輯運(yùn)算對(duì)于兩變量的同或運(yùn)算，當(dāng)輸入相同時(shí)輸出為1，輸入相異時(shí)輸出為0。2.2.2邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式

1.

基本公式

01定律：重疊律：2.2.2邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.2.2邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式同理可證明：2.2.2邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.常用公式

2.常用公式2.常用公式*異或公式(補(bǔ)充)2.2.3邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

1.

代入規(guī)則

對(duì)任意邏輯等式，如果將式中的某一變量用其他變量或邏輯函數(shù)替換，則此等式仍然成立。例如,等式，若函數(shù)F＝BC去置換等式中地變量B，則等式左邊，而等式右邊，顯然，等式仍然成立。2.

反演規(guī)則

對(duì)于一個(gè)邏輯函數(shù)式F,若將其中所有的則得到的結(jié)果就是F的反函數(shù)。注意：優(yōu)先順序不能變，帽子以上不能變。3.

對(duì)偶規(guī)則

FF’對(duì)于一個(gè)邏輯函數(shù)式F,若將其中的則得到的結(jié)果就是F的對(duì)偶式。若兩邏輯式相等,則它們的對(duì)偶式也相等。2.3

邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互間的轉(zhuǎn)換2.3.1邏輯函數(shù)常用的描述方法

邏輯函數(shù)常用的描述方法有

邏輯表達(dá)式真值表邏輯電路圖卡諾圖。1.邏輯表達(dá)式

由邏輯變量和邏輯運(yùn)算符號(hào)組成，用于表示變量之間邏輯關(guān)系的式子，稱為邏輯表達(dá)式。常用的邏輯表達(dá)式有與或表達(dá)式、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式、與非與非表達(dá)式、或非或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式等。與或表達(dá)式：標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式：或與表達(dá)式：

標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式:與非與非表達(dá)式:或非或非表達(dá)式:與或非表達(dá)式：

2.真值表

用來反映變量所有取值組合及對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格，稱為真值表。

例如，對(duì)于三變量的判斷奇數(shù)的電路中，當(dāng)A、B、C三個(gè)變量中有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，輸出F為1；否則，輸出F為0。表2-12三變量判斷奇數(shù)電路的真值表

ABC

F

000001010011100101110111

011010013.邏輯圖

由邏輯門電路符號(hào)構(gòu)成的，用來表示邏輯變量之間關(guān)系的圖形稱為邏輯電路圖，簡(jiǎn)稱邏輯圖。

4.卡諾圖將邏輯變量分成兩組，分別在橫豎兩個(gè)方向排列出各組變量的所有取值組合，構(gòu)成一個(gè)有個(gè)方格的圖形，其中，每一個(gè)方格對(duì)應(yīng)變量的一個(gè)取值組合，這種圖形叫做卡諾圖。2.3.2不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換

1.表達(dá)式→真值表

由表達(dá)式列函數(shù)的真值表時(shí)，一般首先按自然二進(jìn)制碼的順序列出函數(shù)所含邏輯變量的所有不同取值組合，再確定其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。

例2-1列出邏輯函數(shù)的真值表

解：逐個(gè)將變量A、B、C的各個(gè)取值組合代入邏輯函數(shù)中，求出相應(yīng)的函數(shù)值。ABC取000時(shí)，F(xiàn)為0；ABC取001時(shí)，F(xiàn)為1；……；ABC取110時(shí)，F(xiàn)為1；ABC取111時(shí)，F(xiàn)為0。按自然二進(jìn)制碼的順序列出變量A、B、C的所有不同取值組合，再根據(jù)以上的分析結(jié)果，表2-13邏輯函數(shù)的真值表

ABC

F00000101001110010111011101111110FABC00000100100011000010011110111111

找出輸出“1”的組合用“與”寫出使輸出為1的組合。將所有已寫出的組合進(jìn)行“或”

真值表2.真值表→表達(dá)式

3.表達(dá)式→邏輯圖2.3.3邏輯函數(shù)的建立及其描述方法

為了解決某個(gè)實(shí)際問題，必須研究其因變量及其相互之間的邏輯關(guān)系，從而得出相應(yīng)的邏輯函數(shù)。一般來說，首先應(yīng)根據(jù)提出的實(shí)際邏輯命題，確定輸入邏輯變量、輸出邏輯變量。研究它們之間的因果關(guān)系，列出其真值表。再根據(jù)真值表寫邏輯函數(shù)表達(dá)式。例2-13：有一水塔，用一大一小的兩臺(tái)電動(dòng)機(jī)MS和ML分別驅(qū)動(dòng)兩個(gè)水泵向水塔注水，當(dāng)水塔的水位降到C點(diǎn)時(shí)，小電動(dòng)機(jī)MS單獨(dú)驅(qū)動(dòng)小水泵注水，當(dāng)水位降到B點(diǎn)時(shí)，大電動(dòng)機(jī)ML單獨(dú)驅(qū)動(dòng)大水泵注水，當(dāng)水位降到A點(diǎn)時(shí)由兩臺(tái)電動(dòng)機(jī)同時(shí)驅(qū)動(dòng)水泵注水。試設(shè)計(jì)一個(gè)控制電動(dòng)機(jī)工作的邏輯電路。解1）設(shè)水位C、B、A為輸入變量，當(dāng)水位降到C、B、A的某點(diǎn)時(shí)，取值為邏輯“1”，否則取值為邏輯“0”；電動(dòng)機(jī)MS和ML為輸出變量，工作時(shí)取值為“1”，不工作時(shí)為“0”。2)分析邏輯變量之間的因果關(guān)系，列出此邏輯函數(shù)的真值表。3）根據(jù)真值表可寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式。

4)根據(jù)邏輯函數(shù)表達(dá)式畫出邏輯電路圖。2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

2.4.1邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式

同一邏輯函數(shù)可以采用不同的邏輯電路圖來實(shí)現(xiàn)，而這些邏輯電路圖所采用的器件的種類或數(shù)量可能會(huì)有所不同，因此化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)可以簡(jiǎn)化電路、節(jié)省器材、降低成本、提高系統(tǒng)的可靠性。因此，化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)對(duì)工程設(shè)計(jì)來說具有重要意義。邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式有很多種，常用的有最簡(jiǎn)與或式和最簡(jiǎn)或與式。與或式F1=AB+BC與或式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)是：①含的與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；②各與項(xiàng)中含的變量個(gè)數(shù)最少?；蚺c式F2=(A+B)(B+C)或與式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)是：①含的或項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；②各或項(xiàng)中含的變量個(gè)數(shù)最少。常用的化簡(jiǎn)方法有公式法和卡諾圖法兩種。2.4.2邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)

公式化簡(jiǎn)法就是反復(fù)運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式，得到最簡(jiǎn)形式。1.

并項(xiàng)法利用結(jié)合律，將兩個(gè)與項(xiàng)合并為一個(gè)，消去其中的一個(gè)變量。例如

2.吸收法

利用吸收律A+AB=A，吸收多余的與項(xiàng)。例如：3.消因子法

利用吸收律消去某些與項(xiàng)中的變量。例如：4.消項(xiàng)法

利用吸收律，將某些與項(xiàng)消去。例如：

5.配項(xiàng)法

利用等基本公式給某些邏輯函數(shù)配上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，進(jìn)而可消去原函數(shù)中的某些項(xiàng)或變量。例如實(shí)際上，在化簡(jiǎn)一個(gè)較復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)，總是根據(jù)邏輯函數(shù)的不同構(gòu)成，綜合應(yīng)用上述幾種方法。例如例題不同形式表達(dá)式之間的變換:利用基本公式對(duì)邏輯函數(shù)作形式上的變換，以便選用適合的器件來實(shí)現(xiàn)其邏輯功能。如將與或式變換成與非－與非表達(dá)式，以便用與非門來實(shí)現(xiàn)。例如不同形式表達(dá)式之間的變換:將或與式變換成或非－或非表達(dá)式，以便用或非門來實(shí)現(xiàn)。例如

2.4.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)

用公式法簡(jiǎn)化邏輯函數(shù)時(shí)，一方面，不僅要熟記邏輯代數(shù)的基本公式，而且還需要有熟練的運(yùn)算技巧；另一方面，經(jīng)過化簡(jiǎn)后的邏輯函數(shù)是否是最簡(jiǎn)或最佳時(shí)有時(shí)也難以確定。與之相比，應(yīng)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，則簡(jiǎn)捷直觀、靈活方便、且容易確定是否已得到最簡(jiǎn)結(jié)果。但是，當(dāng)邏輯函數(shù)的變量數(shù)n>6以后，由卡諾圖中小方格的相鄰性已很難確定，使用就不很方便了。1.標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式–最小項(xiàng)（1）定義標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式是一種特殊的與或表達(dá)式，其中的每個(gè)與項(xiàng)都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個(gè)變量以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，這樣的與項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)，又稱最小項(xiàng)。如F=F(A,B)，共有最小項(xiàng)4項(xiàng)：m0m100000101最小項(xiàng)二進(jìn)制代碼十進(jìn)制數(shù)mim2m3m4m5m6m7010011100101110111234567（2）最小項(xiàng)編號(hào)（3）最小項(xiàng)的主要性質(zhì)每個(gè)最小項(xiàng)都與變量的惟一的一個(gè)取值組合相對(duì)應(yīng)，只有該取值組合使這個(gè)最小項(xiàng)取值為1，其余任何組合均使該最小項(xiàng)為0。所有最小項(xiàng)相或，結(jié)果為1。任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)相與，結(jié)果為0例2-4寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。（4）標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式是一種特殊的或與表達(dá)式，其中的每個(gè)或項(xiàng)都包含了所有的邏輯變量，每個(gè)變量以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。這樣的或項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)，又稱最大項(xiàng)。例如：A、B、C的最大項(xiàng)對(duì)應(yīng)的變量取值組合為010，其大小為2，因而，記為M2。如果一個(gè)或項(xiàng)缺少某變量，則或上該變量和其反變量的邏輯與，直至每一個(gè)或項(xiàng)都為最大項(xiàng)為止。

2.卡諾圖構(gòu)成的原則將邏輯變量分成兩組，分別在橫豎兩個(gè)方向排列出各組變量的所有取值組合，構(gòu)成一個(gè)有個(gè)方格的圖形，其中，每一個(gè)方格對(duì)應(yīng)變量的一個(gè)取值組合，這種圖形叫做卡諾圖。1）每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)于n變量來說，共有2n個(gè)小方格。2）幾何上相鄰的最小項(xiàng)，邏輯上具有相鄰性。AB01

010132ABABABAB二變量卡諾圖最小項(xiàng)編號(hào)ABC000111100101324

576ABCABCABCABCABCABCABCABC三變量卡諾圖2.卡諾圖構(gòu)成的原則0132457612131514891110ABCD0001111000011110ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD四變量卡諾圖重要特性：幾何相鄰具有邏輯相鄰注：上與下，左與右，對(duì)稱，相鄰五變量卡諾圖3.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

在卡諾圖中，由行和列兩組變量構(gòu)成的每一個(gè)小方格，都代表了邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，變量取值為1的代表原變量，為0的代表反變量。11111）由變量數(shù)選定卡諾圖2）所含最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)格填1若邏輯函數(shù)為一般的與或表達(dá)式，無需先變換成最小項(xiàng)表達(dá)式，可直接將其填寫在卡諾圖中。111111114.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

（1）相鄰小方格的合并規(guī)則卡諾圖中，凡相鄰的兩個(gè)小方格（此稱幾何相鄰）都具有邏輯相鄰性，也就是它們只有一個(gè)變量取值不同，其他變量取值相同。邏輯相鄰的最小項(xiàng)相或時(shí)，可利用公式進(jìn)行合并，合并時(shí)應(yīng)注意以下規(guī)則：1）兩個(gè)相鄰小方格可以合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，且消去一個(gè)變量。ABC000111100111

=BC(A+A)=BCY=ABC+ABC利用A+A=1的關(guān)系11AC11AB2）4（22）個(gè)相鄰的小方格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，且消去兩個(gè)變量。ABC0001111001

1111Y=

ABC+ABC+ABC+ABC

=AC(B+B)+AC(B+B)=AC+AC=CABC0001111001

1111Y=AY=ABC+ABC+ABC+ABCABCD00011110000111101111Y=BDABCD0001111000011110Y=C11111111（3）如果是八個(gè)相鄰單元取值同為1，則可以合并，并消去三個(gè)變量。ABCD0001111000011110Y=AABCD000111100001111011111111Y=D111111114）如果是2n個(gè)相鄰單元取值同為1，則可以合并，并消去n個(gè)變量。（2）用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟

1）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。將邏輯函數(shù)F變換成與或式，凡在F中包含有的最小項(xiàng)，在其卡諾圖相應(yīng)的小方格中填1，其余的小方格空著或填0。2）合并最小項(xiàng)①將相鄰的為1的小方格圈在一起，畫圖時(shí)要將盡可能多的小方格圈在一起，圈畫得越大，消去的變量就越多。②所畫的圈內(nèi)都必須至少包含一個(gè)未被圈過的小項(xiàng)，否則所得的乘積項(xiàng)是冗余