小波的例子與小波卷積構(gòu)造定理

§2.4小波與小波卷積構(gòu)造定理1.允許小波定義由連續(xù)小波變換需要可逆性，可知這里由此可推知這一結(jié)論指出，ψ(t)的取值必然是有正有負(fù)，也即它是振蕩的。即小波具有具有局部性質(zhì)和快速衰減性滿足上述兩條的稱為允許小波，有時也稱母小波2.基本小波定義若滿足則稱為基本小波，有時也稱為母小波允許小波一定是基本小波，基本小波未必就是允許小波(1)Haar小波這是一種最簡單的正交小波，即

…3.常用的基本小波常用的基本小波

(2)Daubechies（dbN）小波系

D4尺度函數(shù)與小波

D6尺度函數(shù)與小波

常用的基本小波

(3)雙正交小波（biorNr.Nd）小波系

雙正交B樣條小波bior2.2,bior4.4（7-5）小波濾波器:常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一個三次B樣條。Biorthogonal函數(shù)系的主要特征體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用在信號與圖像的重構(gòu)中。通常的用法是采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個小波函數(shù)進行重構(gòu)。Biorthogonal函數(shù)系通常表示為biorNr.Nd的形式：Nr=1Nd=1，3，5Nr=2Nd=2，4，6，8Nr=3Nd=1，3，5，7，9Nr=4Nd=4Nr=5Nd=5Nr=6Nd=8其中，r表示重構(gòu)，d表示分解。(4)Coiflet（coifN）小波系coiflet函數(shù)也是由Daubechies構(gòu)造的一個小波函數(shù)，它具有coifN（N=1，2，3，4，5）這一系列，coiflet具有比dbN更好的對稱性。從支撐長度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩數(shù)目。(5)SymletsA（symN）小波系Symlets函數(shù)系是由Daubechies提出的近似對稱的小波函數(shù)，它是對db函數(shù)的一種改進。Symlets函數(shù)系通常表示為symN（N=2，3，…，8）的形式。常用的基本小波

(6).Morlet小波Morlet小波是Gabor小波的特例。Gabor小波Morlet小波常用的基本小波

(7)高斯小波常用的基本小波

(8).Marr小波（也叫墨西哥草帽小波）常用的基本小波

(9).Meyer小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進行定義的。具體定義如下：這里常用的基本小波

(10).Shannon小波常用的基本小波

(11).Battle-Lemarie樣條小波

Battle-Lemarie線性樣條小波及其頻域函數(shù)的圖形4.不是小波的例5.小波卷積構(gòu)造定理（1）利用卷積運算，可以提高小波函數(shù)的光滑性，我們自然希望這個經(jīng)“磨光”后的函數(shù)仍是小波函數(shù)，下面的定理肯定了這一點。定理：設(shè)是一個小波母函數(shù)（允許小波），是有界函數(shù)，則卷積也是一個小波母函數(shù)。（2）例子例1線性樣條小波，設(shè)其中