第三章符號(hào)運(yùn)算

第三章MATLAB的符號(hào)運(yùn)算功能3.1符號(hào)對(duì)象的創(chuàng)建3.2變量間的相互轉(zhuǎn)換3.5符號(hào)方程的求解3.4常用符號(hào)運(yùn)算功能的實(shí)現(xiàn)3.3

符號(hào)表達(dá)式的操作和轉(zhuǎn)換第4章MATLAB的符號(hào)運(yùn)算功能符號(hào)計(jì)算可以對(duì)未賦值的符號(hào)對(duì)象（常數(shù)、變量、表達(dá)式）進(jìn)行運(yùn)算和處理，是MATLAB處理數(shù)值功能的自然擴(kuò)展。數(shù)值運(yùn)算中必須先對(duì)變量賦值，然后才能參與運(yùn)算。符號(hào)運(yùn)算無(wú)須事先對(duì)獨(dú)立變量賦值，運(yùn)算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)形式表達(dá)。符號(hào)運(yùn)算不產(chǎn)生數(shù)值運(yùn)算產(chǎn)生的運(yùn)算誤差，可以在運(yùn)算最后將數(shù)字代入結(jié)果，因此避免了中間運(yùn)算的誤差，能夠以指定的精度返回結(jié)果。3.1符號(hào)對(duì)象的創(chuàng)建在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，參與運(yùn)算的變量都是被賦了值的數(shù)值變量。而在符號(hào)運(yùn)算的整個(gè)過(guò)程中，參與運(yùn)算的是符號(hào)變量。在符號(hào)運(yùn)算中所出現(xiàn)的數(shù)字都是當(dāng)做符號(hào)來(lái)處理的。符號(hào)對(duì)象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，包括符號(hào)常數(shù)、符號(hào)變量和符號(hào)表達(dá)式，用來(lái)存儲(chǔ)代表符號(hào)的字符串。在符號(hào)運(yùn)算中，凡是由符號(hào)表達(dá)式所生成的對(duì)象也都是符號(hào)對(duì)象。

3.1.1創(chuàng)建符號(hào)常量符號(hào)常量是不含變量的符號(hào)表達(dá)式，可用sym命令來(lái)創(chuàng)建。3.1.2創(chuàng)建符號(hào)變量MATLAB中創(chuàng)建符號(hào)變量是利用命令sym和syms來(lái)實(shí)現(xiàn)的。sym命令用創(chuàng)建單個(gè)符號(hào)變量，而syms命令則可以一次創(chuàng)建任意多個(gè)符號(hào)變量。因此，在符號(hào)運(yùn)算中syms命令比sym命令常用。3.1.3創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式有兩種方法:一是用sym命令直接創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式；二是按普通書(shū)寫(xiě)形式創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式。1．用sym命令創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式創(chuàng)建時(shí)不需在前面進(jìn)行任何說(shuō)明，但是需要注意的是：表達(dá)式內(nèi)的符號(hào)變量并未得到說(shuō)明，它們不會(huì)存在于MATLAB的工作空間。2．按普通書(shū)寫(xiě)形式創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式在創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式之前，必須把符號(hào)表達(dá)式所包含的全部符號(hào)變量都創(chuàng)建完畢。創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式時(shí)，只需按照賦值格式輸入即可。3.1.4創(chuàng)建符號(hào)方程符號(hào)方程的創(chuàng)建方法與符號(hào)表達(dá)式創(chuàng)建的第一種方法類似，不能采用創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式的第二種方法。3.1.5創(chuàng)建符號(hào)矩陣創(chuàng)建符號(hào)矩陣有以下幾種方法：用sym命令直接創(chuàng)建符號(hào)矩陣；用類似創(chuàng)建普通數(shù)值矩陣的方法創(chuàng)建符號(hào)矩陣；由數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換為符號(hào)矩陣。1．用sym命令直接創(chuàng)建符號(hào)矩陣矩陣的元素可以是任何符號(hào)變量或符號(hào)表達(dá)式甚至是符號(hào)方程，并且元素的長(zhǎng)度允許不等。輸入符號(hào)矩陣時(shí)，矩陣行與行之間用“；”隔開(kāi)，各矩陣元素之間用“，”或“空格”隔開(kāi)。2．用類似創(chuàng)建普通數(shù)值矩陣的方法創(chuàng)建符號(hào)矩陣在創(chuàng)建符號(hào)矩陣之前要將符號(hào)矩陣所包含的全部符號(hào)變量均創(chuàng)建完畢，然后在創(chuàng)建符號(hào)矩陣時(shí)只要按創(chuàng)建普通數(shù)值矩陣的格式輸入即可。3.由數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換為符號(hào)矩陣將數(shù)值矩陣M轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣S的命令為：S=sym(M)需要注意：這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程是在系統(tǒng)內(nèi)部自動(dòng)完成。

3.2數(shù)值變量、符號(hào)變量及字符變量間的相互轉(zhuǎn)換

（1）將其他類型變量轉(zhuǎn)換為符號(hào)變量命令格式：s=sym(f)其中變量f不受類型的限制，只要不是字符矩陣或非法的表達(dá)式，sym(f)命令均可將f轉(zhuǎn)換為符號(hào)變量s。例如：s1=sym('1.234')

s1=1.234s2=sym(1.234)

s2=617/500a='123f'

a=123f（2）將其他類型變量轉(zhuǎn)換為字符變量

(1).s=int2str(x)該命令可以把整數(shù)x轉(zhuǎn)換為字符型變量s。當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，將對(duì)x先進(jìn)行四舍五入得到整數(shù)后，再把它轉(zhuǎn)換為字符型變量。當(dāng)x為虛數(shù)時(shí)，將只對(duì)x的實(shí)部進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換時(shí)，按照將有理數(shù)轉(zhuǎn)換為字符變量的相同規(guī)則進(jìn)行。(2)．S=num2str(x)該命令可以把普通的數(shù)值型變量x轉(zhuǎn)換為字符型變量s，對(duì)x無(wú)任何限制。執(zhí)行下面的命令，觀察這兩條命令之間的區(qū)別：x1=-123;s1=int2str(x1)s1=-123x2=-11.8+4i;s2=int2str(x2),s3=num2str(x2)s2=-12s3=-11.8+4i（3）將其他類型變量轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量

(1)．x=double(s)當(dāng)s為符號(hào)變量時(shí)，該命令將s轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量x；如果s中含有非數(shù)字的符號(hào)，則系統(tǒng)將給出出錯(cuò)信息；當(dāng)s為字符變量時(shí)，該命令將s轉(zhuǎn)換為數(shù)值矩陣x，矩陣中元素的值為s中相應(yīng)字符的ASCII碼值。(2).x=str2num(s)該命令專用于將字符變量s轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量x。當(dāng)s是一個(gè)包含非數(shù)字字符的變量時(shí)，該命令將返回一個(gè)空矩陣。(3)．x=numeric(s)該命令可將變量s轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量x。這里s既可以是字符變量也可以是符號(hào)變量，但s不能是矩陣，否則將給出出錯(cuò)信息。3.3符號(hào)表達(dá)式的操作和轉(zhuǎn)換3.3.1符號(hào)表達(dá)式中自由變量的確定（1）.自由變量的確定原則小寫(xiě)字母i和j不能作為自由變量。符號(hào)表達(dá)式中如果有多個(gè)字符變量，則按照以下順序選擇自由變量：首先選擇x作為自由變量；如果沒(méi)有x，則選擇在字母順序中最接近x的字符變量；如果與x相同距離，則在x后面的優(yōu)先。除去i和j的小寫(xiě)字母，表達(dá)式中如果沒(méi)有其它字母，則選擇x作為獨(dú)立變量。大寫(xiě)字母比所有小寫(xiě)字母都靠后。當(dāng)變量是詞組時(shí)，比較第一個(gè)字母，第一個(gè)字母一樣時(shí)，比較第二個(gè)字母，以此類推。（2）．findsym命令如果不確定符號(hào)表達(dá)式中的自由符號(hào)變量，可以用findsym命令來(lái)自動(dòng)確定。其調(diào)用格式有以下兩種：findsym(s)：其中s為一個(gè)符號(hào)表達(dá)式或者是符號(hào)矩陣，執(zhí)行該命令后返回一個(gè)字符串，該字符串包含s中出現(xiàn)的所有符號(hào)變量，并且符號(hào)變量是以字母順序排列的（分別用“，”隔開(kāi)）；如果s中沒(méi)有找到符號(hào)變量，則findsym將返回一個(gè)空的字符串。findsym(s,n)：返回字母表中最靠近字母x的n個(gè)字符變量。3.3.2符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn)（1）．pretty命令該命令不會(huì)對(duì)原表達(dá)式進(jìn)行任何化簡(jiǎn)或展開(kāi)，只是以類似于數(shù)學(xué)課本上的形式（如有理分式）來(lái)顯示符號(hào)表達(dá)式。本節(jié)所有的簡(jiǎn)化命令都不支持字符定義。該命令可以合并同類項(xiàng)，給出降冪排列形式。其調(diào)用格式有：collect(A):按默認(rèn)變量對(duì)表達(dá)式A進(jìn)行降冪排列。collect(A,v):按指定變量v對(duì)表達(dá)式A進(jìn)行降冪排列。（2）．collect命令（3）．expand命令該命令將符號(hào)表達(dá)式展開(kāi)成多項(xiàng)式，給出降冪排列形式。在多項(xiàng)式、三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)中經(jīng)常用到該命令。其調(diào)用格式為：expand(S)，其中S為符號(hào)表達(dá)式。該命令可將降冪排列的多項(xiàng)式符號(hào)表達(dá)式寫(xiě)成嵌套的形式。（4）.horner命令（5）．factor命令該命令可將符號(hào)表達(dá)式分解成因式。（6）．simplify命令該命令充分考慮了符號(hào)表達(dá)式的各種運(yùn)算法則，并充分考慮了各種特殊函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，經(jīng)計(jì)算機(jī)比較后給出認(rèn)為表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單的一種化簡(jiǎn)方法。3.3.3符號(hào)表達(dá)式的替換subs命令可用來(lái)進(jìn)行對(duì)符號(hào)表達(dá)式中符號(hào)變量的替換。其調(diào)用格式為：

subs(s):用給定值替換符號(hào)表達(dá)式s中的所有變量。

subs(s,new):用new替換符號(hào)表達(dá)式s中的自由變量。

subs(s,old,new):用new替換符號(hào)表達(dá)式s中的old變量。3.3.4求反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)（1）．求反函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，存在另一個(gè)函數(shù)g(x)使得g(f(x))=x成立，則函數(shù)g(x)稱為函數(shù)f(x)的反函數(shù)。在MATLAB中，finverse命令可以求得符號(hào)函數(shù)的反函數(shù)。其調(diào)用格式為：finverse(f,v)：對(duì)指定自變量v的函數(shù)f(v)求反函數(shù)。當(dāng)v省略時(shí)，則對(duì)默認(rèn)的自由符號(hào)變量求反函數(shù)。（2）．求復(fù)合函數(shù)運(yùn)用命令compose可以求符號(hào)函數(shù)f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)。其調(diào)用格式為：compose(f,g):求f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)f(g(y))。compose(f,g,z):求f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)f(g(z))。compose(f,g,x,z):以x為自變量構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。compose(f,g,x,y,z):以x為自變量構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，并用z替換y。說(shuō)明：x是f的自變量，y是g的自變量；當(dāng)函數(shù)f有多個(gè)自變量時(shí)，可以通過(guò)設(shè)置來(lái)選擇以某個(gè)自變量構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。已知：f=f(x),g=g(y)，compose(f,g)返回f(g(y))已知：f=f(x),g=g(y)，compose(f,g,’z’)返回f(g(z))finverse和compose命令都不支持字符定義方式，必須用符號(hào)定義方式（sym）。3.3.5符號(hào)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換（1）．符號(hào)表達(dá)式與多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)換MATLAB提供了sym2poly和poly2sym兩條命令來(lái)實(shí)現(xiàn)構(gòu)成多項(xiàng)式的符號(hào)表達(dá)式與多項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的行向量之間的相互轉(zhuǎn)換。sym2poly命令用來(lái)將構(gòu)成多項(xiàng)式的符號(hào)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為按降冪排列的行向量，該命令只能對(duì)含有一個(gè)變量的符號(hào)表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。poly2sym與sym2poly相反，用來(lái)將按降冪排列的行向量轉(zhuǎn)換為符號(hào)表達(dá)式。sym2poly命令不支持字符定義格式（2）.提取分子和分母如果表達(dá)式是一個(gè)有理分式（兩個(gè)多項(xiàng)式之比），可以利用numden命令來(lái)提取分子或分母，必要時(shí)還可以進(jìn)行通分。其調(diào)用格式為：[n,d]=numden(S)：將符號(hào)表達(dá)式S轉(zhuǎn)換為分子分母都是整系數(shù)的最佳多項(xiàng)式，返回結(jié)果n為分子，d為分母。當(dāng)?shù)仁阶筮呏挥幸粋€(gè)變量時(shí)，返回的是分子多項(xiàng)式。

注意顯示格式numden命令只支持符號(hào)定義，不支持字符定義3.4常用符號(hào)運(yùn)算功能的實(shí)現(xiàn)3.4.1符號(hào)的代數(shù)運(yùn)算符號(hào)表達(dá)式的代數(shù)運(yùn)算與普通數(shù)值運(yùn)算基本一致，只是在使用時(shí)要注意符號(hào)定義方式與字符定義方式的處理。命令symadd，symsub，symmul和symdiv可以進(jìn)行兩個(gè)表達(dá)式的加、減、乘、除運(yùn)算。這類命令支持字符定義方式sympow可將一個(gè)表達(dá)式表示為另一個(gè)表達(dá)式的冪次，該命令也支持字符定義方式。symop命令可以將兩個(gè)或多個(gè)表達(dá)式合并為一個(gè)，被合并的表達(dá)式由多個(gè)單引號(hào)括起來(lái)的運(yùn)算符號(hào)連接，各單引號(hào)之間用逗號(hào)隔開(kāi)。該命令也支持字符定義方式。3.3.3符號(hào)的極限運(yùn)算假定符號(hào)表達(dá)式的極限存在，MATLAB提供了直接求表達(dá)式極限的命令limit，命令limit的基本用法如

P79表4-1limit命令的用法

表達(dá)式命令格式說(shuō)明limit(f)對(duì)默認(rèn)變量求趨近于0的極限limit(f,x,a)對(duì)x求趨近于a的極限，當(dāng)左右極限不相等時(shí)極限不存在。limit(f,x,a,left)對(duì)x求左趨近于a的極限limit(f,x,a,right)對(duì)x求右趨近于a的極限極限不存在時(shí)，返回結(jié)果為NaN。該命令不支持字符定義方式3.3.3符號(hào)的微積分運(yùn)算（1）．符號(hào)微分命令diff是用來(lái)求符號(hào)表達(dá)式的微分。其調(diào)用格式為：diff(f)：求f對(duì)自由變量的一階微分。diff(f,t)：求f對(duì)符號(hào)變量t的一階微分。diff(f,n)：求f對(duì)自由變量的n階微分。diff(f,t,n)：求f對(duì)符號(hào)變量t的n階微分。diff(f)

：對(duì)缺省變量求一階微分diff(f,’t’)

：對(duì)指定變量t求一階微分diff命令對(duì)符號(hào)定義及字符定義方式都支持diff(f,n)

：

對(duì)自由變量進(jìn)行n階微分diff(f,’t’,n)

：對(duì)指定變量t求n階微分命令diff還可以用于對(duì)數(shù)組中的元素進(jìn)行逐項(xiàng)求差值，計(jì)算出的差值比原來(lái)的向量少一列。2．符號(hào)積分命令int(f)可以求得符號(hào)表達(dá)式的積分，即找出一個(gè)符號(hào)表達(dá)式g使得diff(g)=f，也可以說(shuō)是求微分的逆運(yùn)算。其調(diào)用格式為：int(f,’t’)：求符號(hào)變量t的不定積分。int(f,’t’,a,b)：求符號(hào)變量t的定積分。int(f,’t’,’m’,’n’)：求符號(hào)變量t的定積分。說(shuō)明：t為符號(hào)變量，當(dāng)t省略則為默認(rèn)自由變量；a和b為數(shù)值，[a,b]為積分區(qū)間；m和n為符號(hào)對(duì)象，[m,n]為積分區(qū)間。當(dāng)MATLAB不能找到積分時(shí)，它將給出警告提示并返回該函數(shù)的原表達(dá)式。int(f)：對(duì)缺省變量求積分int(f,’t’)：對(duì)指定變量t求積分int命令對(duì)符號(hào)定義及字符定義方式都支持int(f,a,b)和int(f,’t’,a,b)：對(duì)缺省或指定變量求從a到b的定積分，a,b是數(shù)值。int(f,m,n)和int(f,’t’,m,n)：對(duì)缺省或指定變量求從m到n的定積分，m,n是符號(hào)變量。3.3.5符號(hào)的級(jí)數(shù)運(yùn)算1．symsum命令當(dāng)符號(hào)表達(dá)式的級(jí)數(shù)和存在時(shí)，MATLAB提供了symsum和taylor命令來(lái)進(jìn)行求級(jí)數(shù)的運(yùn)算。symsum(s,x,a,b)：計(jì)算表達(dá)式s的級(jí)數(shù)和。說(shuō)明：x為自變量，x省略則默認(rèn)為對(duì)自由變量求和；s為符號(hào)表達(dá)式；[a,b]為參數(shù)x的取值范圍，省略時(shí)為0~x-1。命令symsum不支持字符定義方式2．taylor命令taylor(F,x,n)：求泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。說(shuō)明：x為自變量，F(xiàn)為符號(hào)表達(dá)式，對(duì)F進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)至n項(xiàng)，n為數(shù)值，省略時(shí)默認(rèn)為6。命令taylor不支持字符定義方式3.4符號(hào)方程的求解3.3.1代數(shù)方程的求解利用MATLAB提供的solve命令可以方便地求解涉及符號(hào)的一般代數(shù)方程（組）。其調(diào)用格式為：solve(f)：f為符號(hào)方程，該命令可以求f關(guān)于系統(tǒng)默 認(rèn)變量為自變量的符號(hào)方程的解。solve(f,v)：求出的解是關(guān)于指定變量v的解。[a1,a2,…,an]=solve(f1,f2,…,fn)[a1,a2,…,an]=solve(f1,f2,…,fn,’v1,v2,…,vn’)如果表達(dá)式不是一個(gè)方程式(不含等號(hào))，則在求解之前自動(dòng)將表達(dá)式置成0。solve命令也支持字符定義方式3.3.2常微分方程的求解MATLAB的符號(hào)工具箱中提供了求解常微分方程（組）的命令：dsolve