無線通信信號處理-第1講(多速率濾波-續(xù))

第一講（續(xù)）

多分辨率信號處理-小波變換

南京郵電大學鄭寶玉2015.8.2012我們應該都有這樣的經(jīng)歷，在餐廳與朋友聊天時，開始覺得很吵，一會兒后覺得聽不到周圍其他人的說話聲音便不覺得吵;然而，倘若我們突然停止談話，我們很快就會在意周圍人們的交談。很明顯，我們的注意力被突然的環(huán)境改變所吸引。我們周圍每天都有很多信息在交流，而我們只將注意力集中在周圍環(huán)境的突然改變上，這很可能是我們的感知系統(tǒng)從大量信號中選擇重要信息的一種方法?！猄.Mallat(AWaveletTourofSignalProcessing)瞬變的世界多分辨率信號處理基礎

傅立葉分析局限性及解決辦法3

小波分析與濾波器組

傅立葉分析及其局限性

Gabor變換(STFT)

小波變換

平穩(wěn)信號與瞬變信號

與小波濾波器設計有關的若干問題4平穩(wěn)信號與瞬變信號所謂平穩(wěn)信號（stationarysignal）是指信號的統(tǒng)計特性不隨時間變化的信號。非平穩(wěn)信號（non-stationarysigal）則是信號統(tǒng)計特性隨著時間變化的信號。5平穩(wěn)信號與瞬變信號6平穩(wěn)信號與瞬變信號多分辨率信號處理基礎

傅立葉分析局限性及解決辦法7

小波分析與濾波器組

傅立葉分析及其局限性

Gabor變換(STFT)

小波變換

平穩(wěn)信號與瞬變信號

與小波濾波器設計有關的若干問題8傅立葉分析及其局限性

人們常常碰到同時需要知道頻域信息和時域信息的情況

-

人聽聲音的過程實際上就是一個時頻分析的過程-

對某一段隨時間變化音頻的識別,即分析局部頻率分布特性-

對圖象的分割也是一種對信號局部頻率分布的分析

傅立葉變換可這樣理解：一個信號f(t)用一組基函數(shù)來表示,

對傅立葉變換來說,其基函數(shù)是復數(shù)形式的正弦或余弦函數(shù)。使用傅立葉變換,我們可以在頻率域(頻域)來分析和解釋信號,

它以一種不同于時間域(時域)表示的形式來表示信號。在整個時間域中進行傅立葉變換操作，不能獲得隨時間變化的局部頻率特性。傅立葉分析假設信號在全局的分布是統(tǒng)計不變的，它需要時域信息的全體來獲得頻率信息的分布。傅立葉分析及其局限性傅立葉分析局限性小結9

典型例子

傅立葉變換常用于進行諧波分析或調和分析。但當傅立葉變換結果諧波幅度很小，甚至可能被淹沒時，利用傳統(tǒng)的傅立葉變換就很難獲得可靠的結果，為此有必要研究信號的局部特性，故引入小波變換。特點

-定義了頻率概念

-分析了信號能量在各頻率成分中的分布局限

-只能獲得信號的整體頻譜特性

-不能獲得信號的局部頻譜特性

-不能描述和分析非平穩(wěn)信號

Gabor變換

為研究信號的局部特性,引入Gabor變換(STFT)

10

定義：Gx(f,t)=F{x(τ)g(τ-t)}

優(yōu)缺點

-優(yōu)點：研究信號的局部特性

-缺點：局部分辨率都一樣;時間-頻率分辨率相矛盾(測不準)-原因：使用單一的窗口(基函數(shù))，即基函數(shù)不變

STFT相當于帶寬恒定的濾波器組。

含義：

-把STFT看作是加窗付氏變換;在時刻t,計算其“所有頻率”的分量

-將STFT看作頻率為f的BPFB;在頻率f,在“所有時間”上對其濾波

作用:將一維信號x(t)映射為時-頻平面(t,f)的二維函數(shù)。小波變換11小波變換的引入

為了克服STFT的缺點,我們希望構造“可變”基函數(shù),即

構造:-持續(xù)時間很短的高頻基函數(shù)

-持續(xù)時間很長的低頻基函數(shù)

做到：

-在高頻區(qū)，頻率窗口很寬，而時間窗口很窄；

-在低頻區(qū)，頻率窗口很窄，而時間窗口很寬。這時，信號分析濾波器相當于一個相對帶寬恒定(常Q)

的濾波器組。小波變換就是利用這一思想構造出來的。小波變換12

小波基函數(shù)

在小波變換中，小波基函數(shù)由某函數(shù)伸縮平移得到：

式中a為標度因子(scalingfactor)起著類似于頻率的作用

h(t)——小波母函數(shù)，簡稱母函數(shù)

ha,b(t)——小波基函數(shù)，簡稱基函數(shù)易見，基函數(shù)與標度因子有著密切關系：

對于大a,基函數(shù)是母函數(shù)的展寬型，是一低頻函數(shù)對于小a,

基函數(shù)是母函數(shù)的縮小型，是一高頻函數(shù)小波變換13

小波變換(WT)的定義

用小波基ha,b(t)取代富氏變換中的復指數(shù)基，即構成WT

如圖所示。14在高頻區(qū)，WT的持續(xù)時間較短在低頻區(qū)，WT的頻率寬度較窄在中頻區(qū)，WT與STFT具有相同的時-頻分辨率STFTWT由圖看見，WT的時-頻分辨率是變化的，即STFT與WT的比較15

共同點：STFT與WT都可解釋為：對每一分析頻率f，用中心頻率為f的帶通濾波器(組)對信號x(t)濾波的結果不同點

-在STFT中,帶寬Δf與中心頻率f無關,Δf=c(帶寬恒定)-在WT中,帶寬Δf與中心頻率f有關,Δf/f=c(相對帶寬恒定)小波變換16常用的基本小波(1/10)

17Haar小波常用的基本小波(2/10)

182.Daubechies小波D4尺度函數(shù)與小波D6尺度函數(shù)與小波

常用的基本小波(3/10)

193、雙正交小波（雙正交B樣條小波）常用于圖形學中。其中尺度函數(shù)h是一個三次B樣條。常用的基本小波(3/10)

20Daubechies小波雙正交小波常用的基本小波(4/10)

214.Morlet小波注意：Morlet小波不存在尺度函數(shù);快速衰減但非緊支撐.Morlet小波是Gabor小波的特例。

Gabor小波Morlet小波常用的基本小波(5/10)

225.高斯小波這是高斯函數(shù)的一階導數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中有重要的應用。主要應用于階梯型邊界的提取。

特性：指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；關于0軸反對稱。常用的基本小波(6/10)

236.Marr小波（也叫墨西哥草帽小波）

這是高斯函數(shù)的二階導數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中有重要的應用。主要應用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。

特性：指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；關于0軸對稱。常用的基本小波(8/10)

247.Meyer小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進行定義的。具體定義如下：常用的基本小波(9/10)

258.Shannon小波在時域，Shannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。常用的基本小波

(10/10)269.Battle-Lemarie樣條小波

Battle-Lemarie線性樣條小波及其頻域函數(shù)的圖形如何理解小波變換

波變換

傅立葉變換（正弦波）、沃爾什變換（方波）窗口變換

短時傅立葉變換

注意：波變換和窗口變換都是固定基的變換小波變換（任意基）27

典型例子：音樂－>無線譜：小波變換五線譜－>音樂：小波反變換282930小波變換，既具有頻率分析的性質，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象（傅里葉變換只具有頻率分析的性質）小波的優(yōu)點小波變換的多分辨率特性，有利于各分辨率中不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）31小波特性：小波的時間和頻率特性運用小波基,可提取信號中的“指定時間”和“指定頻率”的變化:

時間：提取信號中“指定時間”（時間A或時間B）的變化。顧名思義，小波在某時間發(fā)生的小的波動。頻率：提取信號中時間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分提取信號中時間B的比較快速變化，稱較高頻率成分32小波分析的成就

小波分析是純數(shù)學、應用數(shù)學和工程技術的完美結合。從數(shù)學來說是大半個世紀“調和分析”的結晶（包括傅里

葉分析、函數(shù)空間等）。小波變換是20世紀最輝煌科學成就之一。在計算機應用、信號處理、圖象分析、非線性科學、地球科學和應用技術等已有重大突破，預示著小波分析進一步熱潮的到來。33小波分析發(fā)展歷史(1/5)1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導解析理論”論文341910年Haar提出最簡單的小波小波分析發(fā)展歷史(2/5)351980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質勘探小波分析發(fā)展歷史(3/5)361985年Meyer和稍后的1988年Daubeichies提出“正交小波基”，此后,形成小波研究的高潮。MeyerDaubeichies小波分析發(fā)展歷史(4/5)371988年Mallat提出的多分辨度分析(MRA)理論，統(tǒng)一了語音識別中的鏡像濾波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔型濾波和地震分析中短時波形處理等幾個不相關的領域。當在某一個分辨率檢測不到的現(xiàn)象,在另一個分辨率卻很容易觀察處理。小波分析發(fā)展歷史(5/5)38小波分析的應用小波變換在數(shù)學、物理、信號處理、人工智能、計算機圖象處理、計算機圖形學、生物信號處理、模式識別、計算機視覺、非線性科學、地球科學等二十多個領域有廣泛應用。39小波分析用于圖象壓縮

采用小波進行壓縮。作“小波變換”后，統(tǒng)計特性有

改善，消除行和列之間的相關關系。

有損壓縮：根據(jù)視覺原理，不同分辨率小波系數(shù)進行比特分配。然后轉換到一維作熵編碼，如算術編碼或霍夫曼編碼。無損壓縮：選擇“整數(shù)小波變換”，無舍入誤差。但

不能進行比特分配。多分辨率信號處理基礎

傅立葉分析局限性及解決辦法40

小波分析與濾波器組（重點）

傅立葉分析及其局限性

Gabor變換(STFT)

小波變換

平穩(wěn)信號與瞬變信號

與小波濾波器設計有關的若干問題小波變換與濾波器組

預備知識41

小波變換定義的進一步討論

為便于后面討論，將小波變換定義式寫為

其中小波基函數(shù)為其母函數(shù)的伸縮平移：式中標度因子a的大小直接關系母波的展寬和縮小小波變換與濾波器組

預備知識（續(xù)）42如令則上式變?yōu)?/p>

或式中

-2m

是t的標度因子

-2-mn是t的平移

-2m/2是歸一化因子，以保證小波變換與濾波器組多分辨率分析43在多分辨率分析中,Mallat引入尺度函數(shù)(小波“父”函數(shù))

（雙尺度差分方程,基本遞歸方程）(4a)

和小波函數(shù)(小波“母”函數(shù))：其中

或

構成絕對可積平方空間的正交基

構成向量空間的正交基則

構成向量空間的正交基(為的正交補空間)且設小波變換與濾波器組

多分辨率分析(續(xù))44

小波函數(shù)的重要價值:它的伸縮平移生成中的一組正交基,從而可將給定函數(shù)進行小波分解：其中1)

2)3)

具有如下性質與之間存在如下關系：4)

且5)存在

和

和

分別構成和的正交基45小波變換與濾波器組46

子波變換與濾波器組

在實際應用中,不必涉及尺度函數(shù)或子波函數(shù),而只需考慮其系數(shù)和以及等,且其可看作數(shù)字信號(濾波器)。

分析(Analysis)或分解(Decomposition)

為了直接對子波變換進行工作,下面導出低尺度級(低分辨率級)與高尺度級(高分辨率級)之間的關系.由尺度方程：令,有再令m=2k+n,則上式變?yōu)樾〔ㄗ儞Q與濾波器組47根據(jù),上式變?yōu)?/p>

設,則

或其中即同理重寫(8):48↓2↓2式(10)的分解如下圖所示：49

子波變換與濾波器組

綜合(synthesis)或合成(composition)小波變換與濾波器組設,則

或將(4a)和(4b)代入上式，得利用類似于上面的方法計算式(9)和(11)的系數(shù)，得

式(12)的合成過程如下圖所示：50↑2↑251↑2↑2↑2↑2↓2↓2↓2↓2兩級分解/合成的情況：分析/分解綜合/合成無混疊條件與精確重建濾波器組無混疊失真條件

如圖有

其中稱為系統(tǒng)整體失真?zhèn)鬟f函數(shù)，而稱為混疊傳遞函數(shù)。為滿足無混疊失真條件，必須

A(z)=0

(a)

精確重建濾波器組為精確重建原信號，除無混疊外，還要求整個系統(tǒng)既無幅度失真，又無相位失真，還必須

(b)

同時滿足(a)和(b)的濾波器組，稱為精確重建濾波器組。

52完全重構條件上述討論表明：小波變換可通過濾波器組來實現(xiàn)假如信號x(n)或X(z)經(jīng)小波或子帶分解（分析濾波器組）后又經(jīng)綜合濾波器組合成為x’(n)或X’(z)。則X’(z)可能出現(xiàn)三種失真：混疊失真、相位失真和幅度失真。

-要使整個系統(tǒng)輸出沒有混疊失真，須使

G0(z)H0(-z)+G1(z)H1(-z)=o(a)-要使整個系統(tǒng)輸出沒有相位失真和幅度失真，須使

G0(z)H0(z)+G1(z)H1(z)=z-k(b)

結論：滿足(a)和(b)的濾波器組稱為無混疊、無失真濾波器組或完全重構濾波器組、式(a)和(b)稱為完全重構條件。只滿足(a)或(b)的濾波器組稱為無混疊或無失真的濾波器組。5354處理單元+

分析濾波器組

綜合濾波器組兩通道濾波器組5556HPLP1-DWaveletTransform57HPLPHPLP1-DWaveletTransform58HPLPHPLP22221-DWaveletTransform59“Real”2-DWaveletTransform60“Real”2-DWaveletTransform“Real”2-DWaveletTransform61HHLLLHHL多分辨率信號處理基礎

傅立葉分析局限性及解決辦法62

小波分析與濾波器組

傅立葉分析及其局限性

Gabor變換(STFT)

小波變換

平穩(wěn)信號與瞬變信號

與小波濾波器設計有關的若干問題63與小波濾波器設計有關的若干問題

尺度函數(shù)與尺度系數(shù)(尺度系數(shù)參數(shù)化)

正則性與消失矩

(regularity&vannishingmoments)

M倍(M帶)尺度函數(shù)與小波64與小波濾波器設計有關的若干問題

尺度函數(shù)與尺度系數(shù)

工具與定義?

三類信號65與小波濾波器設計有關的若干問題

尺度函數(shù)與尺度系數(shù)

工具與定義?

傅氏變換已知定義則(a)變?yōu)榈笞優(yōu)?6與小波濾波器設計有關的若干問題

尺度函數(shù)與尺度系數(shù)

定理2:如果是基本遞歸方程的解,且及定理1:如果是基本遞歸方程的解,且,則則當時,有

定理3:若是基本遞歸方程的解,且則

基本定理考慮有如下結論：滿足(17)的濾波器稱為正交鏡像濾波器(QMF)。67與小波濾波器設計有關的若干問題

尺度函數(shù)與尺度系數(shù)

尺度系數(shù)的參數(shù)化(N=2時)由定理1和3,即式(13)和(17),有

解得其結果就是Haar尺度函數(shù)系數(shù)，也叫做長度為2的Dauberchies系數(shù)[Dau92]。68與小波濾波器設計有關的若干問題

尺度函數(shù)與尺度系數(shù)

尺度系數(shù)的參數(shù)化(N=4時)由定理1和3,即式(13)和(17),有解得當時,即得長度為4

的Dauberchies系數(shù)：當時,則退化為Haar尺度函數(shù)系數(shù)。和69與小波濾波器設計有關的若干問題

尺度函數(shù)與尺度系數(shù)尺度系數(shù)的參數(shù)化(N=6時)

由定理1和3,即式(13)和(17),可得當,即得長度為6的Daubechies系數(shù)。當,則退化為長度為4的Daubechies系數(shù);而當,則得Haar系數(shù)。以上結果可參考C.S.Burrus:Wavelets&WaveletTransform一書。70與小波濾波器設計有關的若干問題

尺度函數(shù)與尺度系數(shù)

尺度系數(shù)的參數(shù)化(N為一般時)當N更大時，尺度系數(shù)h(n)的參數(shù)化更難。一種比較有效的方法是采用P.P.Viadyanathan提出的格型分解方法(見MultirateSystems&FilterBanks,1992)來計算。71與小波濾波器設計有關的若干問題

尺度函數(shù)與尺度系數(shù)(尺度系數(shù)參數(shù)化)

正則性與消失矩

(regularity&vanishingmoments)

M倍(M帶)尺度函數(shù)與小波72與小波濾波器設計有關的若干問題

正則性與消失矩

K-正則性尺度濾波器尺度濾波器:由基本遞歸方程(尺度方程)得到系數(shù)為h(n)

的濾波器，也就是系數(shù)h(n)滿足定理1和3的，即滿足：K-正則性：如果尺度濾波器的z變換在處具有K

個零點,就說該尺度濾波器是K-正則性的。此時,有注意:

這里我們定義了h(n)的正則性，而不是尺度函數(shù)和小波函數(shù)的的正則性其中是尺度系數(shù)h(n)的z變換,而Q(z)在處沒有零點和極點。73與小波濾波器設計有關的若干問題

正則性與消失矩(續(xù))

K-正則性尺度濾波器(續(xù))正則性由尺度系數(shù)組成的FIR濾波器傳遞函數(shù)或其頻率響應來定義。而尺度函數(shù)的傅氏變換與系數(shù)為FIR濾波器的頻率響應之間的關系為由此可以可以推斷，因為是一個低通濾波器,如果它在處有高階零點,則迅速衰減,

從而是平滑的。這正是我們所希望的。74與小波濾波器設計有關的若干問題

正則性與消失矩（續(xù)）

k階矩離散k階矩