第5章 限失真信源編碼

第5章限失真信源編碼信息率失真函數(shù)限失真信源編碼定理常用信源編碼方法第三章我們討論了無(wú)失真信源編碼。但是，在很多場(chǎng)合，特別是對(duì)于連續(xù)信源，因?yàn)槠浣^對(duì)熵為無(wú)限大，若要求無(wú)失真地對(duì)其進(jìn)行傳輸，則要求信道的信息傳輸率也為無(wú)限大，這是不現(xiàn)實(shí)的。因此也就不可能實(shí)現(xiàn)完全無(wú)失真?zhèn)鬏敗Ａ硪环矫?，從無(wú)失真信源編碼定理來(lái)考慮，由于要求碼字包含的信息量大于等于信源的熵，所以對(duì)于連續(xù)信源，要用無(wú)限多個(gè)比特才能完全無(wú)失真地來(lái)描述。即使對(duì)于離散信源，由于處理的信息量越來(lái)越大，使得信息的存儲(chǔ)和傳輸成本很高，而且在很多場(chǎng)合，過(guò)高的信息率也沒(méi)有必要，例如：由于人耳能夠接收的帶寬和分辨率是有限的，因此對(duì)數(shù)字音頻傳輸?shù)臅r(shí)候，就允許有一定的失真，并且對(duì)欣賞沒(méi)有影響。又如對(duì)于數(shù)字電視，由于人的視覺(jué)系統(tǒng)的分辨率有限，并且對(duì)低頻比較敏感，對(duì)高頻不太敏感，因此也可以損失部分高頻分量，當(dāng)然要在一定的限度內(nèi)。等等…，這些，都決定了限失真信源編碼的重要性。在限失真信源編碼里，一個(gè)重要的問(wèn)題就是在一定程度的允許失真限度內(nèi)，能把信源信息壓縮到什么程度，即最少用多少比特?cái)?shù)才能描述信源。這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)被香農(nóng)解決。香農(nóng)在1948年的經(jīng)典論文中已經(jīng)提到了這個(gè)問(wèn)題，在1959年，香農(nóng)又在他的一篇論文“保真度準(zhǔn)則下的離散信源編碼定理”里討論了這個(gè)問(wèn)題。研究這個(gè)問(wèn)題并做出較大貢獻(xiàn)的還有前蘇聯(lián)的柯爾莫郭洛夫（Kolmogorov）以及伯格（T.Berger）等。信息率失真理論矢量化、數(shù)摸轉(zhuǎn)換、頻帶壓縮和數(shù)據(jù)壓縮的理論基礎(chǔ)。本章主要介紹信息率失真理論的基本內(nèi)容，包括信源的失真度和信息率失真函數(shù)的定義與性質(zhì)，離散信源和連續(xù)信源的信息率失真函數(shù)計(jì)算，介紹一些常用的限失真編碼方法等。5.1平均失真和信息率失真函數(shù)一、失真函數(shù)設(shè)某信源輸出的隨機(jī)變量為X，其值集合為，經(jīng)過(guò)編碼后輸出為，設(shè)對(duì)應(yīng)，如果則認(rèn)為沒(méi)有失真。當(dāng)時(shí)，就產(chǎn)生了失真，失真的大小，用失真函數(shù)來(lái)衡量。失真函數(shù)的定義為由于輸入符號(hào)有n個(gè)，輸出符號(hào)有m個(gè),所以共有個(gè)，寫成矩陣形式，就是d被稱為失真矩陣。失真函數(shù)的函數(shù)形式可以根據(jù)需要適當(dāng)選取，如平方代價(jià)函數(shù)、絕對(duì)代價(jià)函數(shù)、均勻代價(jià)函數(shù)等：平方失真：絕對(duì)失真：相對(duì)失真：誤碼失真：也可以按其它的標(biāo)準(zhǔn)，如引起的損失、風(fēng)險(xiǎn)、主觀感覺(jué)上的差別等來(lái)定義失真函數(shù)。二、平均失真由于信源X和信宿Y都是隨機(jī)變量，所以符號(hào)失真度函數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，傳輸時(shí)引起的平均失真應(yīng)該是符號(hào)失真度函數(shù)在信源概率空間和信宿概率空間求平均，即平均失真是符號(hào)失真函數(shù)在信源空間和信宿空間平均的結(jié)果，是描述某一信源在某一信道傳輸時(shí)失真的大小，是從整體上描述系統(tǒng)的失真情況。三、信源符號(hào)序列的失真從上面的單符號(hào)失真函數(shù)，可以得到信源符號(hào)序列的失真函數(shù)和平均失真度。由于序列時(shí)相當(dāng)于是一個(gè)由單符號(hào)隨機(jī)變量組成的隨機(jī)矢量，仿照單符號(hào)時(shí)的情況，可得：設(shè)信源輸出的符號(hào)序列為，其中的每一個(gè)隨機(jī)變量取自同一符號(hào)集，所以X共有種不同的符號(hào)序列，記為，接收到的符號(hào)為式中每一個(gè)符號(hào)取自符號(hào)集，所以Y共有種不同的符號(hào)序列，記為，則失真函數(shù)矩陣應(yīng)該是一個(gè)的矩陣。故對(duì)L長(zhǎng)的信源序列，其平均失真度為平均每個(gè)符號(hào)的平均失真度為當(dāng)信源無(wú)記憶時(shí)，，而若平均失真度不大于我們所允許的失真D，即我們稱此為保真度準(zhǔn)則。四、信息率失真函數(shù)在信源給定，并且也定義了具體的失真函數(shù)之后，我們總是希望在滿足一定的失真限度要求的情況下，使信源最后輸出的信息率R盡可能地小。也就是說(shuō)，要在滿足保真度準(zhǔn)則下()，尋找信源輸出信息率R的下限值。如果將信源編碼也看成是一個(gè)信道，構(gòu)成了一類假想信道，稱為D允許信道（或D失真許可的試驗(yàn)信道），記為對(duì)于離散無(wú)記憶信道，有我們的目的，就是要在上述允許信道中，尋找到一個(gè)信道P(Y/X)，使得從輸入端傳送過(guò)來(lái)的信息量最少，即I(X;Y)最小。這個(gè)最小的互信息就稱為信息率失真函數(shù)R(D)，簡(jiǎn)稱為率失真函數(shù)，即其單位是比特/信源符號(hào)。應(yīng)當(dāng)注意，在研究R(D)時(shí)，我們引用的條件概率并沒(méi)有實(shí)際信道的含義，只是為了求平均互信息的最小值而引用的、假想的可變?cè)囼?yàn)信道。實(shí)際上這些信道反應(yīng)的僅是不同的有失真信源編碼，或稱信源壓縮。所以改變?cè)囼?yàn)信道求最小值，實(shí)質(zhì)上是選擇一種編碼方式式信息傳輸率為最小，也就是在保真度準(zhǔn)則下，使信源的壓縮率最高。五、信息率失真函數(shù)的性質(zhì)1.R(D)的定義域R(D)的定義域，即D的取值范圍。（1）因?yàn)镈是非負(fù)函數(shù)d(x,y)的數(shù)學(xué)期望，因此D也是非負(fù)函數(shù)，其下界為0。此時(shí)，意味著不允許失真，所以信道的信息率等于信源的熵，即（2）平均失真D也有一上界值。根據(jù)R(D)的定義，R(D)是在一定的約束條件下，平均互信息量I(X;Y)的最小值，其下界為0。R(D)和D的關(guān)系曲線一般如下圖所示。當(dāng)D大到一定程度，R(D)就達(dá)到其下界0，我們定義這時(shí)的D為。的計(jì)算：設(shè)當(dāng)平均失真時(shí)，R(D)以達(dá)到其下界0。當(dāng)允許更大失真時(shí)，即時(shí)，R(D)仍只能繼續(xù)是0。因?yàn)楫?dāng)X和Y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)，平均互信息I(X;Y)=0，可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，信源X和接收符號(hào)Y已經(jīng)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立了，因此，與x無(wú)關(guān)。R(D)DR(D)>0R(D)=0因此，就是在R(D)=0的條件下，看在什么樣的分布下，能夠得到的平均失真D的最小值，即也可以改寫成也就是說(shuō)，要求的數(shù)學(xué)期望的最小值。這個(gè)最小值是一定存在的。比如這樣分布：當(dāng)某一個(gè)使得為最小時(shí)，就取，而其余的，此時(shí)求得的的數(shù)學(xué)期望一定是最小的。此時(shí)，有求解：例題1：設(shè)輸入輸出符號(hào)表為X=Y={0,1}，輸入概率分布為，失真矩陣為而輸出符號(hào)概率為例題2：輸入輸出符號(hào)表同上題，失真矩陣為求解：此時(shí)，（2）R(D)函數(shù)的單調(diào)遞減性和連續(xù)性R(D)的單調(diào)遞減性是很容易理解的。因?yàn)樵试S的失真越大，所要求的信息率就可以越小。根據(jù)R(D)的定義，他是在平均失真度小于或等于允許失真度D的所有試驗(yàn)信道集合中，取I(X;Y)的最小值。當(dāng)允許失真D擴(kuò)大，則的集合也擴(kuò)大，當(dāng)然仍然包含原來(lái)滿足條件的所有信道。這是在擴(kuò)大了的集合中找I(X;Y)的最小值，顯然或者是最小值不變，或者是變小了，所以R(D)是非增的。關(guān)于R(D)的連續(xù)性，這里我們就不再證明了。所以，R(D)有如下基本性質(zhì)：，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，R(D)=0。R(D)是關(guān)于D的連續(xù)函數(shù)。R(D)是關(guān)于D的嚴(yán)格遞減函數(shù)。因此，當(dāng)規(guī)定了允許失真，又找到了適當(dāng)?shù)氖д婧瘮?shù)，就可以找到該失真條件下的最小信息率R(D)，用不同的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮時(shí)（在允許的失真限度D內(nèi)），其壓縮的程度如何，可以用R(D)來(lái)衡量。由它可知是否還有壓縮潛力，有多大的壓縮潛力。因此，有關(guān)R(D)的研究也是信息論領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。5.2R(D)的計(jì)算已知信源的概率分布和失真函數(shù)，就可以求得信源的R(D)函數(shù)。求R(D)函數(shù)，實(shí)際上是一個(gè)求有約束問(wèn)題的最小值問(wèn)題。即適當(dāng)選取試驗(yàn)信道的使平均互信息最小化，并使?jié)M足以下約束條件應(yīng)用拉格朗日乘子法，原則上總是可以求出上述問(wèn)題的界。但一般來(lái)說(shuō)，求解會(huì)是非常復(fù)雜的。這里不準(zhǔn)備做復(fù)雜的推導(dǎo)過(guò)程，只給出幾個(gè)結(jié)果。，（2）當(dāng)，時(shí)，，（3）當(dāng)，時(shí)，，（1）當(dāng)，時(shí)，5.3限失真信源編碼定理（香農(nóng)第三定理）設(shè)R(D)為一離散無(wú)記憶平穩(wěn)信源的信息率失真函數(shù)，并且有有限的失真測(cè)度。則對(duì)于任意的和，當(dāng)信息率R>R(D)時(shí)，一定存在一種編碼方法，其譯碼失真小于或等于，條件是編碼的信源序列長(zhǎng)度L足夠長(zhǎng)。反之，如果R<R(D)，則無(wú)論采用什么編碼方法，其譯碼失真必大于D。定理說(shuō)明，在允許失真為D的條件下，信源最小可達(dá)的信息傳輸率是信源的R(D)。保真度準(zhǔn)則下的信源編碼定理（限失真信源編碼定理）是有失真信源壓縮的理論基礎(chǔ)。定理說(shuō)明了在允許失真D確定后，總存在一種編碼方法，使編碼的信息傳輸率大于R(D)且可以任意接近R(D)，而平均失真度小于允許失真D。而當(dāng)信息傳輸率小于R(D)時(shí)，編碼的平均失真將大于D?？梢?jiàn)，R(D)是允許失真度為D的情況下信源信息壓縮的下限值。比較香農(nóng)第一定理和香農(nóng)第三定理可知，當(dāng)信源給定后，無(wú)失真信源壓縮的極限值是信源熵H(X)，而有失真信源壓縮的極限值是信息率失真函數(shù)R(D)。在給定D后，一般R(D)<H(X)。R(D)可以作為衡量各種壓縮編碼方法性能優(yōu)劣的一種尺度。但香農(nóng)第三定理同樣是一個(gè)指出存在性的定理，至于如何尋找這種最佳壓縮編碼方法，定理中沒(méi)有給出。在實(shí)際應(yīng)用中，該理論主要存在以下兩類問(wèn)題：（1）符合實(shí)際信源的R(D)函數(shù)的計(jì)算相當(dāng)困難。首先，對(duì)需要對(duì)實(shí)際信源的統(tǒng)計(jì)特性有確切的數(shù)學(xué)描述，其次，需要符合主客觀實(shí)際的失真度量。這些都不是很容易的事情。即使有了這些，信息率失真函數(shù)的計(jì)算也是相當(dāng)困難的。（2）即使求得了符合實(shí)際的信息率失真函數(shù)，還需要研究采用何種編碼方法，才能達(dá)到或接近極限值R(D)。5.6常用信源編碼方法簡(jiǎn)介1.游程編碼在二元序列中，只有“0”和“1”兩個(gè)碼元，我們把連續(xù)出現(xiàn)的“0”叫做“0”游程，連續(xù)出現(xiàn)的“1”叫做“1”游程。連續(xù)出現(xiàn)“0”或者“1”碼元的個(gè)數(shù)叫做游程長(zhǎng)度。這樣，一個(gè)二元序列可以轉(zhuǎn)換成游程序列，例如：二元序列0001100111100010可以變換成3224311，若規(guī)定游程必須從“0”游程開始，則上述變換是可逆的。如果連“0”或連“1”非常多，則可以達(dá)到信源壓縮的目的。游程編碼是無(wú)失真信源編碼。2.矢量量化連續(xù)信源進(jìn)行編碼的主要方法是量化，即將連續(xù)的樣值離散化成為。n是量化級(jí)數(shù)，這樣就把連續(xù)值轉(zhuǎn)化為n個(gè)實(shí)數(shù)中的一個(gè)，可以用0，1，2，…，n等n個(gè)數(shù)字來(lái)表示。由于是一個(gè)標(biāo)量，因此稱為標(biāo)量量化。在量化的過(guò)程中，將會(huì)引入失真，量化是必須使這些失真最小。要想得到更好的性能，僅采用標(biāo)量量化是不可能的。從前面的討論我們已經(jīng)知道，把多個(gè)信源符號(hào)組成一個(gè)符號(hào)序列進(jìn)行聯(lián)合編碼可以提高編碼效率。連續(xù)信源也是如此，當(dāng)把多個(gè)信源符號(hào)聯(lián)合起來(lái)形成多維矢量，然后進(jìn)行量化，可以進(jìn)一步壓縮碼率，這種量化方法叫做矢量量化。實(shí)驗(yàn)證明，即使各信源符號(hào)相互獨(dú)立，矢量量化也可以壓縮信息率，因此，人們對(duì)矢量量化非常感興趣，是當(dāng)前信源編碼的一個(gè)熱點(diǎn)，而且不僅限于連續(xù)信源，對(duì)離散信源也可以如此。如圖像編碼時(shí)采用矢量量化，但由于聯(lián)合概率密度不易測(cè)定，目前常用的是訓(xùn)練序列的方法，如圖像編碼時(shí)就要采用訓(xùn)練序列的方法，找到其碼書，進(jìn)行量化。還可以與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法結(jié)合，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自組織來(lái)得到訓(xùn)練集。3.預(yù)測(cè)編碼預(yù)測(cè)就是從已收到的符號(hào)來(lái)提取關(guān)于末收到的符號(hào)的信息，從而預(yù)測(cè)其最可能的制作為預(yù)測(cè)值。并把它與實(shí)際值之差進(jìn)行編碼，由于這個(gè)差值一般都比較小，所以在編碼時(shí)會(huì)出現(xiàn)很多連“0”值，再采用游程編碼，就可以大大地壓縮碼率。由此可見(jiàn)，預(yù)測(cè)編碼是利用信源符號(hào)之間的相關(guān)性來(lái)壓縮碼率的，對(duì)于獨(dú)立信源，預(yù)測(cè)就沒(méi)有可能。4.變換編碼變換是一個(gè)廣泛的概念。變換編碼就是經(jīng)變換后的信號(hào)能更有效地編碼，也就是通過(guò)變換來(lái)解除或減弱信源符號(hào)間的相關(guān)性，以達(dá)到壓縮碼率的效果（如單頻率正弦波信號(hào)，變換到頻域）。一般地，對(duì)一個(gè)函數(shù)，變換式為：而反變換為：要使上式成立，要求必須是正交完備的（相當(dāng)于歐氏空間的坐標(biāo)投影），求的公式，實(shí)際上就是內(nèi)積運(yùn)算，把函數(shù)投影到上去。信源編碼常用的變換有：DCT（discreteCosineTransform）變換：如JPEG、MPEG等圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)中，就是主要采用的這種變換壓縮方法。K-L變換：K-L變換是均方誤差準(zhǔn)則下的最佳變換。它是一種正交變換，變幻后的隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，一般認(rèn)為，K-L變換是最佳變換，其最大缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜，除了需要測(cè)定相關(guān)函數(shù)和解積分方程外，變換時(shí)的運(yùn)算也十分復(fù)雜，也沒(méi)有快速算法，因此，K-L變換不是一種實(shí)用的變換編碼方法，但經(jīng)常用來(lái)作為標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)估其他方法的優(yōu)劣。小波（WaveletTransform）變換：小波變換是當(dāng)前信號(hào)處理以及多種應(yīng)用科學(xué)中廣泛用到的一種相當(dāng)有效的數(shù)學(xué)工具。小波變換的概念首先是由法國(guó)的石油地質(zhì)工