第十四章機械振動

第十四章機械振動前言：1、振動是物質(zhì)的普遍運動形式2、某物理量在某一值附近作周期性變化—振動機械振動：物體在某一位置附近作周期往復(fù)運動電磁振蕩：電場、磁場隨時間作周期性變化3、簡諧振動（簡諧運動）：最簡單、最基本的振動一、簡諧運動1、運動學(xué)特征物體的位移(x)是時間的余弦(或正弦)的函數(shù)(或)物體的加速度與位移(x)成正比，而方向相反圖示等圖線2、動力學(xué)特征由牛頓第二定律得以彈簧和物體的振動（彈簧振子）為例，點處物體所受合外力為零，取圖示ox坐標(biāo)軸，物體在任一位置處受到彈簧作用的彈性力令則方程的解：物體作簡諧運動，因此物體在線性回復(fù)力的作用下作簡諧運動，或者說，運動物體具有上式動力學(xué)微分方程的，則該物體作簡諧運動3、能量特征彈簧振子的動能和勢能分別為因為，則總機械能為簡諧運動系統(tǒng)的動能和勢能隨時間變化，但機械能是守恒的，其總能量與振幅(A)平方成正比（如圖）二、簡諧運動的特征物理量1、周期：物體作一次完全振動的時間得因，所以（固有周期）單位時間內(nèi)物體的完全振動次數(shù)—頻率單位時間內(nèi)所作的完全振動次數(shù)的倍—角頻率2、振幅A：在振動中，物體離開平衡位置的最大位移絕對值3、相位()，初相位()—確定簡諧運動物體在任一時刻運動狀態(tài)的物理量例如：某時刻的相位則物體的振動狀態(tài)如時，初相物體的振動狀態(tài)由即該時刻物體處于平衡位置，且向方向運動的狀態(tài)即時刻物體處于位移為，且向x負(fù)方向運動的狀態(tài)。反之，若某時刻，物體處于，且向x正方向運動則或又有則必然4、常數(shù)和的確定若已知時的位移和速度，則解得三、研究簡諧振動的一種輔助方法1、旋轉(zhuǎn)矢量法即和是由振動系統(tǒng)()的初始條件()所決定的自ox軸的原點作一矢量(A為振幅大小)，繞點以逆時針勻角速度轉(zhuǎn)動，設(shè)時，矢量與ox軸夾角為，則任一時刻，矢量與ox軸夾角為()，矢量端點在ox軸上投影點的位置因此，旋轉(zhuǎn)矢量的端點投影點在軸上的運動，可以用來表示物體在軸上的簡諧運動2、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用（1）旋轉(zhuǎn)矢量端點在軸上投影點的運動，形象而直觀地展示了簡諧運動。由于旋轉(zhuǎn)矢量勻角速運動，因此給研究簡諧運動帶來方便。（2）旋轉(zhuǎn)矢量把描述簡諧運動的三個物理量直觀地表示出來（3）用旋轉(zhuǎn)矢量與軸夾角表示相位，不僅相位計算方便，而且有助于對相位概念的理解如前，時，時，運動狀態(tài)，以及某時刻時的相位（如圖）（4）在討論振動合成時，帶來極大方便三、簡諧運動的研究1、研究的基本方法（1）正確運用簡諧運動的特征和規(guī)律（2）旋轉(zhuǎn)矢量方法的應(yīng)用（3）振動曲線圖2、典型例題例1、質(zhì)量為的平底木船模型，其平均截面積為，豎直高度靜浮在水中，若不計阻力，將其豎直再向下壓入后，靜止釋放模型，求船模型的運動和運動方程（設(shè)水的密度為木船模型）解：取平衡時模型底部為坐標(biāo)原點，取圖示ox軸，當(dāng)模型底部在圖(b)位置時，其受的合力∴模型作簡諧運動其角頻率為由初始條件確定和（時）則振動方程解：從動力學(xué)進行分析例2、設(shè)地球是一個半徑為的均勻球體，現(xiàn)假定沿直徑鑿?fù)ㄒ粭l隧道。若有一質(zhì)量為的質(zhì)點在此隧道內(nèi)作無摩擦的運動，求證此質(zhì)點作簡諧運動（P37，14-4）（1）地球球心為坐標(biāo)原點作ox軸，當(dāng)質(zhì)點處于某位置x時，其受力∴質(zhì)點作簡諧振動式中為半徑為的地球質(zhì)量，若地球質(zhì)量密度為，則所以討論：（1）振動周期該周期恰等于人造地球衛(wèi)星繞地球一周的時間！這是什么道理？（2）若地球上開鑿另一隧道，如圖，那么情況又如何例題3、已知物體作簡諧運動的圖線，試根據(jù)圖線寫出其振動方程解：方法Ⅰ設(shè)振動方程為由圖知，又由圖知所以則得由圖知所以方法Ⅱ：旋轉(zhuǎn)矢量法∴取由此得振動方程初相的確定：時質(zhì)點位于點向軸負(fù)方向運動，則對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量位于位置，所以初相位角頻率的確定：時，質(zhì)點位于點向軸正方向，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量位于位置，可見矢量旋轉(zhuǎn)，則角頻率為求：（1）質(zhì)點運動方程（2）質(zhì)點從運動到處最短時間例題4、已知質(zhì)點作簡諧運動，振幅，角頻率，開始時，質(zhì)點位于處，向軸負(fù)方向運動。解：（1）用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初相（如圖），則（2）將代入運動方程。則又由題意得，此時取顯然，計算結(jié)果是錯誤的！（為什么）分析：原運動方程中，表明質(zhì)點的初始運動狀態(tài)是從向軸正方向運動，顯然與題意不符！按題意所指是從向軸負(fù)向運動到處所需時間。因此，其初始運動狀態(tài)對應(yīng)的初相，得然后以代入計算，仿前可得更簡單的方法是運用旋轉(zhuǎn)矢量法計算質(zhì)點從運動到最短的時間，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量是從運動到，則所需時間小結(jié)：1、初相位（相位）的物理意義2、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用四、單擺和復(fù)擺由轉(zhuǎn)動定律1、單擺：設(shè)某時刻角位移為，則力矩（對A點）當(dāng)角很小時（）（與比較）2、復(fù)擺：質(zhì)量為m的物體繞水平軸自由擺動單擺作簡諧運動，其簡諧運動方程設(shè)質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸距離為，復(fù)擺小角度擺動，則作用于復(fù)擺的力矩為所以復(fù)擺作簡諧運動，且例題1、一均勻等邊三角形薄板，質(zhì)量為，高度為，如圖，當(dāng)其繞邊轉(zhuǎn)動時，已知轉(zhuǎn)動慣量，求其微小振動的周期解：薄板作簡諧運動，其式中，質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸距離，所以例題2、圖示一輕質(zhì)繩一端連接輕質(zhì)彈簧，其勁度系數(shù)為，繩另一端繞過一轉(zhuǎn)動慣量為的薄圓盤與物體相連，圓盤半徑為開始時，使彈簧處于原長，然后靜止釋放物體，求物體運動方程解：取物體、彈簧和圓盤為研究對象，分析它們受力，其動力學(xué)方程分別為且將物體⑴圓盤⑵彈簧⑶和代入式⑵得則物體作簡諧運動，其周期為用能量方法研究系統(tǒng)的運動該系統(tǒng)（和地球）的機械能守恒，則有兩邊求導(dǎo)式中與上結(jié)果相同注：從能量守恒導(dǎo)出簡諧運動方程的思路，對研究非機械運動十分重要，因為此時已不宜用受力分析的方法了！五、簡諧振動的合成（進一步認(rèn)識研究簡諧運動的重要性）1、同頻率、同方向的兩個簡諧運動合成（仍為簡諧運動）其中以上結(jié)果，可以用旋轉(zhuǎn)矢量方法導(dǎo)出分別畫出矢量和矢量由平行四邊形法則求得和合成結(jié)果：（1）仍然作簡諧運動，其振動方向和頻率保持不變（2）兩個重要的特例若合成加強若合成減弱（3）相位差任意值時，合振幅值在和之間2、多個同方向同頻率簡諧運動的合成設(shè)有個同方向、同頻率的簡諧運動，且振幅相等，相位差依次恒為，即由旋轉(zhuǎn)矢量法求合成結(jié)果，圖示，用多邊形法則計算合矢量。其合成后仍為簡諧運動，表達(dá)式為由幾何關(guān)系得合矢量大小相位為：（1）若討論：（N個矢量同方向）（2）若（N個矢量構(gòu)成一閉合圖形）如（如圖）如（如圖）3、兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成合成運動不再是簡諧運動當(dāng)兩個頻率很大且比較接近時，合成結(jié)果出現(xiàn)合振幅隨時間發(fā)生周期性變化—“拍”設(shè)定性分析：用位移—時間曲線說明圖(a)(b)分別表示兩個分振動的位移—時間曲線(設(shè))圖(c)表示合振動曲線

虛線表示合振幅隨時間周期性變化定量討論：處兩振動相位相同合振幅最大處兩振動相位相反合振幅最小合振幅上述結(jié)果可以用旋轉(zhuǎn)矢量合成法求得，如圖可見其合振幅隨時間作緩慢的周期性變化，合振幅在和之間時大時小的變化—“拍”的現(xiàn)象合振幅變化頻率—拍頻為六、兩個垂直簡諧運動的合成可見，合振動的軌跡一般為橢圓1、兩個相互垂直的同頻率的簡諧運動的合成得軌跡方程合振動軌跡為一條直線，合振動是簡諧運動（如圖）（1）若（或）（2）（或）合振動軌跡為正橢圓，當(dāng)時為一圓（如圖）2、兩個相互垂直的不同頻率的簡諧運動的合成（1）與不同，合成運動復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定總結(jié)：簡諧運動是研究復(fù)雜運動規(guī)律的基礎(chǔ)（2）與為簡單整數(shù)比，才有穩(wěn)定軌跡—李薩如圖（如圖）七、阻尼振動、受迫振動、共振1、阻尼振動：系統(tǒng)在回復(fù)力和阻力作用下的減幅振動當(dāng)物體速度不太大時，受到阻力(C為阻力系數(shù)）彈簧振子有設(shè)（固有頻率）（阻尼系數(shù)）在阻尼較小時，解得式中—有阻尼時系統(tǒng)的角頻率討論：（1）阻尼振動位移—時間曲線（圖示）（2）若過阻尼（圖示b）（3）若臨界阻尼（圖示c）2、受迫振動：系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動系統(tǒng)受力：回復(fù)力、阻力和周期性外力（驅(qū)動力）則