第二章三次樣條插值

數(shù)值分析第二章插值法三次樣條插值早期工程師制圖時(shí)，把富有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條（所謂樣條）用壓鐵固定在樣點(diǎn)上，在其它地方讓它自由彎曲，然后畫下長(zhǎng)條的曲線，稱為樣條曲線。它實(shí)際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。

2.7三次樣條插值樣條本質(zhì)上是一段一段的三次多項(xiàng)式拼合而成的曲線在拼接處,不僅函數(shù)是連續(xù)的,且一階和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的一、三次樣條插值函數(shù)定義1.------(1)注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而Hermite插值依賴于f在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。f(x)H(x)S(x)要求出S(x)，則在每個(gè)小區(qū)間上要確定4個(gè)待定系數(shù)，共有n個(gè)小區(qū)間，所以應(yīng)確定4n個(gè)參數(shù)。共(n+1)+(3n-3)=4n-2個(gè)條件，因此還需要兩個(gè)條件才能確定S(x)可在區(qū)間端點(diǎn)a,b上各加一個(gè)條件（邊界條件），具體要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題要求給定；已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值2.兩端的二階導(dǎo)數(shù)已知其特殊情況為3.當(dāng)f(x)是為周期的周期函數(shù)時(shí)，則要求S(x)也是周期函數(shù)，這時(shí)邊界條件應(yīng)滿足：這樣確定的樣條函數(shù)S(x)稱為周期樣條函數(shù)；加上任何一類邊界條件(至少兩個(gè))后一般使用第一、二類邊界條件,常用第二類邊界條件樣條插值函數(shù)的建立即或可直接利用分段三次Hermit插值，只要假定可得加以整理后可得------(10)由條件------(11)由于以上兩式相等,得基本方程組如果問(wèn)題要求滿足第一類(一階)邊界條件:即------(12)基本方程組化為n-1階方程組將上式化為矩陣形式------(13)------(14)這是一個(gè)三對(duì)角方程組如果問(wèn)題要求滿足第二類(二階自然)邊界條件:由(11)式,可知------(15)----(16)------(17)------(18)與基本方程組(12)聯(lián)合,并化為矩陣形式,得-----(19)(19)式與(14)一樣,都是三對(duì)角方程組,解是唯一的；例1.對(duì)于給定的節(jié)點(diǎn)及函數(shù)值解:由(12)式可得由(19)式得基本方程組將上述結(jié)果代入(10)式定理.