概率統(tǒng)計和隨機過程第六章大數(shù)定律與中心極限定理課件

第六章大數(shù)定律與中心極限定理本章要解決的問題

為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計？為何能以樣本均值作為總體期望的估計？為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)是什么？大數(shù)定律中心極限定理1設(shè)非負隨機變量

X的期望E(X)存在，則對于任意實數(shù)

>0,馬爾可夫（Markov）不等式證

僅證連續(xù)型隨機變量的情形

重要不等式

6.1大數(shù)定律2設(shè)隨機變量

X的k階絕對原點矩E(|X|k)存在，則對于任意實數(shù)

>0,推論1設(shè)隨機變量

X的方差D(X)存在，則對于任意實數(shù)

>0,推論2

——切貝雪夫（chebyshev）不等式或3實際精確計算：用Poisson分布近似計算：取=10005例2

設(shè)每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,

試用Chebyshev不等式估計,n

多大時,才能在

n

次獨立重復(fù)試驗中,事件

A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率大于0.90?解設(shè)

X

表示

n

次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(n,0.75)要使，求n6即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故令解得7大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設(shè)

nA

是n

次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),p

是每次試驗中A發(fā)生的概率，則有或9證引入隨機變量序列{Xk}設(shè)則相互獨立，記由Chebyshev不等式10故11定義a

是一常數(shù)，(或則稱隨機變量序列依概率收斂于常數(shù)a,記作故是一系列隨機變量，設(shè)有若13在Bernoulli定理的證明過程中，

Yn

是相互獨立的服從0-1分布的隨機變量序列{Xk}的算術(shù)平均值,Yn

依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望p.

結(jié)果同樣適用于服從其它分布的獨立隨機變量序列.14的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)為有Chebyshev大數(shù)定律相互獨立，設(shè)隨機變量序列(指任意給定n>1,相互獨立)，證明：由chebyshev不等式可得。15定理的意義：當(dāng)

n

足夠大時，算術(shù)平均值幾乎就是一個常數(shù),可以用算術(shù)平均值近似地代替數(shù)學(xué)期望.具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨立隨機變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.17§6.2中心極限定理定理1獨立同分布的中心極限定理

設(shè)隨機變量序列相互獨立，服從同一分布，且有期望和方差：則對于任意實數(shù)x,18注：則

Yn

為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量.即n

足夠大時，Yn

的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量的分布函數(shù)記近似近似服從19即對任意的a<b,Yn

~N(np,np(1-p))(近似)證明：21例1

設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計在任選的6000粒種子中，良種所占比例與

1/6比較上下不超過1%的概率.解設(shè)

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),則X~B(6000,1/6)中心極限定理的應(yīng)用22近似23例2

某車間有200臺車床，每臺獨立工作，開工率為0.6.開工時每臺耗電量為r

千瓦.問供電所至少要供給這個車間多少電力,才能以

99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)？解設(shè)至少要供給這個車間

a千瓦的電力設(shè)X為200臺車床的開工數(shù).X~B(200,0.6),問題轉(zhuǎn)化為求

a,使X~N(120,48)(近似)25由于將X近似地看成正態(tài)分布，故26

XkP10200.50.5相互獨立,且同分布,2930中心極限定理的意義

在實際問題中，若某隨機