彈性力學空間問題的解答

彈性力學空間問題的解答彈性力學1第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布壓力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應力求解空間問題第八章空間問題的解答內容提要彈性力學簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學3按位移求解空間問題一在直角坐標系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，求解步驟：將應力先用應變表示（應用物理方程），再代入幾何方程，得用位移分量表示應力分量的彈性方程：1、取u,v,w為基本未知函數(shù)。2、引用幾何方程，將應變用位移來表示。(8-1)其中體積應變第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學43、將式(8-1)代入平衡微分方程，得在V內求解位移的基本方程

按位移求解空間問題一(8-2)其中拉普拉斯算子第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學5位移邊界條件仍為:按位移求解空間問題一4、將式(8-1)代入應力邊界條件，得用位移表示的應力邊界條件：(d)第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學6（2）上的應力邊界條件(c)；（3）上的位移邊界條件(d)。這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。

（1）V內的平衡微分方程(8-2)；按位移求解空間問題一歸結：按位移求解空間問題，位移必須滿足：在空間問題中，按位移求解方法尤為重要：能適用于各種邊界條件。未知函數(shù)及方程的數(shù)目少。而按應力求解時，沒有普遍性的應力函數(shù)存在。近似解法中，按位移法求解得到廣泛的應用。第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學7按位移求解空間軸對稱問題:

在柱坐標中，可以相似地導出位移應滿足：（1）V內的平衡微分方程，

按位移求解空間問題一(8-4)－按位移求解空間軸對稱問題時的基本微分方程。第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學8

軸對稱的拉普拉斯算子為其中體積應變

（2）上的應力邊界條件。（3）上的位移邊界條件。

按位移求解空間問題一第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布壓力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應力求解空間問題第八章空間問題的解答內容提要彈性力學簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學10

設有半空間體，受自重體力及邊界的均布壓力q。半空間體受重力及均布壓力二解：按位移求解：位移u,v,w應滿足平衡微分方程及邊界條件。考慮對稱性，本題的任何x面和y面均為對稱面，可設(a)體積應變第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學11（1）將位移(a)代入平衡微分方程(8-2)，前兩式自然滿足，第三式成為常微分方程：

半空間體受重力及均布壓力二積分其中Ａ、Ｂ為待定常數(shù)。(b)第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學12半空間體受重力及均布壓力二將(b)代入用位移分量表示的應力分量彈性方程，得：(c)（2）邊界條件：在z=0的負z面，應力邊界條件為邊界條件代入(c)(d)第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學13設z=h為剛性層，則由可以確定B。半空間體受重力及均布壓力二將位移邊界條件代入(b)最大鉛直位移發(fā)生在邊界上第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學14側壓力系數(shù)：側面壓力與鉛直壓力之比。由(d)得

半空間體受重力及均布壓力二(8-5)討論：

當時，，三向相同應力狀態(tài)，側向變形最大，側向壓力也最大,說明物體的剛度極小，接近于流體。當時，正應力不引起側向變形，說明物體的剛度極大，接近于剛體。第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布壓力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應力求解空間問題第八章空間問題的解答內容提要彈性力學簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學16解：本題為空間軸對稱問題。設有半空間體,在o點受有法向集中力F。半空間體在邊界上受法向集中力三按柱坐標位移求解，不計體力，位移而和應滿足:（1）平衡微分方程(8-4)其中(a)第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學17（2）在z=0的邊界上，除原點o以外的應力邊界條件為

（3）由于z=0邊界上o點有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脫離體，應用圣維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：半空間體在邊界上受法向集中力三(b)(c)

由于軸對稱，其余的5個平衡條件均為自然滿足。第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學18布西內斯克得出滿足上述全部條件的解答為

半空間體在邊界上受法向集中力三(8-6)其中

(8-7)第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學19

應力特征：（3）水平截面上的全應力，指向F作用點O。

（2）水平截面上的應力與彈性常數(shù)無關。（1）當當

邊界面上任一點的沉陷：

半空間體在邊界上受法向集中力三(8-8)第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學20

若單位力均勻分布在的矩形面積上，其沉陷解為：將F代之為，對積分，便得到K點在矩形之外的沉陷量。

半空間體在邊界上受法向集中力三(8-9)第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布壓力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應力求解空間問題第八章空間問題的解答內容提要彈性力學簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學221.按應力求解空間問題的思路：

形變可以通過物理方程用應力表示；位移要通過對幾何方程的積分，才能用形變或應力表示，其中會出現(xiàn)待定的積分函數(shù)。

（2）其他未知函數(shù)用應力表示:（1）取σx…

τyz…為基本未知函數(shù)。

因此,位移邊界條件等用應力表示時，既復雜又難以求解。所以按應力求解通常只解全部為應力邊界條件的問題。

按應力求解空間問題四第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學232.應力求解空間問題的方程

:（2）相容方程（6個）:（1）平衡微分方程（3個）。（3）假設全部為應力邊界條件（4）對于多連體，還應滿足位移單值條件。其中：(1),(3)是靜力平衡條件；(2),(4)是位移連續(xù)條件。

按應力求解空間問題四(8-10)(8-11)第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學24（2）形變滿足相容方程,對應的位移存在且連續(xù)物體保持連續(xù)；形變不滿足相容方程,對應的位移不存在,物體不保持連續(xù)。（1）物體滿足連續(xù)性