彈性力學(xué)空間問題的解答

彈性力學(xué)空間問題的解答彈性力學(xué)1第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布壓力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應(yīng)力求解空間問題第八章空間問題的解答內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)3按位移求解空間問題一在直角坐標系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，求解步驟：將應(yīng)力先用應(yīng)變表示（應(yīng)用物理方程），再代入幾何方程，得用位移分量表示應(yīng)力分量的彈性方程：1、取u,v,w為基本未知函數(shù)。2、引用幾何方程，將應(yīng)變用位移來表示。(8-1)其中體積應(yīng)變第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)43、將式(8-1)代入平衡微分方程，得在V內(nèi)求解位移的基本方程

按位移求解空間問題一(8-2)其中拉普拉斯算子第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)5位移邊界條件仍為:按位移求解空間問題一4、將式(8-1)代入應(yīng)力邊界條件，得用位移表示的應(yīng)力邊界條件：(d)第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)6（2）上的應(yīng)力邊界條件(c)；（3）上的位移邊界條件(d)。這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。

（1）V內(nèi)的平衡微分方程(8-2)；按位移求解空間問題一歸結(jié)：按位移求解空間問題，位移必須滿足：在空間問題中，按位移求解方法尤為重要：能適用于各種邊界條件。未知函數(shù)及方程的數(shù)目少。而按應(yīng)力求解時，沒有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。近似解法中，按位移法求解得到廣泛的應(yīng)用。第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)7按位移求解空間軸對稱問題:

在柱坐標中，可以相似地導(dǎo)出位移應(yīng)滿足：（1）V內(nèi)的平衡微分方程，

按位移求解空間問題一(8-4)－按位移求解空間軸對稱問題時的基本微分方程。第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)8

軸對稱的拉普拉斯算子為其中體積應(yīng)變

（2）上的應(yīng)力邊界條件。（3）上的位移邊界條件。

按位移求解空間問題一第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布壓力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應(yīng)力求解空間問題第八章空間問題的解答內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)10

設(shè)有半空間體，受自重體力及邊界的均布壓力q。半空間體受重力及均布壓力二解：按位移求解：位移u,v,w應(yīng)滿足平衡微分方程及邊界條件。考慮對稱性，本題的任何x面和y面均為對稱面，可設(shè)(a)體積應(yīng)變第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)11（1）將位移(a)代入平衡微分方程(8-2)，前兩式自然滿足，第三式成為常微分方程：

半空間體受重力及均布壓力二積分其中Ａ、Ｂ為待定常數(shù)。(b)第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)12半空間體受重力及均布壓力二將(b)代入用位移分量表示的應(yīng)力分量彈性方程，得：(c)（2）邊界條件：在z=0的負z面，應(yīng)力邊界條件為邊界條件代入(c)(d)第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)13設(shè)z=h為剛性層，則由可以確定B。半空間體受重力及均布壓力二將位移邊界條件代入(b)最大鉛直位移發(fā)生在邊界上第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)14側(cè)壓力系數(shù)：側(cè)面壓力與鉛直壓力之比。由(d)得

半空間體受重力及均布壓力二(8-5)討論：

當時，，三向相同應(yīng)力狀態(tài)，側(cè)向變形最大，側(cè)向壓力也最大,說明物體的剛度極小，接近于流體。當時，正應(yīng)力不引起側(cè)向變形，說明物體的剛度極大，接近于剛體。第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布壓力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應(yīng)力求解空間問題第八章空間問題的解答內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)16解：本題為空間軸對稱問題。設(shè)有半空間體,在o點受有法向集中力F。半空間體在邊界上受法向集中力三按柱坐標位移求解，不計體力，位移而和應(yīng)滿足:（1）平衡微分方程(8-4)其中(a)第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)17（2）在z=0的邊界上，除原點o以外的應(yīng)力邊界條件為

（3）由于z=0邊界上o點有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脫離體，應(yīng)用圣維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：半空間體在邊界上受法向集中力三(b)(c)

由于軸對稱，其余的5個平衡條件均為自然滿足。第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)18布西內(nèi)斯克得出滿足上述全部條件的解答為

半空間體在邊界上受法向集中力三(8-6)其中

(8-7)第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)19

應(yīng)力特征：（3）水平截面上的全應(yīng)力，指向F作用點O。

（2）水平截面上的應(yīng)力與彈性常數(shù)無關(guān)。（1）當當

邊界面上任一點的沉陷：

半空間體在邊界上受法向集中力三(8-8)第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)20

若單位力均勻分布在的矩形面積上，其沉陷解為：將F代之為，對積分，便得到K點在矩形之外的沉陷量。

半空間體在邊界上受法向集中力三(8-9)第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布壓力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應(yīng)力求解空間問題第八章空間問題的解答內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)221.按應(yīng)力求解空間問題的思路：

形變可以通過物理方程用應(yīng)力表示；位移要通過對幾何方程的積分，才能用形變或應(yīng)力表示，其中會出現(xiàn)待定的積分函數(shù)。

（2）其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示:（1）取σx…

τyz…為基本未知函數(shù)。

因此,位移邊界條件等用應(yīng)力表示時，既復(fù)雜又難以求解。所以按應(yīng)力求解通常只解全部為應(yīng)力邊界條件的問題。

按應(yīng)力求解空間問題四第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)232.應(yīng)力求解空間問題的方程

:（2）相容方程（6個）:（1）平衡微分方程（3個）。（3）假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件（4）對于多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。其中：(1),(3)是靜力平衡條件；(2),(4)是位移連續(xù)條件。

按應(yīng)力求解空間問題四(8-10)(8-11)第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)24（2）形變滿足相容方程,對應(yīng)的位移存在且連續(xù)物體保持連續(xù)；形變不滿足相容方程,對應(yīng)的位移不存在,物體不保持連續(xù)。（1）物體滿足連續(xù)性