彈性力學簡明教程第一章

彈性力學簡明教程第一章第一頁，共五十頁，2022年，8月28日第一章緒論第二章平面問題的基本理論第三章平面問題的直角坐標解答第四章平面問題的極坐標解答第五章用差分法和變分法解平面問題第二頁，共五十頁，2022年，8月28日第六章用有限元法解平面問題第七章空間問題的基本理論第八章空間問題的解答第九章薄板彎曲問題附錄：關于提高課堂教學質量的文章第三頁，共五十頁，2022年，8月28日教學參考資料第三節(jié)彈性力學中的基本假定第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第一節(jié)彈性力學的內容第一章緒論第四頁，共五十頁，2022年，8月28日§1-1彈性力學的內容

彈性力學─研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、形變和位移。第一章緒論定義研究彈性體的力學，有材料力學、結構力學、彈性力學。它們的研究對象分別如下：第五頁，共五十頁，2022年，8月28日材料力學─研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉和組合變形等問題。

彈性力學─研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結構等問題。 第一節(jié)彈性力學的內容

結構力學─在材料力學基礎上研究桿系結構

（如桁架、剛架等）。研究對象第六頁，共五十頁，2022年，8月28日

在研究方法上，彈力和材力也有區(qū)別：

彈力研究方法：在區(qū)域V內嚴格考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，建立三套方程;在邊界s上考慮受力或約束條件，并在邊界條件下求解上述方程，得出較精確的解答。第一節(jié)彈性力學的內容研究方法第七頁，共五十頁，2022年，8月28日

材力也考慮這幾方面的條件，但不是十分嚴格的：常常引用近似的計算假設（如平面截面假設）來簡化問題，并在許多方面進行了近似的處理。第一節(jié)彈性力學的內容研究方法

因此材力建立的是近似理論，得出的是近似的解答。從其精度來看，材力解法只能適用于桿件形狀的結構。第八頁，共五十頁，2022年，8月28日

彈性力學是其他固體力學分支學科的基礎。

彈性力學是工程結構分析的重要手段。尤其對于安全性和經濟性要求很高的近代大型工程結構，須用彈力方法進行分析。第一節(jié)彈性力學的內容

彈性力學在力學學科和工程學科中,具有重要的地位：地位第九頁，共五十頁，2022年，8月28日第一節(jié)彈性力學的內容

工科學生學習彈力的目的：學習目的（4）為進一步學習其他固體力學分支學科打下基礎。（3）能用彈力近似解法（變分法、差分法和有限單元法）解決工程實際問題；（2）能閱讀和應用彈力文獻；（1）理解和掌握彈力的基本理論；第十頁，共五十頁，2022年，8月28日思考題彈性力學和材料力學相比，其研究對象有什么區(qū)別？2.彈性力學和材料力學相比，其研究方法有什么區(qū)別？

3.試考慮在土木、水利工程中有哪些非桿件和桿系的結構？第十一頁，共五十頁，2022年，8月28日

外力─其他物體對研究對象（彈性體）的作用力。

第一章緒論§1－2彈性力學中的

幾個基本概念外力第十二頁，共五十頁，2022年，8月28日體力─（定義）作用于物體體積內的力。（表示）以單位體積內所受的力來量度，（量綱）第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念（符號）坐標正向為正。第十三頁，共五十頁，2022年，8月28日（表示）以單位面積所受的力來量度，面力─（定義）作用于物體表面上的力。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念（符號）坐標正向為正。（量綱）第十四頁，共五十頁，2022年，8月28日例：表示出下圖中正的體力和面力第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第十五頁，共五十頁，2022年，8月28日內力─假想切開物體，截面兩邊互相作用的力（合力和合力矩)，稱為內力。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念應力第十六頁，共五十頁，2022年，8月28日應力─截面上某一點處，單位截面面積上的內力值。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念（量綱）（表示）─面上沿向正應力，

─面上沿

向切應力。（符號）應力成對出現(xiàn)，坐標面上的應力以正面正向，負面負向為正。第十七頁，共五十頁，2022年，8月28日例：正的應力第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第十八頁，共五十頁，2022年，8月28日應力與面力，在正面上，兩者正方向一致，在負面上，兩者正方向相反。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第十九頁，共五十頁，2022年，8月28日彈力與材力相比，正應力符號，相同切應力符號，不同材力：以拉為正材力：順時針向為正第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二十頁，共五十頁，2022年，8月28日

由微分體的平衡條件得：

第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念在彈力中，與不僅數值相同，符號也相同。在材力中，與

數值相同，符號相反。因此，彈力與材力中的符號規(guī)定不完全相同。

切應力互等定理：第二十一頁，共五十頁，2022年，8月28日正應變

，以伸長為正。形變

─形狀的改變。以通過一點的沿坐標正向微分線段的正應變和切應變來表示。切應變

,以直角減小為正,用弧度表示。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念形變第二十二頁，共五十頁，2022年，8月28日

正的正應力對應于正的線應變,

正的切應力對應于正的切應變。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二十三頁，共五十頁，2022年，8月28日位移

─

一點位置的移動，用,表示,

量綱為L。以坐標正向為正。變形前變形后第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念位移第二十四頁，共五十頁，2022年，8月28日

思考題試畫出正負y面上正的應力和正的面力的方向。在的六面體上，試問x面和y面上切應力的合力是否相等？第二十五頁，共五十頁，2022年，8月28日

由微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；

由應力與形變之間的物理關系,

建立物理方程；

彈力的研究方法，在體積V內：

由微分線段上形變與位移的幾何關系，建立幾何方程；第一章緒論研究方法§1－3彈性力學中基本假定

第二十六頁，共五十頁，2022年，8月28日在給定約束的邊界上，建立位移邊界條件。

在給定面力的邊界上，建立應力邊界條件;第三節(jié)彈性力學中的基本假定研究方法

在邊界S面上:

然后在邊界條件下求解上述方程，得出應力、形變和位移。第二十七頁，共五十頁，2022年，8月28日

任何學科的研究，都要略去影響很小的次要因素，抓住主要因素建立計算模型歸納為學科的基本假定。第三節(jié)彈性力學中的基本假定基本假定

為什么要提出基本假定？第二十八頁，共五十頁，2022年，8月28日（1）連續(xù)性─假定物體是連續(xù)的。各物理量可用連續(xù)函數表示。第三節(jié)彈性力學中的基本假定材料性質假定

彈性力學中的五個基本假定。

關于材料性質的假定及其在建立彈力理論中的作用：第二十九頁，共五十頁，2022年，8月28日

（2）完全彈性

─假定物體是,即應力與應變關系可用胡克定律表示（物理線性）。第三節(jié)彈性力學中的基本假定材料性質假定

a.完全彈性—外力取消，變形恢復，無殘余變形。b.線性彈性—應力與應變成正比。第三十頁，共五十頁，2022年，8月28日（3）均勻性

─假定物體由同種材料組成。

E、μ等與位置無關。（4）各向同性

─假定物體各向同性。

E、μ等與方向無關。符合（1）-（4）假定的稱為理想彈性體。第三節(jié)彈性力學中的基本假定材料性質假定

（3）,（4）→E、μ等為常數第三十一頁，共五十頁，2022年，8月28日（5）小變形假定

─假定位移和形變?yōu)楹苄　５谌?jié)彈性力學中的基本假定變形狀態(tài)假定

變形狀態(tài)假定：例：梁的≤10－3

＜＜1,

＜＜1弧度（57.3°）.a.位移＜＜物體尺寸,

例：梁的撓度v＜＜梁高h.第三十二頁，共五十頁，2022年，8月28日a.簡化平衡條件：考慮微分體的平衡條件時，可以用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。 b.簡化幾何方程：在幾何方程中，由于

可略去等項,使幾何方程成為線性方程。第三節(jié)彈性力學中的基本假定變形狀態(tài)假定

作用第三十三頁，共五十頁，2022年，8月28日

彈力基本假定，確定了彈力的研究范圍:第三節(jié)彈性力學中的基本假定變形狀態(tài)假定

理想彈性體的小變形問題。第三十四頁，共五十頁，2022年，8月28日

第一章教學參考資料第一章緒論

(一)本章的學習要求及重點

1、彈性力學的研究內容，及其研究對象和研究方法，認清他們與材料力學的區(qū)別。

2、彈性力學的幾個主要物理量的定義、量綱、正負方向及符號規(guī)定等，及其與材料力學相比的不同之處。

3、彈性力學的幾個基本假定，及其在建立彈性力學基本方程時的應用。第三十五頁，共五十頁，2022年，8月28日

(二)本章內容提要

1、彈性力學的內容─彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、形變和位移。

2、彈性力學中的幾個基本物理量：體力—分布在物體體積內的力、記號為、、，量綱為L-2MT-2，以坐標正向為正。第一章教學參考資料第三十六頁，共五十頁，2022年，8月28日面力—

分布在物體表面上的力，記號為。量綱為L-1MT-2

，以坐標正向為正。應力—

單位截面面積上的內力，記號，量綱為L-1MT-2，以正面正向為正，負面負向為正；反之為負。第一章教學參考資料第三十七頁，共五十頁，2022年，8月28日

形變—用線應變和切應變表示，量綱為1，線應變以伸長為正，切應變以直角減小為正。第一章教學參考資料位移—一點位置的移動，記號為、、，量綱為L，以坐標正向為正。第三十八頁，共五十頁，2022年，8月28日第一章教學參考資料

3、彈性力學中的基本假定

理想彈性體假定—連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性。小變形假定。

4、彈性力學問題的研究方法已知：物體的邊界形狀，材料性質，體力,邊界上的面力或約束。求解：應力、形變和位移。第三十九頁，共五十頁，2022年，8月28日第一章教學參考資料

解法：在彈性體區(qū)域V內，根據微分體上力的平衡條件，建立平衡微分方程；根據微分線段上應變和位移的幾何條件，建立幾何方程；根據應力和應變之間的物理條件，建立物理方程。

在彈性體邊界s上，根據面力條件，建立應力邊界條件，根據約束條件，建立位移邊界條件。然后在邊界條件下，求解區(qū)域內的微分方程，得出應力、形變和位移。第四十頁，共五十頁，2022年，8月28日第一章教學參考資料

(三)彈力的發(fā)展簡史與其他任何學科一樣，從這門力學的發(fā)展史中，我們可以看出人們認識自然的不斷深化的過程：從簡單到復雜，從粗糙到精確，從錯誤到正確的演變歷史。許多數學家、力學家和實驗工作者做了幸勤的探索和研究工作，使彈性力學理論得以建立，并且不斷地深化和發(fā)展。

第四十一頁，共五十頁，2022年，8月28日第一章教學參考資料

1、發(fā)展初期（約于1660－1820）—

這段時期主要是通過實驗探索了物體的受力與變形之間的關系。1678年，胡克通過實驗，發(fā)現(xiàn)了彈性體的變形與受力之間成比例的規(guī)律。1807年，楊做了大量的實驗，提出和測定了材料的彈性模量。伯努利（1705）和庫侖（1776）研究了梁的彎曲理論。一些力學家開始了對桿件等的研究分析。第四十二頁，共五十頁，2022年，8月28日第一章教學參考資料

2、理論基礎的建立（約于1821－1855）—這段時間建立了線性彈性力學的基本理論，并對材料性質進行了深入的研究。納維（1820）從分子結構理論出發(fā)，建立了各向同性彈性體的方程，但其中只含一個彈性常數?？挛鳎?820－1822）從連續(xù)統(tǒng)模型出發(fā)，建立了彈性力學的平衡（運動）微分方程、幾何方程和各向同性的廣義胡克定律。第四十三頁，共五十頁，2022年，8月28日第一章教學參考資料格林（1838）應用能量守衡定律，指出各向異性體只有21個獨立的彈性常數。此后，湯姆遜由熱力學定理證明了上述結果。同時拉梅等再次肯定了各向同性體只有兩個獨立的彈性常數。至此，彈性力學建立了完整的線性理論，彈性力學問題已經化為在給定邊界條件下求解微分方程的數學問題。第四十四頁，共五十頁，2022年，8月28日

3、線性理論的發(fā)展時期（約于1854－1907）在這段時期，數學家和力學家應用已建立的線性彈性理論，去解決大量的工程實際問題，并由此推動了數學分析工作的進展。第一章教學參考資料第四十五頁，共五十頁，2022年，8月28日第一章教學參考資料圣維南（1854－1856）發(fā)表了關于柱體扭轉和彎曲的論文，并提出了圣維南原理。艾里（1862）提出了應力函數，以求解平面問題。赫茲（1882）求解了接觸問題。克?；舴颍?850及以后）解決了平板的平衡和震動問題。還有，愛隆對薄殼作了一系列工作等等。彈性力學在這段時期得到了飛躍的發(fā)展。第四十六頁，共五十頁，2022年，8月28日第一章教學參考資料