初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)上冊(cè)第2章特殊三角形 省賽獲獎(jiǎng)

《第2章特殊三角形》一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）溫馨提示：每小題四個(gè)答案中，只有一個(gè)是正確的請(qǐng)將正確的答案選出來(lái)．1．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．下列說(shuō)法中，正確的有（）①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩底角相等；③等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高相等；④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（2，﹣2），在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．在△ABC中，∠A的相鄰?fù)饨鞘?10°，要使△ABC為等腰三角形，則底角∠B的度數(shù)是（）A．70 B．55° C．70°或55° D．60°5．已知三角形的周長(zhǎng)為15cm，且其中兩邊都等于第三邊的2倍，那么最短邊的長(zhǎng)是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm6．如圖所示，△ABC中，AB=AC，過(guò)AC上一點(diǎn)作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，則∠DEF=（）A．55° B．60° C．65° D．70°7．若三角形中的一條邊是另一條邊的2倍，且有一個(gè)角為30°，則這個(gè)三角形是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都不對(duì)8．如圖所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C′≌△ABC，則∠BCA′：∠BCB′等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：49．如圖所示，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=3，BC=5，則DC的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．10．一個(gè)三角形兩邊中點(diǎn)的連線叫做這個(gè)三角形的中位線．只要順次連結(jié)三角形三條中位線，則可將原三角形分割為四個(gè)全等的小三角形（如圖（1））；把三條邊分成三等份，再按照?qǐng)D（2）將分點(diǎn)連起來(lái)，可以看作將整個(gè)三角形分成9個(gè)全等的小三角形；把三條邊分成四等份，…，按照這種方式分下去，第n個(gè)圖形中應(yīng)該得到（）個(gè)全等的小三角形．A． B． C． D．（n+1）2二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）溫馨提示：填空題應(yīng)當(dāng)是填最簡(jiǎn)潔，最正確的答案！11．如圖，△ABC是Rt△，BC是斜邊，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的長(zhǎng)等于．12．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，則CD=．13．如圖，有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在A點(diǎn)，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)F，與CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．則四邊形AECF的面積是．14．如圖所示，在Rt△ABC中，CD是斜邊上的中線，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm，則∠BDC=度，S△BCD=cm2．15．若直角三角形兩條直角邊上的中線分別是5厘米和厘米，則斜邊長(zhǎng)為厘米．16．已知：如圖，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC=．三、解答題（共8題，共66分）溫馨提示：解答題應(yīng)把必要的解答過(guò)程表述出來(lái)！17．如圖所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求證：AD=BE．18．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，添加一個(gè)條件，使DE=DF，并說(shuō)明理由．解：需添加條件是．19．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，且BC=6，AB=10，求AC和CD．20．已知，如圖，延長(zhǎng)△ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到△DEF為等邊三角形．求證：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC為等邊三角形．21．已知，如圖△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F．求證：（1）BF=AC；（2）CE=BF．22．如圖，已知OA=a，P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)（即P可以在射線ON上運(yùn)動(dòng)），∠AON=60°，填空：（1）當(dāng)OP=時(shí)，△AOP為等邊三角形；（2）當(dāng)OP=時(shí)，△AOP為直角三角形；（3）當(dāng)OP滿足時(shí)，△AOP為鈍角三角形．23．已知，如圖，AD∥BC，∠A=90°，AD=BE，∠EDC=∠ECD，請(qǐng)你說(shuō)明下列結(jié)論成立的理由：（1）△AED≌△BCE，（2）AB=AD+BC．24．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．（1）求證：△COD是等邊三角形；（2）當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

《第2章特殊三角形》參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）溫馨提示：每小題四個(gè)答案中，只有一個(gè)是正確的請(qǐng)將正確的答案選出來(lái)．1．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】由已知條件，利用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)得到各角的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的定義及等角對(duì)等邊得出答案．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3個(gè)等腰三角形．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；求得角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．2．下列說(shuō)法中，正確的有（）①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩底角相等；③等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高相等；④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】認(rèn)真閱讀每一問(wèn)題給出的已知條件，根據(jù)等腰三角形的概念、性質(zhì)判斷正誤．【解答】解：①等腰三角形的兩腰相等，正確；②等腰三角形的兩底角相等，正確；③等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高相等，正確；④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸就是底邊上的高所在的直線，正確．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握并靈活應(yīng)用這些知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（2，﹣2），在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】如果OA為等腰三角形的腰，有兩種可能，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；如果OA為等腰三角形的底，只有一種可能，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；符合條件的點(diǎn)一共4個(gè)．【解答】解：分二種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OA為等腰三角形的腰時(shí)，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)OA為等腰三角形的底時(shí)，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)．∴符合條件的點(diǎn)一共4個(gè)．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；針對(duì)線段OA在等腰三角形中的地位，分類討論用畫圓弧的方式，找與y軸的交點(diǎn)，比較形象易懂．4．在△ABC中，∠A的相鄰?fù)饨鞘?10°，要使△ABC為等腰三角形，則底角∠B的度數(shù)是（）A．70 B．55° C．70°或55° D．60°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【專題】計(jì)算題；分類討論．【分析】根據(jù)已知可求得∠A的度數(shù)，題中沒(méi)有指明∠A是頂角還是底角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而不難求解．【解答】解：①當(dāng)∵∠A是頂角時(shí)，∵∠A的相鄰?fù)饨鞘?10°，∴∠A=180°﹣110°=70°，∵只有當(dāng)∠B=∠C時(shí)，△ABC為等腰三角形，∴∠B=（180°﹣70°）÷2=55°，②當(dāng)∠A=∠B是底角時(shí)，∵∠A的相鄰?fù)饨鞘?10°，∴∠A=180°﹣110°=70°，∴∠B=70°，故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，注意分類討論思想的運(yùn)用．5．已知三角形的周長(zhǎng)為15cm，且其中兩邊都等于第三邊的2倍，那么最短邊的長(zhǎng)是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．【分析】可設(shè)這個(gè)三角形的最短邊為x厘米，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)為15厘米可列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)三角形的最短邊為x厘米，依題意有x+2x+2x=15，5x=15，x=3．故這個(gè)三角形的最短邊為3厘米．故選C．【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是根據(jù)三角形的周長(zhǎng)列出方程求解．6．如圖所示，△ABC中，AB=AC，過(guò)AC上一點(diǎn)作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，則∠DEF=（）A．55° B．60° C．65° D．70°【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)．【分析】由DE⊥AC，∠BDE=140°，可計(jì)算出∠A，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠C，最后利用EF⊥BC及同角的余角相等得到∠DEF的度數(shù)．【解答】解：∵DE⊥AC，∠BDE=140°，∴∠A=50°，又∵AB=AC，∴∠C==65°，∵EF⊥BC，∴∠DEF=∠C=65°．所以A錯(cuò)，B錯(cuò)，C對(duì)，D錯(cuò)．故選C．【點(diǎn)評(píng)】考查了垂直的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)．7．若三角形中的一條邊是另一條邊的2倍，且有一個(gè)角為30°，則這個(gè)三角形是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都不對(duì)【考點(diǎn)】三角形．【分析】如圖，分AB是30°角所對(duì)的邊AC的2倍和AB是30°角相鄰的邊AC的2倍兩種情況求解．【解答】解：如圖：（1）當(dāng)AB是30°角所對(duì)的邊AC的2倍時(shí)，△ABC是直角三角形；（2）當(dāng)AB是30°角相鄰的邊AC的2倍時(shí)，△ABC是鈍角三角形．所以三角形的形狀不能確定．故選D．【點(diǎn)評(píng)】解答本題關(guān)鍵在于已知30°的角與邊的關(guān)系不明確，需要討論求解，所以三角形的形狀不能確定．8．如圖所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C′≌△ABC，則∠BCA′：∠BCB′等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【分析】設(shè)∠A=3k，∠B=5k，∠C=10k，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A′CB′=∠ACB=10k，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BCB′=8k，然后求出∠A′CB=2k，求出比值即可．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=3：5：10，∴設(shè)∠A=3k，∠B=5k，∠C=10k，∵△A′B′C′≌△ABC，∴∠A′CB′=∠ACB=10k，在△ABC中，∠B′CB=∠A+∠B=3k+5k=8k，∴∠A′CB=∠A′CB′﹣∠B′CB′=10k﹣8k=2k，∴∠BCA′：∠BCB′=2k：8k=1：4．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”表示出各角更簡(jiǎn)便．9．如圖所示，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=3，BC=5，則DC的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】計(jì)算題．【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理計(jì)算AC===4，易證得Rt△CAD∽R(shí)t△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CD：AC=AC：BC，即CD：4=4：5，即可求出CD．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，∴AC===4，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，而∠C公共，∴Rt△CAD∽R(shí)t△CBA，∴CD：AC=AC：BC，即CD：4=4：5，∴CD=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了勾股定理．10．一個(gè)三角形兩邊中點(diǎn)的連線叫做這個(gè)三角形的中位線．只要順次連結(jié)三角形三條中位線，則可將原三角形分割為四個(gè)全等的小三角形（如圖（1））；把三條邊分成三等份，再按照?qǐng)D（2）將分點(diǎn)連起來(lái)，可以看作將整個(gè)三角形分成9個(gè)全等的小三角形；把三條邊分成四等份，…，按照這種方式分下去，第n個(gè)圖形中應(yīng)該得到（）個(gè)全等的小三角形．A． B． C． D．（n+1）2【考點(diǎn)】三角形中位線定理；規(guī)律型：圖形的變化類．【分析】第一圖形中三角形的個(gè)數(shù)為4，第二個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為9，這兩個(gè)數(shù)均為完全平方數(shù)，那么就可得到第n個(gè)圖形中全等的三角形個(gè)數(shù)．【解答】解：由圖（1）可知：順次連接各中點(diǎn)所得全等的小三角形為1+3=（1+1）2；圖（2）中順次連接各中點(diǎn)所得全等的小三角形為1+3+5=（2+1）2；同理如果把三條邊分成3等分可得到1+3+5+7=（3+1）2個(gè)全等的小三角形，按照這種方式分下去，第n個(gè)圖形中應(yīng)該得到（n+1）2個(gè)全等的小三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，用加法表示出全等三角形的個(gè)數(shù)，進(jìn)而找到相應(yīng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）溫馨提示：填空題應(yīng)當(dāng)是填最簡(jiǎn)潔，最正確的答案！11．如圖，△ABC是Rt△，BC是斜邊，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的長(zhǎng)等于．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP′=AP=3，∠P′AP=∠CAB=90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得到出PP′的長(zhǎng)．【解答】解：∵△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，∴AP′=AP=3，∠P′AP=∠CAB=90°，∴△P′AP為等腰直角三角形，∴P′P=AP=3．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．12．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，則CD=2a．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)．【分析】如圖：作CD的中點(diǎn)E，連接AE，由直角三角形的性質(zhì)可以得出AE=CD，可以得出∠AEB=2∠C，得出∠AEB=∠B，就有AB=AE=a，就可以得出結(jié)論．【解答】解：如圖，作CD的中點(diǎn)E，連接AE，∴DE=CE=CD．∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴AE=CD，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC，∵∠AED=∠C+CAE，∴∠AED=2∠C．∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴AB=AE=CD，∴CD=2AB．∵AB=a，∴CD=2a．故答案為：2a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作輔助線的運(yùn)用及直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題作斜邊上的中線是關(guān)?。?3．如圖，有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在A點(diǎn)，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)F，與CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．則四邊形AECF的面積是16．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由四邊形ABCD為正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，進(jìn)一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以證明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它們都加上四邊形ABCF的面積，即可四邊形AECF的面積=正方形的面積，從而求出其面積．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴S△AEB=S△AFD，∴它們都加上四邊形ABCF的面積，可得到四邊形AECF的面積=正方形的面積=16．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的面積公式，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求證△AEB≌△AFD．14．如圖所示，在Rt△ABC中，CD是斜邊上的中線，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm，則∠BDC=120度，S△BCD=cm2．【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【分析】首先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=5cm，再根據(jù)三角函數(shù)值算出∠ECD的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠CDB=∠CED+∠ECD，進(jìn)而得到∠CDB的度數(shù)；再根據(jù)勾股定理可計(jì)算出CE的長(zhǎng)，然后再利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜邊上的中線，∴CD=AB，∵AB=10cm，∴CD=5cm，∵CE是高，∴△CED是直角三角形，∵DE=2.5cm，∴sin∠ECD==，∴∠ECD=30°，∴∠CDB=∠CED+∠ECD=90°+30°=120°；在Rt△CED中：CE===（cm），∴S△BCD=DB?CE=×5×=（cm2）．故答案為：120；．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，以及三角函數(shù)的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．15．若直角三角形兩條直角邊上的中線分別是5厘米和厘米，則斜邊長(zhǎng)為厘米．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】如圖，在Rt△ABE與Rt△CBD中，利用勾股定理列出關(guān)于a、b的方程組，通過(guò)解方程組求得a、b的值；然后在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理來(lái)求斜邊AC的長(zhǎng)度．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE、CD分別是直角邊BC、AB上的中線，且AE=5厘米，CD=厘米，則由勾股定理知，解得，則AB=2a=4，BC=2b=6．則在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AC===2（厘米）．故答案是：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理．注意：勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．16．已知：如圖，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC=8．【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形．【分析】根據(jù)已知條件易求得∠BDE=30°，∠BAD=30°，則”30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半“，所以BD=2BE=2，AB=2BD=4，BC=2AB=8．【解答】解：如圖，∵∠BAC=90°即AC⊥B，DE⊥AB，∴ED∥AC，∴∠BDE=∠C=30°，∴BD=2BE．又∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∴AB=2BD=4BE，∴BC=2AB=8BE=8．故填：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．三、解答題（共8題，共66分）溫馨提示：解答題應(yīng)把必要的解答過(guò)程表述出來(lái)！17．如圖所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求證：AD=BE．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】先根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角等于60°推出∠ACD=∠BCE，然后利用邊角邊證明△ACD與△BCE全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明．【解答】證明：∵AB=BC=AC，CD=DE=EC，∴△ABC與△CDE是等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，判定出△ABC與△CDE是等邊三角形并求出∠ACD=∠BCE是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，添加一個(gè)條件，使DE=DF，并說(shuō)明理由．解：需添加條件是BD=CD，或BE=CF．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；開放型．【分析】本題是開放題，應(yīng)先確定選擇哪對(duì)三角形，再對(duì)應(yīng)三角形全等條件求解．【解答】解：需添加的條件是：BD=CD，或BE=CF．添加BD=CD的理由：如圖，∵AB=AC，∴∠B=∠C．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE=DF．添加BE=CF的理由：如圖，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD．又∵BE=CF，∴△BDE≌△CDF（ASA）．∴DE=DF．【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．19．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，且BC=6，AB=10，求AC和CD．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】首先利用勾股定理求得直角邊AC=8；然后利用面積法來(lái)求CD的長(zhǎng)度．【解答】解：∵如圖，在Rt△ABC中，BC=6，AB=10，∴由勾股定理，得AC===8∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．20．已知，如圖，延長(zhǎng)△ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到△DEF為等邊三角形．求證：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC為等邊三角形．【考點(diǎn)】全等三角形的判定；等邊三角形的判定．【專題】證明題；壓軸題．【分析】（1）關(guān)鍵是證出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，兩兩相加可得．再結(jié)合已知條件可證出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等關(guān)系，可得出∠AFE=∠CED，再結(jié)合△DEF是等邊三角形，可知∠DEF=60°，從而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等邊三角形．【解答】證明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等邊三角形（已知），∴EF=DE（等邊三角形的性質(zhì)）．又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（對(duì)應(yīng)角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代換），△DEF是等邊三角形（已知），∴∠DEF=60°（等邊三角形的性質(zhì)），∴∠BCA=60°（等量代換），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角對(duì)等邊）．∴△ABC是等邊三角形（等邊三角形的判定）．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，還有三角形的外角等不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，等邊三角形的判定（三個(gè)角都是60°，那么就是等邊三角形）．21．已知，如圖△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F．求證：（1）BF=AC；（2）CE=BF．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根據(jù)AAS證出△BDF≌△CDA即可；（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根據(jù)ASA證出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°﹣45°=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中∵，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC；（2）證明：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，在△AEB和△CEB中∵，∴△AEB≌△CEB（ASA），∴AE=CE，即CE=AC，∵由（1）知AC=BF，∴CE=BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，題目綜合性比較強(qiáng)．22．如圖，已知OA=a，P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)（即P可以在射線ON上運(yùn)動(dòng)），∠AON=60°，填空：（1）當(dāng)OP=a時(shí)，△AOP為等邊三角形；（2）當(dāng)OP=時(shí)，△AOP為直角三角形；（3）當(dāng)OP滿足時(shí)，△AOP為鈍角三角形．【考點(diǎn)】等邊三角形的判定；含30度角的直角三角形．【分析】（1）由∠AON=60°，可得當(dāng)OP=OA=a時(shí)，△AOP為等邊三角形；（2）分別從若AP⊥ON與若PA⊥OA去分析求解，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得OP的長(zhǎng)；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，即可求得答案．【解答】解：（1）∵∠AON=60°，∴當(dāng)OP=OA=a時(shí)，△AOP為等邊三角形；（2）若AP⊥ON，∵∠AON=60°，∴OP=OA?cos60°=a；若PA⊥OA，則OP==2a，∴當(dāng)OP=時(shí)，△AOP為直角三角形；（3）由（2）可得：當(dāng)OP滿足時(shí)，△AOP為鈍角三角形．故答案為：（1）a，（2）a或2a，（3）OP＞2a或OP＜a．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．23．（2023秋?廣安校級(jí)期中）已知，如圖，AD∥BC，∠A=90°，AD=BE，∠EDC=∠ECD，請(qǐng)你說(shuō)明下列結(jié)論成立的理由：（1）△AED≌△BCE，（2）AB=AD+BC．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【