工程力學(xué)24505課件

第八章扭轉(zhuǎn)§8-1扭轉(zhuǎn)的概念§8-2圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力§8-3圓軸扭轉(zhuǎn)截面上的應(yīng)力§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)變形§8-5圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算第八章扭轉(zhuǎn)汽車中的轉(zhuǎn)向軸受扭轉(zhuǎn)載荷的構(gòu)件第八章扭轉(zhuǎn)§8-1扭轉(zhuǎn)的概念軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。研究對象：圓截面直桿受力特點(diǎn)：作用在垂直于軸線的不同平面內(nèi)的外力偶，且滿足平衡方程:

SMx=0變形特征：相對扭轉(zhuǎn)角圓軸各橫截面將繞其軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。xyz0M0M變形前變形后§8–2圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力一外力偶矩的計(jì)算傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)數(shù)與外力偶矩的關(guān)系：其中：P—功率，千瓦（kW）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）二、扭矩及扭矩圖1扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。

2截面法求扭矩由平衡方程：

取右邊部分T和T是同一截面上的內(nèi)力，應(yīng)當(dāng)有相同的大小和正負(fù)。M0M0假想切面取左邊部分平衡外力偶

M0

扭矩

T扭矩外力偶

平衡TM0扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向與截面的外法線方向一致者為正，反之為負(fù)。負(fù)M0TM0T正以平行于桿軸線的坐標(biāo)x表示截面的位置，以垂直于x軸的坐標(biāo)表示截面扭矩值，即得到扭矩圖。

2010畫扭矩圖：xoCABABCAB段：BC段：解：由功率－轉(zhuǎn)速關(guān)系計(jì)算外力偶矩例1某傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速n=700r/min，主動輪的輸入功率為NA=400kW，從動輪B、C和D的輸出功率分別為NB=NC=120kW，ND=160kW。試作軸的扭矩圖。

BMBMCCMAMDAD最大扭矩在AB段，且求各截面內(nèi)力：BC段CA段AD段BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT

/kN.m1.643.282.18T

圖簡捷畫法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.mT

圖按右手法確定+向1.64[例2]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計(jì)算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）x③繪制扭矩圖BC段為危險截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––取長為dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面剛性轉(zhuǎn)動角df，原來的矩形ABCD變成為菱形ABCD。1.變形幾何條件g是微元的直角改變量，即半徑r各處的剪應(yīng)變。因?yàn)镃C=gdx=rdf,故有：df/dx

,稱為單位扭轉(zhuǎn)角。對半徑為r的其它各處，可作類似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgTg二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力公式：1.變形幾何條件對半徑為r的其它各處，作類似的分析。剪應(yīng)變g的大小與半徑r成正比。與單位扭轉(zhuǎn)角df/dx成正比。即得變形幾何條件為：--(1)同樣有：CC=gdx=rdfdxOCDABrrCDdfTgrgr2.物理關(guān)系—材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在線性彈性范圍內(nèi)，剪切虎克定律為：G是t-g曲線的斜率，如圖，稱為剪切彈性模量。--(2)半徑為r處的剪應(yīng)力則為：

圓軸扭轉(zhuǎn)時無正應(yīng)力1GOtg1Gtys材料的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間有與拉壓類似的關(guān)系。3.力的平衡關(guān)系應(yīng)力是內(nèi)力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上內(nèi)力對軸心之矩的和應(yīng)與截面扭矩相等。取微面積如圖，有：--(3)利用(3)式，得到：trTotrrtmaxdA3.力的平衡關(guān)系令：最后得到：--(4)Ip

稱為截面對圓心的極慣性矩，只與截面幾何相關(guān)。trTotrrtmaxtmax在圓軸表面處，且W=I/r，稱為抗扭截面模量。T

p求Ip，Wn?結(jié)論：1）圓軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面上只有剪應(yīng)力，剪應(yīng)力在橫截面上線性分布，垂直與半徑，指向由扭矩的轉(zhuǎn)向確定。2）截面任一處截面外圓周處（表面）

tr=Tr/Ip

tmax=T/Wn

dDo空心圓軸實(shí)心圓軸DoTtrtmaxTtrtmax§8–4圓軸扭轉(zhuǎn)變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式知：長為l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為二、單位長度扭轉(zhuǎn)角：或GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為圓軸的抗扭剛度。例3.空心圓軸如圖，已知MA=150N.m，MB=50N.m

MC=100N.m，材料G=80Gpa，試求（1）軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力；（2）C截面相對A截面的扭轉(zhuǎn)角。解:1)畫扭矩圖。2)計(jì)算各段應(yīng)力:AB段：N-mm-Mpa單位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m2)計(jì)算各段應(yīng)力:BC段：故tmax=86.7Mpa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m3)計(jì)算扭轉(zhuǎn)角ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0=+=rrjN-mm-Mpa單位制拉壓

sys/n(延)

=[]=

sb/n(脆)max

tys/n(延)t

=[t]=

tb/n(脆)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件max[t]=0.5~0.6[s](鋼材，延性)[t]與[s]之關(guān)系：[t]=0.8~1.0[s](鑄鐵，脆性)1.強(qiáng)度條件][/maxss￡=AFN][/maxtt￡=nWT§8–5圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件返回主目錄軸AB間的相對扭轉(zhuǎn)角為：AB=TL/GIp扭轉(zhuǎn)圓軸必須滿足強(qiáng)度條件，以保證不破壞；另一方面，軸類零件若變形過大，則不能正常工作，即還須滿足剛度條件。單位長度的扭轉(zhuǎn)角為：q=AB/L=T/GIp扭轉(zhuǎn)剛度條件則為：qmax[q]---許用扭轉(zhuǎn)角機(jī)械設(shè)計(jì)手冊建議：[q]=0.25~0.5/m;精度高的軸；[q]=0.5~1.0/m;一般傳動軸。2.剛度條件單位統(tǒng)一為/m，則有：（弧度轉(zhuǎn)換為角度）][180maxqpqp￡=oGIT解:1)畫扭矩圖。例4.實(shí)心圓軸如圖，已知MB=MC=1.64kN.m，

MD=2.18kN.m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1/m，試設(shè)計(jì)軸的直徑。最大扭矩在AB段，且BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.m1.642)按強(qiáng)度設(shè)計(jì)，有：][16/3maxtpt￡==DTWTnN-m-pa單位制3)按剛度設(shè)計(jì)，有：同時滿足強(qiáng)度與剛度要求，則應(yīng)取取大者][18032/1804maxqpppqp￡==ooDGTGIT則有：42max][18032qpGMD°342911080180328032=pN-m-pa單位制)(109.693m-=mm70=討論：若取a=0.5，試設(shè)計(jì)空心圓軸尺寸。故：=76.4mm34max])[1(16tap-3TD3641040)5.01(328016-=p按剛度設(shè)計(jì)，有：][18032/)1(44maxqpapq￡-=oDGT則有：取D=78mm=71mm44291)1(1080180328032-3apD扭矩圖不變，按強(qiáng)度設(shè)計(jì)，有：][maxmaxtt￡==TT16/)1(43maxap-DWT)5.0(a=1/)1()2/(])2/()2/([2222agpgapp-=-=LDLDD實(shí)心軸空心軸重量比：重量減輕25%，尺寸略大一點(diǎn)。例5一空心圓軸如圖2.13（a）所示，在A、B、C處受外力偶作用。已知，，，材料G=80Gpa，試求（1）軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力；（2）C截面相對A截面的扭轉(zhuǎn)角

畫軸的扭矩圖解：A、B可能為危險截面計(jì)算危險（最大）點(diǎn)應(yīng)力所以，計(jì)算扭轉(zhuǎn)角[例6]功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力[]=30MPa,試校核其強(qiáng)度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度③此軸滿足強(qiáng)度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx[例7]某傳動軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率N1=500馬力，輸出功率分別N2=200馬力及N3=300馬力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？③主動輪與從動輪如何安排合理？解：①圖示狀態(tài)下,扭矩如