復(fù)變函數(shù)第四章2泰勒級數(shù)課件

4.3泰勒級數(shù)上節(jié)看到，一個冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有解析的和函數(shù)，即，它在收斂圓內(nèi)代表一個解析函數(shù)。反過來，對于圓內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開為級數(shù)呢？定理4.7泰勒展開式D1課件證明思路：根據(jù)定理前提條件,知2課件3課件（1）直接展開法

利用泰勒展開式,我們可以直接通過計算系數(shù):把

f(z)在z0展開成冪級數(shù)。5課件例1：類似地，解：6課件（二）間接展開法借助一些已知函數(shù)的展開式,利用冪級數(shù)的運算（加法，乘法，積分，求導(dǎo)等運算）和分析性質(zhì),以唯一性為依據(jù)來得出一個函數(shù)的泰勒展開式,7課件（方法二待定系數(shù)法）那么，同次冪系數(shù)相等，9課件[解]由于函數(shù)有一奇點z=-1,而在|z|<1內(nèi)處處解析,所以可在|z|<1內(nèi)展開成z的冪級數(shù).10課件對于多值函數(shù)，要先求出單值分支（主值），再計算相應(yīng)的泰勒展開式。ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實軸剪開的平面內(nèi)是解析的,

-1是它的奇點,所以可在|z|<1展開為z的冪級數(shù).-1OR=1xy解：11課件而如果把函數(shù)中的x換成z,在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個奇點i,而這兩個奇點都在此函數(shù)展開式的收斂圓周上,所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點形成了限制.在實變函數(shù)中有些不易理解的問題,一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實數(shù)范圍內(nèi),展開式的成立必須受|x|<1的限制,這一點往往使人難以理解,因為上式左端的函數(shù)對任何實數(shù)都是確定的且可導(dǎo)的.13課件14課件4.4羅朗級數(shù)

一個以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)

f(z),可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù).如果

f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示.但是這種情況在實際問題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以

z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法.例：15課件4.4.1羅朗級數(shù)的概念定義4.617課件在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有.例如,可以證明,上述級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項求積和逐項求導(dǎo).冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),級數(shù)現(xiàn)在反問,在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)?18課件注:(1)羅朗級數(shù)在形式上與泰勒級數(shù)類似,它的證明也是類似的.(2)一般地,即使正冪項的系數(shù)也不能利用高階導(dǎo)數(shù)形式表示.19課件解：因為21課件解：討論的圓