塑性理論 第七章 應力應變關系

第七章應力應變關系

塑性變形時應力與應變的關系稱為本構關系，其數學表達式稱為本構方程或物理方程。7.1彈性變形時的應力應變關系7.2塑性變形時應力應變關系特點7.3增量理論7.4全量理論7.5應力應變順序對應規(guī)律主要內容：7.1彈性變形時的應力應變關系虎克定律廣義虎克定律E：彈性模量：泊松比剪切模量比列及差比形式：結論：在彈性變形中包括改變體積的變形和改變形狀的變形。前者與球應力分量成正比，后者與偏差應力分量成正比，寫成張量形式：廣義虎克定律改寫為：彈性變形時的應力應變關系的特點：應力與應變完全成線性關系，即應力主軸與全量應變主軸重合彈性變形是可逆的，與應變歷史（加載過程無關），應力與應變之間存在統(tǒng)一的單值關系彈性變形時，應力張量使物體產生體積變化，泊松比小于0.57.2塑性變形時應力應變關系特點體積不變，泊松比v=0.5應力、應變?yōu)榉蔷€性關系全量應變與應力主軸不一定重合

塑性變化不可逆——無單值一一對應關系——與加載路徑有關

對于應變硬化材料，卸載后的屈服應力比初始屈服應力高ABCDε,γσ,τOεCεDσSτSa)JIADBCEOτσ初始屈服軌跡后繼屈服軌跡不同加載路線的應力與應變b)a)應力—應變曲線b)屈服軌跡JIADBCEOτσ初始屈服軌跡后繼屈服軌跡b)JIADBCEOτσ初始屈服軌跡后繼屈服軌跡b)7.3增量理論又稱為流動理論，是描述材料處于塑性狀態(tài)時，應力與應變增量或應變速率之間關系的理論。全量應變：前面我們討論過的應變，都是反映微元體在某一變形過程或變形過程的某個階段終了時的應變大小，所以可叫做“全量應變”。應變增量：就是變形過程中某一短階段中的應變。以物體在變形過程中某瞬時的形狀尺寸為原始狀態(tài)，在此基礎上發(fā)生的無限小應變就是應變增量，記為：1、Levy-Mises理論材料是剛塑性材料，即彈性應變增量為零，塑性應變增量就是總的應變增量材料符合Mises屈服準則每一加載瞬時，應力主軸與應變主軸重合塑性變形時體積不變0yε應變增量與應力偏增量成正比：為瞬時的非負系數，加載時為變值，卸載時為0Levy-Mises方程差比形式：∴

∵

∵

∴

∴

∴

2、Prandtl-Reuss理論-塑性增量方程

總應變增量由彈、塑性兩部分組成：增量理論特點：Prandtl-Reuss理論與Levy-Mises理論的差別在于前者考慮彈性變形而后者不考慮都指出了塑性應變增量與應變偏量之間的關系整個變形由各個瞬時變形累加而得，能表達加載過程的歷史對變形的影響，能反映出復雜的加載情況卸載時仍按虎克定律求解SO面平行于S沿著屈服表面的法線方向1234Oxy復雜加載途徑例題：已知兩端封閉的薄壁圓筒，內徑為，壁厚為，承受內壓，從而產生塑性變形，如果材料是各向同性的，并忽略筒壁上的徑向應力（），試求切向、軸向和徑向應變增量的比值。所以：由增量理論：所以：

解：由于：7.4全量理論簡單加載，各應力分量按同一比例增加

應力分量比例增加，中途不能卸載，因此加載從原點出發(fā)；應力主軸與應變主軸重合變形體不可壓縮在上述條件下，小塑性變形的情況下，漢基提出：為瞬時的正值比例常數，在整個加載過程中可能是變量。

因為：所以：對于塑性變形相當大的塑性加工問題時，可以忽略彈性應變，坐標軸取主軸時：注：雖然全量理論只適用于微小變形和簡單加載條件，但由于全量理論表示的是應力與全應變一一對應的關系，這在數學處理上比較方便，因此許多人用這個理論解某些問題。近年來的研究表明，全量理論的應用范圍大大超過了原來的一些限制。然而該理論仍缺乏普遍性，一般認為，研究大塑性變形的一般問題，采用增量理論為宜。例題：兩端封閉的薄壁筒，直徑為400mm，壁厚為4mm，承受內壓100個大氣壓，從而產生塑性變形，如果材料的應力-應變曲線為，試求壁厚的減少量。解：由于：所以：由應力-應變曲線：由全量理論：所以：7.5應力應變順序對應規(guī)律塑性變形時，當主應力順序不變，且應變主軸方向不變時，則主應變的順序與主應力順序相對應，即這種規(guī)律稱為應力應變順序對應關系順序對應關系和中間關系統(tǒng)稱為應力應變對應規(guī)律其實質是將增量理論的定量描述變?yōu)橐环N定性判斷中間關系根據Levy-Mises方程由于初始應變?yōu)榱愕淖冃芜^程，可視為幾個階段組成，在時間間隔t1中，應變增量為在時間間隔t2中在時間間隔tn中由于主軸