塑性力學(xué)第三章

本構(gòu)關(guān)系是固體力學(xué)的基礎(chǔ)；例如，構(gòu)件處于振動狀態(tài)時，材料的阻尼是不可忽略的，而且目前尚存在著不同的阻尼理論。結(jié)構(gòu)抗地震問題力學(xué)分析的規(guī)反應(yīng)譜規(guī)律制訂的，反應(yīng)譜則是建立在阻尼的粘滯理論之上的，而結(jié)構(gòu)在往復(fù)振動條件下的分析常使用復(fù)阻尼理論。以上現(xiàn)象需通過適當(dāng)?shù)谋緲?gòu)關(guān)系來加以描述。

本構(gòu)關(guān)系是整個固體力學(xué)的基礎(chǔ)，而并非塑性力學(xué)專有的問題。第三章塑性本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系是描述物質(zhì)特性的。

常常是根據(jù)材料塑性變形的某些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象經(jīng)分析思考后，再提出“合理假定”來推導(dǎo)本構(gòu)關(guān)系的。3塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系的特點(diǎn)：（1）要有屈服條件；（2）應(yīng)力和應(yīng)變間是非線性關(guān)系；（3）應(yīng)力和應(yīng)變間不存在彈性階段那樣的單值關(guān)系，即對應(yīng)一個應(yīng)變有多個應(yīng)力值，對應(yīng)一個應(yīng)力也有多個應(yīng)變值。3塑性本構(gòu)關(guān)系由于塑性變形規(guī)律的復(fù)雜性，近百年來還沒有出現(xiàn)很好的模型來描述塑性本構(gòu)關(guān)系。兩大類理論：（1）全量理論（形變理論）（2）增量理論（流動理論）3塑性本構(gòu)關(guān)系全量理論（形變理論）H.Hencky提出的理論，不計彈性變形，不計硬化（1924年）；A.Nadai提出的理論，考慮有限變形和硬化（1938年）；A.A.HJBHWNH（依留申）提出的理論，是對Hencky

理論的系統(tǒng)化，考慮了彈性變形的硬化（1943年）。認(rèn)為在塑性狀態(tài)下仍是應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系。以往研究成果：3塑性本構(gòu)關(guān)系增量理論（流變理論）Levy-Mises理論；Prandtl-Reuss理論；認(rèn)為在塑性狀態(tài)下是應(yīng)變增量（應(yīng)變率）和應(yīng)力及應(yīng)力增量（應(yīng)力率）之間的關(guān)系。以往研究成果：3塑性本構(gòu)關(guān)系其它理論：塑性滑移理論；內(nèi)時理論；損傷理論（宏微觀相結(jié)合的）。本章重點(diǎn)：全量理論中的依留申理論以及Levy-Mises理論及Prandtl-Reuss理論。3塑性本構(gòu)關(guān)系3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.1基本要素Shield和Ziegler指出，建立塑性本構(gòu)關(guān)系，需要考慮三個條件：初始屈服條件；與初始及后繼加載面相關(guān)連的某一流動法則；確定一種描述材料硬化特性的硬化條件，亦即加載函數(shù)。在彈性范圍內(nèi)，按照廣義Hooke定律，應(yīng)變可表達(dá)為：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.2廣義Hooke定律在彈性范圍內(nèi)，按照廣義Hooke定律，應(yīng)變可表達(dá)為：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.2廣義Hooke定律其中：其僅表示一個獨(dú)立的表達(dá)式。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.2廣義Hooke定律由此得：推導(dǎo)得出：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.2廣義Hooke定律同樣，可導(dǎo)出用應(yīng)力偏量來表示應(yīng)變偏量的式子：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.2廣義Hooke定律代表5個獨(dú)立的式子。代表1個獨(dú)立的式子。所以上兩式聯(lián)立等價與3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.2廣義Hooke定律在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變間的方向關(guān)系是應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸重合，而分配關(guān)系是應(yīng)變偏量各分量和應(yīng)力偏量各分量成比例。也可表達(dá)成：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.2廣義Hooke定律當(dāng)應(yīng)力從加載面卸載時，也服從廣義Hooke定律，但是不能寫成全量關(guān)系，而只能寫成增量形式，即：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.3全量型本構(gòu)方程依留申在1943年提出了一個硬化材料在彈塑性小變形情況下的塑性本構(gòu)關(guān)系（一種全量關(guān)系，類似于廣義Hooke理論)：(1)體積變化是彈性的(2)應(yīng)變偏張量和應(yīng)力偏張量成比例：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.3全量型本構(gòu)方程其中，φ不是一個常數(shù)，它和點(diǎn)的位置以及荷載水平有關(guān)，即對物體的不同的點(diǎn)，不同的荷載水平，φ

都是不同的。但對同一點(diǎn)，同一荷載水平，φ是常數(shù)。又因?yàn)?，將代入?塑性本構(gòu)關(guān)系_3.3全量型本構(gòu)方程并考慮，得出：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.3全量型本構(gòu)方程因此，全量本構(gòu)方程為：(3)應(yīng)力強(qiáng)度是應(yīng)變強(qiáng)度的確定函數(shù)3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.3全量型本構(gòu)方程全量本構(gòu)方程只是描述了加載過程中的彈塑性變形規(guī)律。加載單調(diào)遞增。卸載下降。在加載情況下，應(yīng)力和應(yīng)變之間有一一對應(yīng)的關(guān)系，即在已知應(yīng)變分量時，不難求應(yīng)力分量。反之亦然。對理想塑性材料，由于塑性狀態(tài)時，可取任意值，所以不能由應(yīng)力分量確定應(yīng)變分量的數(shù)值，而只能求得其相互的比值。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.3全量型本構(gòu)方程設(shè)在物體V內(nèi)給定體力Fi，在應(yīng)力邊界上給定面力，在位移邊界上給定位移，要求確定物體內(nèi)處于塑性變形狀態(tài)的各點(diǎn)的應(yīng)力，應(yīng)變和位移。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.4全量理論的基本方程及邊值問題的提法按全量理論，確定這些基本未知量的基本方程計為：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.4全量理論的基本方程及邊值問題的提法平衡方程：幾何方程：本構(gòu)方程：其中以上基本方程共15個，求解時需邊界條件：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.4全量理論的基本方程及邊值問題的提法邊界條件：按位移求解和按應(yīng)力求解。在彈性和塑性交界處還要滿足連續(xù)條件。全量理論適用于：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.5全量理論的適用范圍簡單加載定律（1）小變形＋（2）簡單加載簡單加載：在加載過程中物體內(nèi)每一點(diǎn)的各個應(yīng)力分量按比例增長的。即在簡單加載時，各應(yīng)力分量與一個共同的參數(shù)成比例，即：是某一非零的參考應(yīng)力狀態(tài)，是一個單調(diào)增加的參數(shù)。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.5全量理論的適用范圍簡單加載定律如何判斷加載過程是否是簡單加載？在小變形情況下，滿足以下三個條件：（1）荷載按比例增長。（2）材料是不可壓縮的。（3）應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度之間有冪函數(shù)的關(guān)系。伊留申簡單加載定律3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.6卸載定律什么時候算卸載？按單一曲線假設(shè)，在這里是指物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度減小的情況。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.6卸載定律卸載定律：卸載后的應(yīng)力或應(yīng)變等于卸載前的應(yīng)力或應(yīng)變減去以卸載時的荷載改變量P’=(P-P)為假象荷載按彈性計算所得之應(yīng)力或應(yīng)變（即卸載過程中應(yīng)力或應(yīng)變的改變量）。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.6卸載定律使用卸載定律中的方法時，有兩點(diǎn)要注意：（1）卸載過程必須是簡單卸載，即卸載過程中各點(diǎn)的應(yīng)力分量是按比例減小的；（2）卸載過程中不發(fā)生第二次塑性變形，即卸載不應(yīng)引起應(yīng)力改變符號而達(dá)到新的屈服。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.7Levy-Mises流動法則和Prandtl-Reuss流動法則塑性區(qū)的變形與：

（1）最終的應(yīng)力狀態(tài)（2）加載路徑有關(guān)。描述塑性變形的發(fā)展過程及其規(guī)律－－變形增量間的關(guān)系。只有增量理論，才能追蹤整個加載路徑來求解。（增量理論的出發(fā)點(diǎn)）3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.7Levy-Mises流動法則和Prandtl-Reuss流動法則

Levy-Mises(利維-米賽斯)流動法則（1）從1870年開始，Saint-Venant通過對平面應(yīng)變的處理來分析塑性變形規(guī)律。－－－應(yīng)變增量主軸和應(yīng)力主軸重合的。（2）1871年，M.Levy引用Saint-Venant關(guān)于方向的假設(shè)，提出了分配關(guān)系。－－－應(yīng)變增量各分量與相應(yīng)的應(yīng)力偏量各分量成比例。決定于質(zhì)點(diǎn)的位置和荷載水平3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.7Levy-Mises流動法則和Prandtl-Reuss流動法則

Levy-Mises流動法則（3）1913年，VonMises獨(dú)立的提出了與M.Levy所提出假設(shè)相同的關(guān)系式。－－－應(yīng)變增量各分量與相應(yīng)的應(yīng)力偏量各分量成比例。實(shí)驗(yàn)表明，這個關(guān)系式并不包括彈性變形部分，僅適用于剛塑性體。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.7Levy-Mises流動法則和Prandtl-Reuss流動法則

Prandtl-Reuss（普蘭特－雷斯）流動法則（1）1924年，L.Prandtl將Levy-Mises關(guān)系式推廣應(yīng)用于塑性平面應(yīng)變問題。－－－（i）：考慮塑性狀態(tài)下的彈性變形部分，并認(rèn)為彈性變形服從Hooke定律。－－－（ii）：假定塑性應(yīng)變增量張量和應(yīng)力偏張量相似且同軸線。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.7Levy-Mises流動法則和Prandtl-Reuss流動法則

Prandtl-Reuss（普蘭特－雷斯）流動法則（2）1930年，A.Reuss把L.Prandtl應(yīng)用在平面應(yīng)變的這個假設(shè)推廣到一般三維問題。－－－建立了Prandtl-Reuss流動法則。仍決定于質(zhì)點(diǎn)的位置和荷載水平3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.7Levy-Mises流動法則和Prandtl-Reuss流動法則

Prandtl-Reuss（普蘭特－雷斯）流動法則考慮塑性的不可壓縮性所以，是Prandtl-Reuss法則的另一種表達(dá)形式，即塑性應(yīng)變增量偏張量和應(yīng)力偏張量成比例。也可寫為：則：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.7Levy-Mises流動法則和Prandtl-Reuss流動法則

Prandtl-Reuss（普蘭特－雷斯）流動法則彈性應(yīng)變增量偏張量與應(yīng)力增量偏張量成線性關(guān)系：所以有：且：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.7Levy-Mises流動法則和Prandtl-Reuss流動法則

Prandtl-Reuss（普蘭特－雷斯）流動法則塑性不可壓縮，即體積變化是彈性的，則：所以由Prandtl-Reuss（普蘭特－雷斯）流動法則導(dǎo)出的增量型本構(gòu)關(guān)系式：適用于彈塑性模型3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.8理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程針對理想彈塑性材料，確定比例系數(shù)：理想彈塑性材料：后繼屈服面和初始屈服面重合。若采用Mises屈服條件：則且應(yīng)變比能增量為：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.8理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程又因?yàn)椋核裕?塑性本構(gòu)關(guān)系_3.8理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程其中：將為體積應(yīng)變比能增量。為形狀變形比能增量。帶入形狀變形比能增量的表達(dá)式得：所以：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.8理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程或：帶入由Prandtl-Reuss（普蘭特－雷斯）流動法則導(dǎo)出的增量型本構(gòu)關(guān)系式：理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.9理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程由Levy-Mises流動法則，同樣以Mises條件為初始屈服條件，則推導(dǎo)的：現(xiàn)定義應(yīng)變增量強(qiáng)度：注意：3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.9理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程所以得到理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程：若應(yīng)力和應(yīng)變增量已知，則可求形狀改變比能增量，然后可求應(yīng)力增量的偏張量的各個分量和平均應(yīng)力增量，最后可求各個應(yīng)力增量。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.10彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程采用等向硬化模型，取Mises屈服條件，求：3塑性本構(gòu)關(guān)系作業(yè)：習(xí)題2、4、53塑性本構(gòu)關(guān)系_3.11增量型本構(gòu)方程的矩陣形式以往增量型本構(gòu)方程，均采用應(yīng)力和應(yīng)力增量表示應(yīng)變增量。有限元計算中常采用位移法，即用應(yīng)變求應(yīng)力；并采用矩陣表達(dá)。對稱，與當(dāng)時應(yīng)力有關(guān)，增量理論彈塑性矩陣。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.11增量型本構(gòu)方程的矩陣形式描述的是進(jìn)入塑性狀態(tài)的彈塑性材料在繼續(xù)家族時的應(yīng)力增量和應(yīng)變增量關(guān)系。注意：僅適用于加載過程！對理想彈塑性材料，只需要在式中取3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.11增量型本構(gòu)方程的矩陣形式彈塑性矩陣塑性矩陣對于空間問題，彈塑性矩陣為：6×6階；且對稱對空間軸對稱問題，彈塑性矩陣為：4×4階；對稱對平面應(yīng)力問題，彈塑性矩陣為，3×3階；對稱3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.12Prandtl-Reuss假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證理論上：

Lode為驗(yàn)證Prandtl-Reuss理論，進(jìn)行了薄壁圓管受軸向拉伸和內(nèi)壓力的實(shí)驗(yàn)。并引入了兩個參數(shù)：實(shí)驗(yàn)表明：上式大致成立。3塑性本構(gòu)關(guān)系_3.13增量理論的基本方程及邊值問題的提法

15個方程、15個未知量，可求平衡方程：3個已知某狀態(tài)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，在外載增加一個增量后，其體力增加，邊界面力增加，邊界