第十二講：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

利川“騰龍洞（水洞口）”

前面已經(jīng)講授了有關(guān)隨機(jī)變量及其分布的相關(guān)概念和相關(guān)概率計(jì)算問(wèn)題。我們知道：隨機(jī)變量的取值不止一個(gè)，且取某個(gè)值（或某范圍的值）都有相應(yīng)的概率，但實(shí)際中經(jīng)常要考察隨機(jī)變量取值趨勢(shì)問(wèn)題，如取值的平均值問(wèn)題、取值的集中性問(wèn)題等等。

例1：設(shè)某班40名學(xué)生的《概率統(tǒng)計(jì)》成績(jī)及得分人數(shù)如下表所示

則學(xué)生的平均成績(jī)是：人數(shù)1691572分?jǐn)?shù)4060708090100P×+1002/4040607080901/406/409/4015/407/40

定義:一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值

定義4.1(P71)：第十二講隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（P71）例2：擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。解：X的分布列為：X123456P1/61/61/61/61/61/6例3：求0-1分布的數(shù)學(xué)期望所以EX=p解：X的分布列為：例4：一批產(chǎn)品中有一、二、三、四、五等品，相應(yīng)的概率分別為0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其單位成本分別為6元、5.4元、5元、4元、3元?，F(xiàn)統(tǒng)一用一個(gè)價(jià)格批發(fā)給一個(gè)銷售商，問(wèn)批發(fā)單價(jià)至少為多少時(shí)才不至于虧本。解：產(chǎn)品的單位成本X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為：X65.4543P0.70.10.10.060.04所以EX=6×0.7+5.4×0.1+5×0.1+4×0.06+3×0.04=5.6故批發(fā)單價(jià)至少為5.6元時(shí)才不至于虧本例5：甲、乙兩名射手在一次射擊中得分（分別用X、Y表示）的分布律如下表所示：解：X123P0.40.10.5試比較兩名射手的成績(jī)。因?yàn)镋X=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1Y123P0.10.60.3EY=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2故可認(rèn)為乙射手成績(jī)比甲射手好。二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望。定義(P73)：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量有概率密度，若積分絕對(duì)收斂，則稱例6：計(jì)算在區(qū)間上服從均勻分布的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。解：依題意知，例7：某種無(wú)線電元件的使用壽命是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為：解：依題意知，求這種元件的平均壽命。例8：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解:求隨機(jī)變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望XPk-101YPk10三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望因?yàn)閅的分布列為：Y的分布列可寫為：YPk(-1)20212

定理(P74):例9：長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、30分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客的平均候車時(shí)間解:設(shè)乘客于某時(shí)X分到達(dá)車站,候車時(shí)間為Y,則=10分25秒例10.已知(X,Y)的分布律為x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求E(X-2/5)(Y-2/5)。 解：E(X-2/5)(Y-2/5)=(3/5)(3/5)+（3/5)(-2/5)+（-2/5)(3/5)+（-2/5)(-2/5)=-3/50(1/10)(3/10)(3/10)(3/10)例11.設(shè)(X,Y)的概率密度為解:例12：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解:求X的一階原點(diǎn)矩和二階中心矩XPk-101X的一階原點(diǎn)矩為：X的二階中心矩為：四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(P77)例13:有一隊(duì)射手共9人，技術(shù)不相上下，每人

射中目標(biāo)的概率為0.8；進(jìn)行射擊，各自打中目標(biāo)為止，但限制每人最多只打3次。問(wèn)大約需為他們準(zhǔn)備多少發(fā)子彈。再多準(zhǔn)備10%至15%，大約需為他們準(zhǔn)備13發(fā)子彈。例14：甲、乙兩名射手在一次射擊中得分（分別用X、Y表示）的分布律如下表所示：解法一：X123P0.40.10.5求E（X＋Y）和E（XY）。因?yàn)镋X=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1Y123P0.10.60.3EY=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2可認(rèn)為甲、乙兩射手射擊是相互獨(dú)立的。所以E（X＋Y）＝4.3E(XY)=4.62。因?yàn)閄＋Y與XY的分布列為：X＋Y23456P0.040.250.230.330.15XY123469P0.040.250.170.060.330.15因此E（X＋Y）=2×0.04+3×0.25+4×0.23+5×0.33+6×0.15=4.3E(XY)=1×0.04+2×0.25+3×0.17+4×0.06+6×0.33+9×0.15=4.62解法二：X＋Y與XY的分布列呢？E（X＋Y）=2×0.4×0.1+3×0.4×0.6+2×0.1×0.1+4×0.4×0.3+4×0.1×0.6+4×0.5×0.1+5×0.1×0.3+5×0.5×0.6+6×0.5×0.3=4.30.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-1？本次課的要求：

(1)明確數(shù)學(xué)期望的含義。(2)學(xué)會(huì)求離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。(3)掌握并學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。(4)學(xué)會(huì)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

設(shè)甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的《概率統(tǒng)計(jì)》成績(jī)分布如下所示：

0.20.20.20.20.2P10090807060甲班0.20.20.20.20.2P8482807876乙班試比較兩個(gè)班成績(jī)的優(yōu)劣和穩(wěn)定性？一、復(fù)習(xí)本次課堂所授內(nèi)容及教材P71－77二、練習(xí)十二教材P77－78T2T3T4三、預(yù)習(xí)教材P78－88課后作業(yè)5分4分1分4分4分2分4分2分2分1分2分1分2分2分3分4分2分1分3分1分1分3分1分1分(1)X的分布列為：0.10.30.6P3453分3分3分3分3分(1)X的分布列為：0.10.30.6P345X的分布函數(shù)為：0.10.30.6P1933513分2分3分解：（1）由密度函數(shù)性質(zhì)知1分2分1分1分3分1分1分2分0.40.