揭秘若干高考數(shù)學題的數(shù)學史背景與速解決竅

標題、作者揭秘若干高考數(shù)學題的數(shù)學史背景與速解訣竅

甘大旺2014.3.8.大連湖北省第五批特級教師浙江省寧波市北侖區(qū)明港中學浙大《高中數(shù)學解題專家》撰者1

因為大連理工大學的徐利治教授是我國數(shù)學方法論研究的首創(chuàng)者，所以大連這座美麗、海濱、開放城市也是我國數(shù)學方法論研究的發(fā)源地。為此，大連的數(shù)學教師應該感到自豪！我也很羨慕！

教研員趙文蓮老師、特級教師金鐘植老師邀請我來大連作一個講座，給我提供向大家學習與交流的機會，讓我感受我國數(shù)學方法論研究發(fā)源地的學術氛圍，也促使著我把原先在寧波大學舉辦的高中數(shù)學教師培訓講稿進行翻新和完善（有時人在外力中更容易進步），所以我對趙文蓮老師、金鐘植老師和各位老師表示感謝！

0.序言2

浙江省嘉興一中特級教師沈新權已經(jīng)談到我國高考數(shù)學題四大來源：源自教材、陳題改編、高數(shù)下放、競賽背景。讀后，我受益匪淺.

作為高考數(shù)學題研究的延續(xù)，這里，我芻談若干高考數(shù)學題的數(shù)學史背景，期望對于高中數(shù)學教師的數(shù)學高考備考、豐富專業(yè)涵養(yǎng)能發(fā)揮出拋磚引玉的作用。我本人的觀點不成熟、有偏差，請指正！

1.揭秘若干高考數(shù)學題的數(shù)學史背景

鏈接31.揭秘若干高考數(shù)學題的數(shù)學史背景

數(shù)學史是研究數(shù)學學科發(fā)生、發(fā)展及其規(guī)律的科學，它不僅追溯數(shù)學內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及數(shù)學科學發(fā)展對人類文明帶來的影響。數(shù)學進展的累積性、延續(xù)性不同于其它學科進展的顛覆性、割裂性（例如物理學的“以太說”、化學的“燃素說”、天文學的“地心說”、醫(yī)學的“抗生素”等），這說明學習、研究數(shù)學史尤其重要。

41.揭秘若干高考數(shù)學題的數(shù)學史背景

人們研究數(shù)學史可以研究數(shù)學思想、方法、理論、概念的演變史；可以研究數(shù)學科學與其它學科、人類社會的互動關系；可以研究數(shù)學思想的傳播與交流；可以研究數(shù)學家的生平；等等。國際數(shù)學組織HPM的研究方向是數(shù)學史及其與數(shù)學教育的關系。作為高中數(shù)學教師，我們不但可以把數(shù)學史研究用于編寫數(shù)學校本教材、改進數(shù)學課堂教學，而且更應該關注高考數(shù)學題的數(shù)學史背景（命題背景、解題背景）。51.1將軍飲馬唐朝詩人李欣(690--751,四川三臺)的詩《古從軍行》的開頭兩句是：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河.”例1（2013年湖南省高考題）在等腰直角三角形……例2(2013年重慶市高考題)已知兩個定圓……

鏈接61.2韋達定理法國數(shù)學家韋達（Viete，1540-1603）早年在巴黎普瓦捷大學學習法律，后任律師和法官，主業(yè)巔峰時當上法國最高法院律師，業(yè)余鉆研數(shù)學，出版《應用于三角形的數(shù)學定理》（1579）、《分析方法入門》（1591）、《各種數(shù)學解答》（1593）、《論方程的識別與論證》（1615）、《斜截面》（1615）等數(shù)學專著，一直到殂后43年的1646年經(jīng)晚輩在荷蘭出版《韋達全集》后才得到數(shù)學界的佩服，被公認為數(shù)學符號化之父?！墩摲匠痰淖R別與論證》記載了被后人所稱謂的“韋達定理”。例1(2012年山東省高考理科數(shù)學試卷的最后一道選擇題）設函數(shù)……例2（2010年江西省高考題）如果函數(shù)……例3（2008年復旦大學自主招生題）設……是三次方程的三個根，則行列式……鏈接71.3斐波拉契數(shù)列意大利數(shù)學家斐波那契（L.Fibona-cci，約1170-1250）在1228年修訂的《算盤全書》中保留了兔子問題：“如果每對新生的雌雄兔子在第3個月開始每月又能生一對雌雄兔子，假設不發(fā)生死亡，那么由一對初生的雌雄兔子繁殖到50個月后共有多少對雌雄兔子？”例1(2012年江西省高考題)觀察下列各式……例2（2009年福建省高考題）五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數(shù)為1，第二位同學首次報出的數(shù)也為1，之后每位……鏈接81.4費馬點

法國數(shù)學家費馬（Fermat，1601-1665）出生于法國南部圖盧茲的一個皮革商的富貴家庭，從小喜愛瀏覽多種圖書，在圖盧茲大學學習法律，畢業(yè)后返回家鄉(xiāng)圖盧茲當律師、法官和議員，主業(yè)巔峰時擔任法國大理院法庭法官和天主教聯(lián)盟主席。

雖然鉆研數(shù)學只是費馬的業(yè)余愛好，但費馬在數(shù)學上的總體造詣卻遠遠超過同時代法國的職業(yè)數(shù)學家，后世被數(shù)學界稱為“業(yè)余數(shù)學家之王”。在平面幾何中，把到任意的三個頂點的距離之和最小的點稱為費馬點F。當該三角形的最大內(nèi)角小于120度時；否則，費馬點F重合于最大內(nèi)角的頂點。

例1（2008年江蘇省高考題）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處．……例2(第14屆北京市高中數(shù)學應用初賽題)……ABCDOP1.491.5卡爾達諾的旋輪問題

意大利科學家、醫(yī)學博士卡爾達諾(G.Cardano，1501-1576)出生于一個法官的家庭，上大學時學習醫(yī)學取得醫(yī)學博士學位，主業(yè)從醫(yī)，33歲時兼任數(shù)學教師，42歲又到帕維亞大學任醫(yī)學教授并逐漸成為聞名全歐的醫(yī)生，他是醫(yī)學、哲學、宗教、數(shù)學、物理、化學、生物學、天文學、占星預測、棋類、賭博的雜家和玩家。

卡爾達諾最重要的數(shù)學著作是1545年出版的《大術》，其中包含了一元三次方程、四次方程的求根公式。此外，他提出了著名的旋輪問題：“一個圓盤沿著半徑為其兩倍的另一個圓盤的內(nèi)緣相切而旋轉，則這個小圓盤上一個定點的運動軌跡是一個橢圓”。例1（2011年江西省高考題）一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，……例2（2012年山東省高考題）如圖，一單位圓的圓心的初始位置在……1.5101.6伯努利的裝錯信箋

瑞士數(shù)學家尼?伯努利(DanilBemoulli，1700-1782)提出了裝錯信箋問題——某人寫了n封不同的信，并在n個信封上寫下對應的地址，問把所有信箋全部裝錯的方法共有多少種？

后來，瑞士數(shù)學家歐拉(Euler，1707-1783)運用遞推數(shù)列獨立地解決了這道組合妙題。例6（2010年浙江省高考題）有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、……例7(2012年全國高考題)將字母排成三行兩列，要求每行的字母……1.6111.7從阿氏圓，到極點、極線

阿波羅尼(奧)斯(P.Apollonius，約前262-約

前190)是希臘數(shù)學家、天文學家，經(jīng)典巨著《圓錐曲線論》領先1800年。目前比較流行的阿波羅尼(奧)斯圓是“與兩定點的距離之比為常數(shù)(不等于1)的點的軌跡是一個圓”。

例1(2008年江蘇省高考題)滿足AB=2，AC=……三角形ABC面積的最大值是

。例2(2013年遼寧省高考題19（2）)如圖，拋物線……求線段AB中點的軌跡方程。

1.7121.8

琴生不等式

丹麥工程師和業(yè)余數(shù)學家琴生(Jensen，1859-1925）出生于丹麥，跟隨當房地產(chǎn)經(jīng)理的父親在瑞典度過了大部分童年時光，17歲回國中斷了在哥本哈根科技學院的學業(yè)，24歲成為一家電話公司的工程師，31歲成為技術主管，沒有專修數(shù)學和講授數(shù)學的歷練，自學高等數(shù)學，業(yè)余研究數(shù)學。著名的琴生不等式不但在數(shù)學競賽中常被運用，而且在高考數(shù)學命題中也常常若隱若現(xiàn)。例1（2011年我國內(nèi)地招收僑港澳臺學生入學試題）設三角形ABC為銳角三角形……例2（2011年湖北省高考末題）設……1.8131.9拉格朗日中值定理

拉格朗日（Lagrange，1736-1813）是法國數(shù)學家、力學家、天文學，出生于生于意大利，幼年家境衰落，17歲就喜愛研讀微積分，19歲時當上都靈皇家炮兵學院教授，20歲受數(shù)學家歐（1707-1783）的舉薦被任命為德國皇家普魯士科學院通訊院士，30歲受德國大帝的邀請前往柏林擔任普魯士科學院數(shù)學部主任，51歲以后受法國國王的邀請定居巴黎，59歲當選法蘭西研究院數(shù)理委員會主席。例1（2009年遼寧省高考題21）已知函數(shù)…例2（2010年遼寧省高考題21）已知函數(shù)…1.9141.10

(揭秘若干數(shù)學高考題的數(shù)學史背景)其它

古希臘的形數(shù)、柯西函數(shù)方程、楊輝三角、阿貝爾求和、歐拉線、蝴蝶、雪花曲線、幻方、阿基米德三角形、四色、七橋、帕斯卡賭金分配、正整數(shù)的二進制,級數(shù)，

彭色列閉形定理、調(diào)和點列，交比，包絡、高階等差數(shù)列，羨除，…。152.揭秘若干數(shù)學高考題的速解訣竅

北京師大《數(shù)學通報》1997年第2期發(fā)表了我的論文“通法與特技的相對性及啟示”，受到專家的好評，這一年我38歲被破格評為湖北省第5批特級教師與這篇代表作密切關聯(lián)。寫這篇學術爭鳴論文的初衷只是要鼓勵數(shù)學教師樂于潛心研究解題方法，卻想不到引起了全國不少中學數(shù)學教師的共鳴，后來者居上，比如東北的特級教師金鐘植對數(shù)學解題通法與特技進行了更加系統(tǒng)的研究(/view/2eb84c17eff9aef8941e06a5.html),新穎地提出了通法的概括性、隱蔽性、發(fā)展性、層次性等等特點.

在數(shù)學解題中，通法與特技（妙法），孰優(yōu)孰劣，目前再很少有人去辯論了。再強調(diào)，無論是通法還是特技（妙法），易學且省時的解法就是好法。2.0162.揭秘若干數(shù)學高考題的速解訣竅2001年秋季我在陜西師大接受第3期高中數(shù)學國家級骨干教師培訓班（兼任學習委員），聆聽到裘宗滬教授的專題報告（時任教務長的羅增儒教授主持報告會），裘教授直白地說道：“熟能生巧”幾乎是數(shù)學教育的全部，‥‥‥。裘宗滬教授的這種說法務實求真，與華羅庚先生提倡的“勤能補拙”是一脈相承的。在高考數(shù)學備考中，教師引導學生熟悉解題的若干速解技巧、多熟悉幾套解題妙招，學生就會對數(shù)學學習增加樂趣、在數(shù)學高考中增加勝算。172.1函數(shù)圖象的軸對稱和點對稱

2012年4月，上海市七寶中學特級教師文衛(wèi)星委托我為他點評復習課“函數(shù)圖像的對稱性、周期性”的教學實錄,文衛(wèi)星老師的探究成果與在座的多位教師的探究心得可能不謀而合。思考：若函數(shù)圖象有兩條對稱軸，則周期如何？……

2.1182.2指數(shù)、對數(shù)的分隔不等式2.22.2192.3不動點2.3202.4平面的截距式法向量2.4212.5巧求平均數(shù)、方差鏈接222.6三角法2.6232.7平面幾何幫大忙鏈接242.8居高臨下2.8252.9先猜后證2.9262.10(揭秘若干數(shù)學高考題的速解訣竅)其它

等積（面積或體積）法，解析法，直觀感悟、分類、分析，逆向思維，經(jīng)典特例，極限化，整體換元，歸納概括，尋找引理（復合函數(shù)的反函數(shù)、“對勾”函數(shù)性質(zhì)、空間三直角折線、三角形內(nèi)的向量等式、共軛復數(shù)性質(zhì)、圓的根軸、等等），質(zhì)疑辟誤…。

2.1027結語3.028思考、調(diào)研題

某董事長的司機和保鏢兩人某次閑暇時擲硬幣猜贏，商約先擲出4次正面就歸司機贏得全部網(wǎng)絡游戲幣3000元，反之先擲出4次反面就歸保鏢贏得這些游戲幣，擲硬幣最少4次、最多7次就可見分曉。正當他們擲出3次正面、2次反面時，董事長要這兩人陪同去接見外商，兩人受到“再犯就開除”的嚴厲警告。投擲過程不能了結，就委