2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案一試一、選擇題（每小題6分，共36分）1．函數(shù)（A）0在上的最小值是（）。（B）1（C）2（D）32．設(shè)（A），，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。（D）（B）（C）3．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為（）。（A）（B）（C）（D）4．若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564cm2，則這三個(gè)正方體的體積之和為（）。（A）764cm3或586cm3（C）586cm3或564cm3（B）764cm3（D）586cm35．方程組的有理數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）。（A）16．設(shè)（B）2（C）3（D）4的內(nèi)角所對(duì)的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是（）。（A）（C）（B）（D）二、填空題（每小題9分，共54分）7．設(shè)，其中，則為實(shí)數(shù)，，，，若.8．設(shè)的最小值為，則.9．將24個(gè)志愿者名額分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有種．10．設(shè)數(shù)列11．設(shè)的前項(xiàng)和滿足：，，則通項(xiàng)=．是定義在上的函數(shù)，若，，且對(duì)任意，則，滿足=.12．一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是.三、解答題（每小題20分，共60分）13．已知函數(shù)的圖像與直線有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為，求證：．14．解不等式．15．如圖，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值．解答1.當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．而此方程有解，因此在上的最小值為2．故選C.2.因?yàn)橛袃蓚€(gè)實(shí)根，，故等價(jià)于且，即且，解之得．故選D。3.方法一：依題意知，的所有可能值為2、4、6.設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠啠瑒t該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為．若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．從而有，，，故．故選B。方法二：依題意知，的所有可能值為2、4、6.令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝．由獨(dú)立性與互不相容性得，，，因此．故選B。4.設(shè)這三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為，則有，即。不妨設(shè)．，從而，．故，只能取9、8、7、6若若，則，易知，，，得一組解，即．，則．但，從而或5．若，則無(wú)解；若，則無(wú)解．因此c=8時(shí)無(wú)解．若若，則，有唯一解，．，則，此時(shí)，即。故，但，所以，此時(shí)無(wú)解．綜上，共有兩組解或，體積為（cm3）或（cm3）。故選A。5.若若，則解得或．，則由得①由得．②將②式代入得．③由①式得，代入③式化簡(jiǎn)得，由②式得.易知無(wú)有理數(shù)根，故，由①式得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數(shù)解或故選B。的公比為，則6.設(shè)，而．因此，只需求的取值范圍．因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，最大邊只能是或，因此要構(gòu)成三角解得形的三邊，必須且只需且．即有不等式組即從而，因此所求的取值范圍是．故選C。7.由題意知，由，得，，因此，．8.，(1)(2)時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值；時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值1；(3)又故時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值．或時(shí)，的c不能為，，，解得(舍去)．9.方法一：用4條棍子間的空隙代表3個(gè)學(xué)校，而用表示名額．如表示第一、二、三個(gè)學(xué)校分別有4，18，2個(gè)名額．若把每個(gè)“”與每個(gè)“”都視為一個(gè)位置，由于左右兩端必須是“｜”，故不同的分配方法相當(dāng)于(個(gè))位置（兩端不在內(nèi)）被2個(gè)“｜”占領(lǐng)的一種“占位法”．“每校至少有一個(gè)名額的分法”相當(dāng)于在24個(gè)“”之間的23個(gè)空隙中選出2個(gè)空隙插入“｜”，故有(種)．又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種．綜上知，滿足條件的分配方法共有253－31＝222(種)．方法二：設(shè)分配給3個(gè)學(xué)校的名額數(shù)分別為，則每校至少有一個(gè)名額的分法數(shù)為不定方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，它等于3個(gè)不同元素中取21個(gè)元素的可重組合：．又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種．綜上知，滿足條件的分配