注冊環(huán)保工程師基礎高等數(shù)學

第九章重積分二重積分的概念與性質教學目的：深刻理解二重積分的概念、性質、方法和基本技巧教學重點：利用二重積分的性質計算教學難點：二重積分的幾何意義教學內(nèi)容：一、二重積分的概念1.曲頂柱體的體積設有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側面是以的邊界曲線為準線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面。當時,在上連續(xù)且,以后稱這種立體為曲頂柱體。曲頂柱體的體積可以這樣來計算:(1)用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個小區(qū)域，，，，以這些小區(qū)域的邊界曲線為準線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成個小曲頂柱體，，，。（假設所對應的小曲頂柱體為,這里既代表第個小區(qū)域,又表示它的面積值,既代表第個小曲頂柱體,又代表它的體積值。)圖9-1-1從而(將化整為零)(2)由于連續(xù),對于同一個小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大。因此,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是(以不變之高代替變高,求的近似值)(3)整個曲頂柱體的體積近似值為(4)為得到的精確值,只需讓這個小區(qū)域越來越小,即讓每個小區(qū)域向某點收縮。為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設個小區(qū)域直徑中的最大者為,則2.平面薄片的質量設有一平面薄片占有面上的區(qū)域,它在處的面密度為,這里,而且在上連續(xù),現(xiàn)計算該平面薄片的質量。圖9-1-2將分成個小區(qū)域，，，，用記的直徑,既代表第個小區(qū)域又代表它的面積。當很小時,由于連續(xù),每小片區(qū)域的質量可近似地看作是均勻的,那么第小塊區(qū)域的近似質量可取為于是兩種實際意義完全不同的問題,最終都歸結同一形式的極限問題。因此,有必要撇開這類極限問題的實際背景,給出一個更廣泛、更抽象的數(shù)學概念,即二重積分。3.二重積分的定義設是閉區(qū)域上的有界函數(shù),將區(qū)域分成個小區(qū)域,其中,既表示第個小區(qū)域,也表示它的面積,表示它的直徑。作乘積作和式若極限存在,則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分,記作。即其中:稱之為被積函數(shù),稱之為被積表達式,稱之為面積元素,稱之為積分變量,稱之為積分區(qū)域,稱之為積分和式。4.幾個事實(1)二重積分的存在定理若在閉區(qū)域上連續(xù),則在上的二重積分存在。聲明:在以后的討論中,我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在。(2)中的面積元素象征著積分和式中的。圖9-1-3由于二重積分的定義中對區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標軸的直線來劃分區(qū)域,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形,因此,可以將記作(并稱為直角坐標系下的面積元素),二重積分也可表示成為。(3)若,二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體的體積。二、二重積分的性質二重積分與定積分有相類似的性質1.線性性其中:是常數(shù)。2.對區(qū)域的可加性若區(qū)域分為兩個部分區(qū)域,則3.若在上,,為區(qū)域的面積,則幾何意義:高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。4.若在上,,則有不等式特別地,由于，有5.估值不等式設與分別是在閉區(qū)域上最大值和最小值,是的面積,則6.二重積分的中值定理設函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù),是的面積,則在上至少存在一點,使得例1估計二重積分的值,是圓域。解求被積函數(shù)在區(qū)域上可能的最值是駐點,且；在邊界上,,,于是有小結：二重積分的定義（和式的極限）二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）二重積分的性質作業(yè)：作業(yè)卡p22二重積分的計算法教學目的：深刻理解二重積分的計算方法和基本技巧教學重點：熟練掌握二重積分計算教學難點：二重積分在極坐標下的計算教學內(nèi)容：利用二重積分的定義來計算二重積分顯然是不實際的,二重積分的計算是通過兩個定積分的計算(即二次積分)來實現(xiàn)的。一、利用直角坐標計算二重積分我們用幾何觀點來討論二重積分的計算問題。討論中,我們假定；假定積分區(qū)域可用不等式表示,其中在上連續(xù)。圖9-2-1圖9-2-2據(jù)二重積分的幾何意義可知,的值等于以為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積。圖9-2-3在區(qū)間上任意取定一個點,作平行于面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間為底,曲線為曲邊的曲邊梯形,其面積為一般地,過區(qū)間上任一點且平行于面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為利用計算平行截面面積為已知的立體之體積的方法,該曲頂柱體的體積為從而有(1)上述積分叫做先對,后對的二次積分,即先把看作常數(shù),只看作的函數(shù),對計算從到的定積分,然后把所得的結果(它是的函數(shù))再對從到計算定積分。這個先對,后對的二次積分也常記作在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,導出了二重積分的計算公式(1)。但實際上,公式(1)并不受此條件限制,對一般的(在上連續(xù)),公式(1)總是成立的。例1計算解類似地,如果積分區(qū)域可以用下述不等式表示,且函數(shù),在上連續(xù),在上連續(xù),則(2)圖9-2-4圖9-2-5顯然,(2)式是先對,后對的二次積分。二重積分化二次積分時應注意的問題1.積分區(qū)域的形狀前面所畫的兩類積分區(qū)域的形狀具有一個共同點:對于I型(或II型)區(qū)域,用平行于軸(軸)的直線穿過區(qū)域內(nèi)部,直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點。如果積分區(qū)域不滿足這一條件時,可對區(qū)域進行剖分,化歸為I型(或II型)區(qū)域的并集。2.積分限的確定二重積分化二次積分,確定兩個定積分的限是關鍵。這里,我們介紹配置二次積分限的方法--幾何法。畫出積分區(qū)域的圖形(假設的圖形如下)圖9-2-6在上任取一點,過作平行于軸的直線,該直線穿過區(qū)域,與區(qū)域的邊界有兩個交點與,這里的、就是將,看作常數(shù)而對積分時的下限和上限；又因是在區(qū)間上任意取的,所以再將看作變量而對積分時,積分的下限為、上限為。例2計算,其中是由拋物線及直線所圍成的區(qū)域。解積分區(qū)域可用下列不等式表示例3求由曲面及所圍成的立體的體積。解1.作出該立體的簡圖,并確定它在面上的投影區(qū)域圖9-2-7消去變量得一垂直于面的柱面,立體鑲嵌在其中,立體在面的投影區(qū)域就是該柱面在面上所圍成的區(qū)域2.列出體積計算的表達式3.配置積分限,化二重積分為二次積分并作定積分計算圖9-2-8而由的對稱性有所求立體的體積為二、利用極坐標計算二重積分1.變換公式按照二重積分的定義有圖9-2-9現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標中的形式。用以極點0為中心的一族同心圓常數(shù)以及從極點出發(fā)的一族射線常數(shù),將剖分成個小閉區(qū)域。除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外,小閉區(qū)域的面積可如下計算其中,表示相鄰兩圓弧半徑的平均值。在小區(qū)域上取點,設該點直角坐標為,據(jù)直角坐標與極坐標的關系有于是即由于也常記作,因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發(fā)性的形式(1)(1)式稱之為二重積分由直角坐標變量變換成極坐標變量的變換公式,其中,就是極坐標中的面積元素。(1)式的記憶方法:2.極坐標下的二重積分計算法極坐標系中的二重積分,同樣可以化歸為二次積分來計算。(1)積分區(qū)域可表示成下述形式其中函數(shù),在上連續(xù)。圖9-2-10則(2)積分區(qū)域為下述形式圖9-2-11顯然,這只是(1)的特特殊形式((即極點在積積分區(qū)域的邊邊界上)。故(3)積分區(qū)域域為下述形式式圖9-2-12顯然,這類區(qū)域又是情形形二的一種變變形(極點包圍在在積分區(qū)域的的內(nèi)部),可剖分分成與,而故則由上面的討論不難難發(fā)現(xiàn),將二重積分分化為極坐標標形式進行計計算,其關鍵之處處在于:將積分區(qū)域域用極坐標變變量表示成如如下形式3.使用極坐標標變換計算二二重積分的原原則(1)積分區(qū)域域的邊界曲線線易于用極坐坐標方程表示示(含圓弧,直線段)；(2)被積函數(shù)數(shù)表示式用極極坐標變量表表示較簡單(含,為實數(shù))。例4計算解此積分區(qū)域為區(qū)域的簡圖為圖9-2-13該區(qū)域在極坐標下下的表示形式式為小結：二重積分計算公式式直角坐標系下X—型Y—型極坐標系下作業(yè)：作業(yè)卡p23-224二重積分的應用教學目的：掌握二二重積分的幾幾何和物理方方面的應用教學重點：利用二二重積分的解解決實際問題題教學難點：二重積積分的思想如如何用于實際際問題教學內(nèi)容：定積分應用的元素素法也可推廣廣到二重積分分,使用該方法法需滿足以下下條件：1.所要計算的的某個量對于于閉區(qū)域具有有可加性(即:當閉區(qū)域分成成許多小閉區(qū)區(qū)域時,所求量相應地地分成許多部部分量,且。2.在內(nèi)任取一一個直徑充分分小的小閉區(qū)區(qū)域時,相應的部分分量可近似地地表示為,其中,稱為所求量的元元素,并記作。3.所求量可表表示成積分形形式一、曲面的面積設曲面由方程給出出,為曲面在面上的投影影區(qū)域,函數(shù)在上具有連續(xù)續(xù)偏導數(shù)和,現(xiàn)計算曲面面的面積。圖9-3-1在閉區(qū)域上任取一一直徑很小的的閉區(qū)域(它的面積也也記作),在內(nèi)取一點,對應著曲面面上一點,曲面在點處的切平平面設為。以小區(qū)域的邊邊界為準線作作母線平行于于軸的柱面,該柱面在曲曲面上截下一一小片曲面,在切平面上截截下一小片平平面,由于的直徑很很小,那一小片平平面面積近似似地等于那一一小片曲面面面積。曲面在點處的法線線向量(指向朝上的的那個)為它與軸正向所成夾夾角的方向余余弦為而所以這就是曲面的面積積元素,故即例1求球面含在柱面(()內(nèi)部的面面積。解所求曲面在面的投投影區(qū)域圖9-3-2曲面方程應取為,,則,曲面在面上的投影影區(qū)域為圖9-3-3據(jù)曲面的對稱性,,有若曲面的方程為或或,可分別將曲曲面投影到面面或面,設所得到的的投影區(qū)域分分別為或,類似地有或二、平面薄片的質質心1.平面上的質質點系的質心心設在平面上有個質質點,它們分別位位于點處,質量分別為為.由力學知道,該質點系的的質點的坐標標為,2.平面薄片的的質心設有一平面薄片,,占有面上的閉閉區(qū)域,在點處的面密密度為,假定在上連續(xù),如何確定該該薄片的質心心坐標。在閉區(qū)域上任取一一直徑很小的的閉區(qū)域,是這小閉區(qū)區(qū)域內(nèi)的一點點,由于的直徑很很小,且在上連續(xù),所以薄片中中相應于的部部分的質量近近似等于,于是靜矩元元素為又平面薄片的總質質量為從而,薄片的質心坐標為為特別地,如果薄片片是均勻的,即面密度為為常量,則這時薄片的質心稱稱為該平面薄薄片所占平面面圖形的形心心。例2設薄片所占的閉區(qū)區(qū)域為介于兩兩個圓,()之間的閉區(qū)域,且且面密度均勻勻,求此均勻薄薄片的質心(形心)。圖9-3-4解由的對稱性可知:所以三、平面薄片的轉轉動慣量1.平面質點系系對坐標軸的的轉動慣量設平面上有個質點點,它們分別位位于點處,質量分別為為。設質點系對于軸以以及對于軸的的轉動慣量依依次為2.平面薄片對對于坐標軸的的轉動慣量設有一薄片,占有有面上的閉區(qū)區(qū)域,在點處的面密密度為,假定在上連續(xù)。現(xiàn)現(xiàn)要求該薄片片對于軸、軸的轉動動慣量,。與平面薄片對坐標標軸的力矩相相類似,轉動慣量元元素為以這些元素為被積積表達式,在閉區(qū)域上積積分,便得例3求由拋物線線及直線所圍成成的均勻薄片片(面密度為常常數(shù))對于直線的轉轉動慣量。圖9-3-5解轉動慣量元素為四、平面薄片對質質點的引力設有一平面薄片,,占有面上的閉閉區(qū)域,在點處的面密密度為,假定在上連續(xù),現(xiàn)計算該薄薄片對位于軸軸上點處的單單位質量質點點的引力。在閉區(qū)域上任取一一個小的閉區(qū)區(qū)域,是內(nèi)的任一點,他的質量近近似等于,于是薄片對對質點的引力力近似值為,,引力的方向向于向量一致,其中,為引力常數(shù).于是,薄片對質點點的引力元素素在三個坐標標軸上的分量量為,,故小結：幾何應用：曲面的的面積物理應用：重心、轉轉動慣量、平平面薄片對質質點的引力作業(yè)：作業(yè)卡25第四節(jié)三重積分的的概念及其計計算法教學目的：深刻理理解三重積分分的概念、計計算方法教學重點：熟練掌掌握三重積分分的計算教學難點：計算三三重積分時坐坐標系的選擇擇教學內(nèi)容：一、三重積分的定定義設是空間閉區(qū)域上的的有界函數(shù),將任意地分劃劃成個小區(qū)域域，其中表示第第個小區(qū)域,也表示它的的體積。在每每個小區(qū)域上上任取一點,,作乘積，作和和式，以記這個小區(qū)域域直徑的最大大者,若極限存在,則稱此極限限值為函數(shù)在在區(qū)域上的三三重積分,記作,即=.其中叫體積元素。自然地,體積元素素在直角坐標標系下也可記記作成。二、三重積分的存存在定理若函數(shù)在區(qū)域上連連續(xù),則三重積分分存在。三、三重積分的物物理意義如果表示某物體在在處的質量密密度,是該物體所所占有的空間間區(qū)域,且在上連續(xù),則和式就是物物體質量的近近似值,該和式當時的的極限值就是是該物體的質質量。故=特別地,當=11時,的體積.四、三重積分的計計算法假設積分區(qū)域的形形狀如下圖所所示.在面上的投影區(qū)域為為,過上任意一點,作平行于軸的的直線穿過內(nèi)部,與邊界曲面相交不多多于兩點。亦即,的邊界曲面面可分為上、下下兩片部分曲曲面。,其中,在上連續(xù)續(xù),并且。圖9-4-1如何計算三重積分分呢?不妨先考慮特殊情情況=1,則即一般情況下,類似似地有顯然積分只是把看看作的函數(shù)在在區(qū)間上對求定積分,因此,其結果應是是的函數(shù),記那么如上圖所示,區(qū)區(qū)域可表示為為從而綜上討論,若積積分區(qū)域可表表示成則這就是三重積分的的計算公式,它將三重積積分化成先對對積分變量,,次對,最后對的三次次積分。如果平行于軸且穿穿過內(nèi)部的直直線與邊界曲曲面的交點多多于兩個,可仿照二重重積分計算中中所采用的方方法,將剖分成若干干個部分,(如),使在上的三重重積分化為各各部分區(qū)域()上的三重積積分,當然各部分分區(qū)域()應適合對對區(qū)域的要求求。例1計算,其中為球球面及三坐標標面所圍成的的位于第一卦卦限的立體。解(1)畫出立體體的簡圖圖9-4-2(2)找出立體體在某坐標面面上的投影區(qū)區(qū)域并畫出簡簡圖在面上的投影區(qū)域為為(3)確定另一一積分變量的的變化范圍在內(nèi)任取一點,作一一過此點且平平行于軸的直直線穿過區(qū)域域,則此直線與與邊界曲面的的兩交點之豎豎坐標即為的的變化范圍。即即(4)選擇一種種次序,化三重積分分為三次積分分小結：三重積分的定義和和計算（化三三重積分為三三次積分）直角坐標系系下的體積元元素作業(yè)：作業(yè)卡p26-227第五節(jié)利用柱面坐坐標和球面坐坐標計算三重重積分教學目的：掌握三三重積分的計計算教學重點：熟練掌掌握三重積分分在柱面坐標標和球面坐標標下的計算教學難點：計算時時選擇坐標系系教學內(nèi)容：對于某些三重積分分,由于積分區(qū)區(qū)域和被積函函數(shù)的特點,往往要利用用柱面坐標和和球面坐標來來計算。一、利用柱面坐標標計算三重積積分1.柱面坐標設為空間的一點,該該點在面上的的投影為,點的極坐標標為,則三個數(shù)稱作作點的柱面坐坐標。圖9-5-1規(guī)定的取值范圍是是，，柱面坐標系的三組組坐標面分別別為=常數(shù),即以軸為軸的圓柱柱面；=常數(shù),即過軸的半平面；；=常數(shù),即與面平行的平面面。點的直角坐標與柱面面坐標之間有有關系式(1))2.三重積分在柱面坐坐標系中的計計算公式圖9-5-2用三組坐標面=常常數(shù),=常數(shù),=常數(shù),將分割成許多多小區(qū)域,除了含的邊界界點的一些不不規(guī)則小區(qū)域域外,這種小閉區(qū)區(qū)域都是柱體體?？疾煊筛魅〉梦⑿⌒≡隽克傻牡闹w,該柱體是底底面積為,高為的柱體,其體積為這便便是柱面坐標標系下的體積積元素,并注意到(1)式有(2)(2)式就是三重重積分由直角角坐標變量變變換成柱面坐坐標變量的計計算公式。(2)式右端的三三重積分計算算,也可化為關關于積分變量量的三次積分,其積分限要要由在中的變化情情況來確定。3.用柱面坐標標表示積分區(qū)區(qū)域的方法(1)找出在面上上的投影區(qū)域域,并用極坐坐標變量表示示之；(2)在內(nèi)任取一點點,過此點作作平行于軸的的直線穿過區(qū)區(qū)域,此直線與邊界界曲面的兩交交點之豎坐標標(將此豎坐標標表示成的函函數(shù))即為的變化范范圍。例1用柱坐標計算三重重積分,其中是球體位于第第一卦限內(nèi)的的部分。解二、利用球坐標計計算三重積分分1.球面坐標如圖所示,空間任任意一點也可可用三個數(shù)唯唯一表示。圖9-5-3其中：為原點到點的距離離；為有向線段與軸正正向所成夾角角；為從正軸來看自軸軸依逆時針方方向轉到有向向線段的角度,而點是點在面上的投影影點。規(guī)定的取值范圍為為,,不難看出,點的直直角坐標與球球面坐標間的的關系為(3))2.球面坐標系系的特點=常數(shù),是以原點為心的球球