期中前三章復習-重積分課第十章

2023/2/71第十章一元函數積分學多元函數積分學重積分曲線積分曲面積分重積分2023/2/72三、二重積分的性質第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計算二重積分的概念與性質

第十章2023/2/73解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”

2023/2/741)“大化小”用任意曲線網分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體2023/2/754)“取極限”令2023/2/762.平面薄片的質量

有一個平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計算該薄片的質量M.度為設D的面積為,則若非常數,仍可用其面密

“大化小,常代變,近似和,求極限”

解決.1)“大化小”用任意曲線網分D為n個小區(qū)域相應把薄片也分為小區(qū)域.2023/2/772)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質量2023/2/78兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:

平面薄片的質量:2023/2/79二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數,2023/2/710引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,

因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃

記作2023/2/711二重積分存在定理：二重積分的幾何意義：當被積函數大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．因此，二重積分是在這些部分區(qū)域上的曲頂柱體體積的代數和．2023/2/712三、二重積分的性質(k

為常數)為D的面積,則

2023/2/713特別,由于則5.若在D上6.設D的面積為,則有2023/2/7147.(二重積分的中值定理)證:

由性質6可知,由連續(xù)函數介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此2023/2/715例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上

2023/2/716例2.判斷積分的正負號.解:

分積分域為則原式=舍去此項2023/2/717例3.估計下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質5即:1.96I2D2023/2/718

設函數D位于x軸上方的部分為D1,

當區(qū)域關于y軸對稱,函數關于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關于x軸對稱,則則有類似結果.即域D中點的y坐標對稱,（關于變量y為偶）當區(qū)域關于y=x對稱時,則2023/2/719在第一象限部分,為上半圓，則有注：2023/2/720四、曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的2023/2/721同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算2023/2/722例4.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為2023/2/723內容小結1.二重積分的定義2.二重積分的性質(與定積分性質相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法2023/2/724第二節(jié)二重積分的計算法（1）在直角坐標系下計算小結2023/2/725如果積分區(qū)域為：其中函數、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分［X－型］2023/2/726應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得2023/2/727如果積分區(qū)域為：［Y－型］2023/2/728

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.2023/2/729解積分區(qū)域如圖2023/2/730解2023/2/731解2023/2/732解2023/2/733二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結［Y－型］［X－型］2023/2/734第二節(jié)二重積分的計算法（2）在極坐標系下計算小結2023/2/735一、利用極坐標系計算二重積分2023/2/736二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖(極點在區(qū)域以外)2023/2/737二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖(極點在區(qū)域邊界上)2023/2/738極坐標系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖（極點在區(qū)域內部）2023/2/739解2023/2/740解2023/2/741解2023/2/7422023/2/7432023/2/744解2023/2/745解2023/2/746解2023/2/7472023/2/748二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意正確使用對稱性）二、小結2023/2/749第三節(jié)三重積分2023/2/750一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用引例:設在空間有限閉區(qū)域內分布著某種不均勻的物質,求分布在內的物質的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質量

M.密度函數為機動目錄上頁下頁返回2023/2/751定義.

設存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數在上的三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似.性質:例如下列“乘中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/752二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)先假設連續(xù)函數并將它看作某物體通過計算該物體的質量引出下列各計算最后,推廣到一般可積函數的積分計算.的密度函數,方法:機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/753方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質量為細長柱體微元的質量為記作機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/754投影法設區(qū)域利用投影法結果,把二重積分化成二次積分即得:機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/755方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質量為該物體的質量為記作機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/756小結:三重積分的計算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”具體計算時應根據被積函數及積分域的特點靈活選擇.機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/757解2023/2/7582023/2/759解如圖，2023/2/7602023/2/7612023/2/7622023/2/763例5.

計算三重積分解:

用“先二后一”機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/764解如圖,:xzD

122￡+zx,

將W投影到zox平面得

先對y積分，再求xzD上二重積分,2023/2/765òòò----=112221zxDdydxdzxyxz原式2023/2/7662.利用柱坐標計算三重積分

就稱為點M

的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系:坐標面分別為圓柱面半平面平面機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/767如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數用柱面坐標表示時變量減少.機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/768解知交線為2023/2/7692023/2/770解所圍成的立體如圖，2023/2/771所圍成立體的投影區(qū)域如圖，2023/2/7722023/2/773其中為由例9.計算三重積分所圍解:

在柱面坐標系下及平面柱面成半圓柱體.機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/774例10.

計算三重積分解:

在柱面坐標系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/775

例11.計算其中解:利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/776利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：１、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；２、被積函數在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的奇偶性．2023/2/777解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數是的奇函數,2023/2/778解2023/2/7792023/2/7802023/2/781內容小結積分區(qū)域多由坐標面被積函數形式簡潔,或坐標系體積元素適用情況直角坐標系柱面坐標系變量減少.圍成;機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/782一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機動目錄上頁下頁返回結束第四節(jié)重積分的應用2023/2/783任一點的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xoy

面上的投影為(記所圍域為D)在點例1.求曲面機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/784二、曲面的面積設光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/785故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/786若光滑曲面方程為則有機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/787例3.計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/788三、質心平面質點系的質心坐標2023/2/789平面薄片的質心坐標2023/2/790空間立體的質心坐標2023/2/791四、轉動慣量平面薄片的轉動慣量2023/2/792空間立體的轉動慣量2023/2/793習題課一、重積分計算的基本方法二、重積分計算的基本技巧三、重積分的應用機動目錄上頁下頁返回結束

第十章重積分的計算及應用2023/2/794一、重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標系使積分域多為坐標面(線)圍成;被積函數用此坐標表示簡潔.2.選擇易計算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內到外:

面、線、點)3.掌握確定積分限的方法——

累次積分法機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/795二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性簡化計算3.消去被積函數絕對值符號機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/796三、重積分的應用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心證明某些結論等2.其它方面機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/7971計算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用極坐標原式機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/7982.計算積分其中D由所圍成

.解:如圖所示連續(xù),所以機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/7993.

計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/7100(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得機動目錄上頁下頁返回結束2023/2/71014.計算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形