期中前三章復(fù)習(xí)-重積分課第十章

2023/2/71第十章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重積分2023/2/72三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計(jì)算二重積分的概念與性質(zhì)

第十章2023/2/73解法:

類(lèi)似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”

2023/2/741)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體2023/2/754)“取極限”令2023/2/762.平面薄片的質(zhì)量

有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密

“大化小,常代變,近似和,求極限”

解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.2023/2/772)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量2023/2/78兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)解決問(wèn)題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:

平面薄片的質(zhì)量:2023/2/79二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),2023/2/710引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,

因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃

記作2023/2/711二重積分存在定理：二重積分的幾何意義：當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．因此，二重積分是在這些部分區(qū)域上的曲頂柱體體積的代數(shù)和．2023/2/712三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))為D的面積,則

2023/2/713特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有2023/2/7147.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此2023/2/715例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上

2023/2/716例2.判斷積分的正負(fù)號(hào).解:

分積分域?yàn)閯t原式=舍去此項(xiàng)2023/2/717例3.估計(jì)下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D2023/2/718

設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,

當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時(shí),仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則則有類(lèi)似結(jié)果.即域D中點(diǎn)的y坐標(biāo)對(duì)稱(chēng),（關(guān)于變量y為偶）當(dāng)區(qū)域關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)時(shí),則2023/2/719在第一象限部分,為上半圓，則有注：2023/2/720四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的2023/2/721同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算2023/2/722例4.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱(chēng)性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為2023/2/723內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法2023/2/724第二節(jié)二重積分的計(jì)算法（1）在直角坐標(biāo)系下計(jì)算小結(jié)2023/2/725如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分［X－型］2023/2/726應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得2023/2/727如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］2023/2/728

X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.2023/2/729解積分區(qū)域如圖2023/2/730解2023/2/731解2023/2/732解2023/2/733二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結(jié)［Y－型］［X－型］2023/2/734第二節(jié)二重積分的計(jì)算法（2）在極坐標(biāo)系下計(jì)算小結(jié)2023/2/735一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分2023/2/736二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖(極點(diǎn)在區(qū)域以外)2023/2/737二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖(極點(diǎn)在區(qū)域邊界上)2023/2/738極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖（極點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)部）2023/2/739解2023/2/740解2023/2/741解2023/2/7422023/2/7432023/2/744解2023/2/745解2023/2/746解2023/2/7472023/2/748二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中注意正確使用對(duì)稱(chēng)性）二、小結(jié)2023/2/749第三節(jié)三重積分2023/2/750一、三重積分的概念

類(lèi)似二重積分解決問(wèn)題的思想,采用引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回2023/2/751定義.

設(shè)存在,稱(chēng)為體積元素,

若對(duì)作任意分割:任意取點(diǎn)則稱(chēng)此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):例如下列“乘中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/752二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過(guò)計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.的密度函數(shù),方法:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/753方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/754投影法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/755方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/756小結(jié):三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/757解2023/2/7582023/2/759解如圖，2023/2/7602023/2/7612023/2/7622023/2/763例5.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/764解如圖,:xzD

122￡+zx,

將W投影到zox平面得

先對(duì)y積分，再求xzD上二重積分,2023/2/765òòò----=112221zxDdydxdzxyxz原式2023/2/7662.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱(chēng)為點(diǎn)M

的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/767如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量減少.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/768解知交線為2023/2/7692023/2/770解所圍成的立體如圖，2023/2/771所圍成立體的投影區(qū)域如圖，2023/2/7722023/2/773其中為由例9.計(jì)算三重積分所圍解:

在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/774例10.

計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/775

例11.計(jì)算其中解:利用對(duì)稱(chēng)性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/776利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算使用對(duì)稱(chēng)性時(shí)應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性．2023/2/777解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是的奇函數(shù),2023/2/778解2023/2/7792023/2/7802023/2/781內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系變量減少.圍成;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/782一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四節(jié)重積分的應(yīng)用2023/2/783任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xoy

面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例1.求曲面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/784二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱(chēng)為面積元素)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/785故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/786若光滑曲面方程為則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/787例3.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/788三、質(zhì)心平面質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)2023/2/789平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)2023/2/790空間立體的質(zhì)心坐標(biāo)2023/2/791四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2023/2/792空間立體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2023/2/793習(xí)題課一、重積分計(jì)算的基本方法二、重積分計(jì)算的基本技巧三、重積分的應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

第十章重積分的計(jì)算及應(yīng)用2023/2/794一、重積分計(jì)算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔.2.選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內(nèi)到外:

面、線、點(diǎn))3.掌握確定積分限的方法——

累次積分法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/795二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱(chēng)性1.交換積分順序的方法2.利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/796三、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心證明某些結(jié)論等2.其它方面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/7971計(jì)算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用極坐標(biāo)原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/7982.計(jì)算積分其中D由所圍成

.解:如圖所示連續(xù),所以機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/7993.

計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對(duì)稱(chēng)性.圍成.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/7100(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對(duì)稱(chēng)性,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/71014.計(jì)算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形