第五章-剛體力學(xué)

第五章剛體力學(xué)1剛體運(yùn)動(dòng)概述：剛體：在任何情況下形狀和大小都不變的物體。即任意兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系（理想模型）。

剛體——一種特殊質(zhì)點(diǎn)系

質(zhì)點(diǎn)系

質(zhì)點(diǎn)

剛體2用以確定一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)。自由剛體的自由度數(shù)n=6非自由剛體的自由度數(shù)小于6

物體系運(yùn)動(dòng)自由度n，決定了其獨(dú)立的微分方程組的數(shù)目有n個(gè)，其中每個(gè)方程均為二階微分方程.若運(yùn)動(dòng)被限制或被約束,其自由度將減少。多一個(gè)約束條件,就減少一個(gè)自由度。ABC二、剛體的自由度3三、剛體運(yùn)動(dòng)的幾種形式1.平動(dòng)（平移）

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持方向不變。

剛體的任意運(yùn)動(dòng)都可視為某一點(diǎn)的平動(dòng)和繞通過(guò)該點(diǎn)的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有的點(diǎn)具有相同的位移、速度和加速度。－－剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律即代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。研究方法：用質(zhì)心代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。可視為質(zhì)點(diǎn)。（n=3）42.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。O特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有的點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度?！?jiǎng)傮w上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律(n=1)5

剛體上各點(diǎn)都平行于某一固定平面的運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)，又稱為剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)。3平面平行運(yùn)動(dòng)可以分解為：剛體隨質(zhì)心的平動(dòng)（i=2）和繞質(zhì)心垂直于運(yùn)動(dòng)平面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（i=1）如：車輪直線滾動(dòng)64定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：

運(yùn)動(dòng)中剛體上只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，整個(gè)剛體繞過(guò)該固定點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線轉(zhuǎn)動(dòng).如：陀螺的運(yùn)動(dòng)75一般運(yùn)動(dòng)剛體不受任何限制的的任意運(yùn)動(dòng),稱為剛體的一般運(yùn)動(dòng)。它可視為以下兩種剛體的基本運(yùn)動(dòng)的疊加：

繞通過(guò)基點(diǎn)O的瞬時(shí)軸的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)

隨基點(diǎn)O（可任選）的平動(dòng)基點(diǎn)（O和O

′）選取不同，平動(dòng)不同，轉(zhuǎn)動(dòng)也可以不同，與基點(diǎn)的選取有關(guān)如圖示的兩種運(yùn)動(dòng)分解：8剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+9五、歐拉角1011121314151617181920212223證加241.剛體內(nèi)任意點(diǎn)的速度剛體內(nèi)任意點(diǎn)的速度和加速度252.剛體內(nèi)任意點(diǎn)的加速度上式是處理剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)，對(duì)于各種具體的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，只需要相應(yīng)的做出限制。26（1）平動(dòng)：（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：取基點(diǎn)A位于轉(zhuǎn)軸上27（3）平面平行運(yùn)動(dòng)（4）定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：以定點(diǎn)為基點(diǎn)，并取為坐標(biāo)原點(diǎn)282930六、瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心上式是否總成立？?jī)蛇呌脴?biāo)乘能否在剛體上或與之剛性聯(lián)結(jié)的地方，找到速度為零的點(diǎn)？31平面平行運(yùn)動(dòng)總能找到瞬心。兩邊矢乘32所以，速度為0的點(diǎn)的位置矢量為用分量形式寫(xiě)出則得速度為零的點(diǎn)的坐標(biāo)33與幾何法找瞬心34§5.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、剛體的動(dòng)量矩

mi對(duì)o點(diǎn)的動(dòng)量矩：剛體對(duì)o點(diǎn)的動(dòng)量矩352.坐標(biāo)表示36統(tǒng)稱慣量系數(shù)37I慣量張量描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性特征的物理量。矩陣形式矩陣形式矩陣形式38慣量主軸與方向一般不一致，但總能找到一些特殊的方向，剛體繞通過(guò)定點(diǎn)沿這些方向的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩方向一致。這些軸稱為慣量主軸。慣量主軸與矩陣元的關(guān)系設(shè)x軸為慣量主軸繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣量主軸定義39充要條件同理y軸為慣量主軸時(shí)Z軸為慣量主軸時(shí)與慣量主軸相關(guān)的慣量積（非對(duì)角矩陣元）為零40均勻剛體的慣量主軸1.對(duì)稱軸設(shè)x為對(duì)稱軸，剛體上任意點(diǎn)（x,y,z）對(duì)稱點(diǎn)（x,-y,-z）對(duì)稱軸是慣量主軸。2.對(duì)稱軸的法線設(shè)yz面是通過(guò)定點(diǎn)的對(duì)稱面，x軸是法線，剛體上任意點(diǎn)（x,y,z）對(duì)稱點(diǎn)（-x,y,z）對(duì)稱面的法線也是慣量主軸41四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性轉(zhuǎn)動(dòng)張量度量張量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性轉(zhuǎn)動(dòng)慣量度量標(biāo)量剛體對(duì)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

是i質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離對(duì)連續(xù)分布42討論此均質(zhì)剛體繞哪個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？為什么？12決定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素：剛體的質(zhì)量分布轉(zhuǎn)軸的位置注意43記?。±}1.質(zhì)量連續(xù)分布:

若棒繞一端o轉(zhuǎn)動(dòng)，由平行軸定理，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

解

o

(1)均質(zhì)細(xì)直棒(質(zhì)量m、長(zhǎng)l)，求通過(guò)質(zhì)心C且垂直于棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Cxxodxdm44R

(3)均質(zhì)圓盤(pán)(m,R)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:dmrdr

(2)均質(zhì)細(xì)圓環(huán)(m,R)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:

45平行軸定理若剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc，則剛體對(duì)與該軸相距為d的平行軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz

是mR如圖所示：46垂直軸定理o對(duì)于薄板剛體，繞垂直于板面的軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于位于板面內(nèi)與Oz軸交于一點(diǎn)的兩相互正交軸Ox和Oy的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。例如：薄盤(pán)繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4748轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可由對(duì)定點(diǎn)O的慣量矩陣求得角速度繞轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量49若力學(xué)體系有幾個(gè)部分組成，整體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等與各部分對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。即組合定理

例如：有質(zhì)量為,長(zhǎng)為的均質(zhì)細(xì)桿和質(zhì)量為，半徑為的勻質(zhì)球體組成的剛體，對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為50知道了剛體對(duì)某定點(diǎn)的慣量張量，就可求出通過(guò)該點(diǎn)的任一軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量51五、剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能是剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和按柯尼希定理，動(dòng)能分解為隨質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能之和先一般討論剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)動(dòng)能的表達(dá)式52是剛體對(duì)通過(guò)定點(diǎn)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量53如果坐標(biāo)軸是關(guān)于定點(diǎn)的慣量主軸，慣量矩陣是對(duì)角化的剛體對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的表達(dá)式也應(yīng)具有相同的形式54剛體一般運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能平動(dòng)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，平面平行運(yùn)動(dòng)55565758595.3節(jié)見(jiàn)課本136頁(yè)60剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)量剛體上A.B兩點(diǎn)被約束不動(dòng)剛體繞A.B軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度變量角速度xyzBAFbFa對(duì)原點(diǎn)o剛體角動(dòng)量o61剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)能：62剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本方程：1.質(zhì)心定理：2.角動(dòng)量定理63轉(zhuǎn)軸方向是固定的，約束力與z軸相交，與之相對(duì)應(yīng)的力矩沒(méi)有z方向的分量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有一個(gè)自由度，一個(gè)方程，其它5個(gè)方程，可以用來(lái)確定定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體約束力。與牛頓第二定律相比，地位相當(dāng)。64§5.7剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)

一、平面平行運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

1.運(yùn)動(dòng)特征1)其上任一點(diǎn)始終在平行于某一固定平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，剛體上垂直該固定平面的直線上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況相同。因此，平行于固定平面的某一截面，即代表剛體。2）剛體在內(nèi)，由，可由兩步完成

隨A點(diǎn)的純平動(dòng)，，基點(diǎn)位移均為

ABA’B’θⅡⅡ’Ⅰ再繞A’作純平動(dòng)Ⅱ’→Ⅱ，

可見(jiàn)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)可分成=任意點(diǎn)的平動(dòng)+繞該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)65yxOrOCrr’y’jx’iθ平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)1.

運(yùn)動(dòng)微分方程以運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，基點(diǎn)可任意選取，以動(dòng)力學(xué)選質(zhì)心為基點(diǎn)較宜。取過(guò)質(zhì)心的薄片代表剛體（0-xy為靜系，C-x’y’為剛體系）

(1)-(3)為剛體平面平行運(yùn)動(dòng)微分方程，三個(gè)方程可以確定661.剛體運(yùn)