（課標(biāo)專用）天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.1 等差數(shù)列與等比數(shù)列

專題四

數(shù)列整理ppt-2-整理ppt4.1等差數(shù)列與等比數(shù)列整理ppt-4-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量的求解【例1】(1)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=(

)A.-12 B.-10 C.10 D.12(2)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于

.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為(

)BD整理ppt-5-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四分析推理(1)根據(jù)已知,直接設(shè)公差d,然后根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式表示已知,列出方程求解,然后再代入通項(xiàng)公式求項(xiàng);(2)首先根據(jù)已知確定十二平均律中單音的頻率依次排列構(gòu)成等比數(shù)列,然后確定公差和首項(xiàng),代入通項(xiàng)公式即可求項(xiàng).解析:(1)因?yàn)?S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.設(shè)公差為d,則3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.故選D.整理ppt-6-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an與Sn這五個(gè)量.如果已知其中的三個(gè),就可以求其余的兩個(gè).其基本解題過程為(1)設(shè)基本量:首項(xiàng)a1和公差d(公比q);(2)列、解方程組:把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組),然后求解,注意整體代換,以減少運(yùn)算量.整理ppt-7-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四即時(shí)鞏固1(1)(2019遼寧丹東高三質(zhì)量測試(一))我國明代偉大數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中常以詩歌的形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,其中有一首“竹筒容米”問題:“家有九節(jié)竹一莖,為因盛米不均平,下頭三節(jié)三升九,上梢四節(jié)貯三升,唯有中間兩節(jié)竹,要將米數(shù)次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”意思是:九節(jié)竹的盛米容積成等差數(shù)列,其中的“三升九”指3.9升,則九節(jié)竹的中間一節(jié)的盛米容積為(

)A.0.9升 B.1升

C.1.1升 D.2.1升(2)(2019山東聊城一模)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若2S3=S4+S5,a1=1,則a6=(

)A.1 B.32

C.64

D.-32BD整理ppt-8-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四即a2+5d+a2+6d=2a2+11d=2.6+11d=1.5,解得d=-0.1,故a5=a2+3d=1.3-0.3=1(升).故選B.(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,顯然q≠1.∵2S3=S4+S5,a1=1,化簡得q2+q-2=0,解得q=-2.則a6=(-2)5=-32.故選D.整理ppt-9-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定與證明【例2】(1)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d.對任意列{cn}是等差數(shù)列.(2)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.①求{an}的通項(xiàng)公式;②求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.分析推理(1)首先根據(jù)已知用an表示bn,進(jìn)而表示出cn,然后檢驗(yàn)cn+1-cn是否為常數(shù)即可證明;也可以先寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,再根據(jù)已知求出數(shù)列

的通項(xiàng)公式進(jìn)行判斷.(2)①首先根據(jù)已知列出方程組求出首項(xiàng)與公比,進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;②根據(jù)①問,求出Sn,然后利用等差中項(xiàng)檢驗(yàn)三項(xiàng)是否構(gòu)成等差數(shù)列.整理ppt-10-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以{cn}是等差數(shù)列.方法二(通項(xiàng)法)

由已知可知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)為a1,則an=a1+(n-1)d.由已知,d為常數(shù),所以數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為2d(a1+d),公差為2d2的等差數(shù)列.整理ppt-11-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.整理ppt-12-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四該題中的(2)中,是否對所有的等比數(shù)列“Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列”都成立?如果成立,請給出證明;如果不成立,請求出成立的條件.解:并不是對所有的等比數(shù)列“Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列”都成立.設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q.(1)當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1.此時(shí)Sn+1+Sn+2=(n+1)a1+(n+2)a1=(2n+3)a1.由Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列可得,Sn+1+Sn+2=2Sn,即(2n+3)a1=2na1.因?yàn)閍1≠0,顯然該等式不成立,所以此時(shí)Sn+1,Sn,Sn+2不能構(gòu)成等差數(shù)列.整理ppt-13-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四整理得qn+2+qn+1-2qn=0,即q2+q-2=0,解得q=1(舍),q=-2.所以q=-2.綜上,只有公比q=-2的等比數(shù)列{an},上述結(jié)論才能成立.整理ppt-14-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四規(guī)律方法1.證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法:(1)利用定義,證明an+1-an(n∈N*)為常數(shù);(2)利用等差中項(xiàng),證明2an=an-1+an+1(n≥2).2.證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法:整理ppt-15-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四即時(shí)鞏固2(1)(2019天津河北區(qū)二模)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),設(shè)bn=

.①求b1,b2,b3的值;②證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.(2)(2019河北唐山一模)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=2an+n-1,記bn=an+n.①求b1,b2,b3;②判斷{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由;③求{an}的前n項(xiàng)和Sn.整理ppt-16-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四解:(1)①將n=1代入得3a1=2a2-12.又a1=2,所以a2=9.將n=2代入得4a2=3a3-24,所以a3=20.②證明:將(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2)兩邊同時(shí)除以(n+1)(n+2),得

整理ppt-17-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四(2)①因?yàn)閍1=1,所以a2=2a1+0=2,a3=2a2+2-1=5,從而b1=2,b2=a2+2=4,b3=a3+3=8.②{bn}是等比數(shù)列.理由如下:因?yàn)閍n+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),所以{bn}是等比數(shù)列,且首項(xiàng)b1=2,公比為2.③由②知bn=2n,故an=bn-n=2n-n.整理ppt-18-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例3】(1)(2019陜西榆林三模)在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足若a3+S5=12,a4+S7=24,則a5+S9=(

)A.24 B.32 C.40 D.72分析推理(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項(xiàng)和公式,將S5,S7,S9用a3,a4,a5表示,然后再結(jié)合已知和所求,利用等差中項(xiàng)求解;(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合已知將所求代數(shù)式進(jìn)行化簡,然后整體代入已知求值即可.C整理ppt-19-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四解析:(1)∵a3+S5=6a3=12,a4+S7=8a4=24,∴a3=2,a4=3,∴a5=4,∴a5+S9=10a5=40,故選C.(2)(方法一)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,整理ppt-20-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四整理ppt-21-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四規(guī)律方法等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān),解題需多注意觀察,發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系,加以應(yīng)用.(1)等差數(shù)列的性質(zhì):①an=am+(n-m)d(n,m∈N*);②若m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*);③設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數(shù)列.(2)等比數(shù)列的性質(zhì):①an=amqn-m(m,n∈N*);②若m+n=p+q,則am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);③若等比數(shù)列{an}的公比不為-1,前n項(xiàng)和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也成等比數(shù)列.整理ppt-22-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四即時(shí)鞏固3(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-2018,A.-2016 B.-2018 C.2018 D.2016(2)(2019四川南充第二次高考適應(yīng)性考試)已知等比數(shù)列{an}中AC整理ppt-23-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四所以S2=2×(-2017)=-4034.所以a2=S2-a1=-4034-(-2018)=-2016.故選A.(2)因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中的各項(xiàng)都是正數(shù),設(shè)公比為q,即a1q2=a1+2a1q.因?yàn)閍1≠0,所以q2-2q-1=0,整理ppt-24-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【例4】設(shè){an}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*),①求Tn;分析推理(1)設(shè)等比數(shù)列的公比以及等差數(shù)列的公差,然后根據(jù)已知建立兩者的方程求解即可.(2)①根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出Sn,根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,利用分組求和法求解Tn;②根據(jù)前面所求化簡證明.整理ppt-25-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四(1)解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因?yàn)閝>0,可得q=2,故an=2n-1.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,從而b1=1,d=1,故bn=n.所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n.整理ppt-26-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四規(guī)律方法等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題,涉及的知識面很寬,題目的變化也很多,但是只要抓住基本量a1,d(q),充分運(yùn)用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,合理運(yùn)用相關(guān)知識,就能解決這類問題.整理ppt-27-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四即時(shí)鞏固4(1)(2019河北邯鄲一模)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a7=5,S5=-55,則nSn的最小值為(

)A.-343 B.-324 C.-320 D.-243(2)(2019廣東六校第三次聯(lián)考)設(shè)數(shù)列bn=ancos的前n項(xiàng)和為Sn,已知S2017=5710,S2018=4030,若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則S2019=

.

A666

整理ppt-28-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四∴nSn=2n3-21n2.設(shè)f(x)=2x3-21x2(x>0),f'(x)=6x(x-7),當(dāng)0<x<7時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>7時(shí),f'(x)>0,故nSn的最小值為f(7)=-343.故選A.整理ppt-29-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三突破點(diǎn)四(2)設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,

由S2017=5710,S2018=4030,

則an=a2018+(n-2018)×4=4n-4712,可得S2019=4030-a2019=4030-(4×2019-4712)=666.故答案為666.整理ppt-30-核心歸納預(yù)測演練整理ppt-31-核心歸納預(yù)測演練1.(2019安徽安慶二模)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a2+a4+a6=12,則S7=(

)A.20 B.28 C.36 D.4B解析:在等差數(shù)列{an}中,a2+a4+a6=3a4=12,a4=4,整理ppt-32-核心歸納預(yù)測演練2.已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(

)A.21 B.42 C.63 D.84B∴a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.整理ppt-33-核心歸納預(yù)測演練3.(2019廣東潮州質(zhì)檢)在等比數(shù)列{an}中,已知a4=8a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,則{an}的前5項(xiàng)和為(

)A.31 B.62 C.64 D.128B解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a4=8a1,∴a1q3=8a1,a1≠0,解得q=2.又a1,a2+1,