第五章微分方程模型

第五章微分方程模型5.1傳染病模型5.2經(jīng)濟增長模型5.3

正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除5.5香煙過濾嘴的作用5.6人口預(yù)測和控制5.7煙霧的擴散與消失5.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規(guī)律

預(yù)報對象特征的未來性態(tài)

研究控制對象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程經(jīng)濟增長理論是古老而有時髦且備受爭議的研究領(lǐng)域之一。早在18世紀，古典經(jīng)濟學(xué)家Adam?Smith最早認識到經(jīng)濟增長的動力在于勞動分工、資本積累和技術(shù)進步，Rechardo發(fā)現(xiàn)了規(guī)模報酬遞減，像ThomasMalthus,FrankRamrey,AllynYonug等都對經(jīng)濟增長有所貢獻。新古典經(jīng)濟學(xué)的基礎(chǔ)是Solow（1956）和Swan（1956），其模型描述了完全競爭的經(jīng)濟，產(chǎn)出的增長對應(yīng)于資本和勞動投入的增長，其生產(chǎn)函數(shù)與儲蓄率不變的假設(shè)相結(jié)合，是一個很簡單的一般均衡模型。但這些模型與各國的經(jīng)濟增長現(xiàn)實不符合。在50、60年代，Cass和Koopmans（1965）引入Ramey的消費者最優(yōu)化分析理論，從而使儲蓄率內(nèi)生化，但這并不能改變?nèi)司a(chǎn)出增長率對外生技術(shù)進步的依賴。70年代，經(jīng)濟增長理論處于停滯階段。80年代，Romer（1986）和Lucas（1988）將R&D和不完全競爭引入模型，使經(jīng)濟增長理論出現(xiàn)新的高潮。5.2經(jīng)濟增長模型生產(chǎn)函數(shù)模型是經(jīng)濟增長分析的有力工具，所以，隨著增長理論研究的深入，生產(chǎn)函數(shù)模型的新成果也不斷出現(xiàn)（直觀上函數(shù)的結(jié)構(gòu)也越來越復(fù)雜），其應(yīng)用更是呈現(xiàn)長盛不衰的局面。從20年代末，美國數(shù)學(xué)家CharlesCobb和經(jīng)濟學(xué)家PaulDauglas提出了生產(chǎn)函數(shù)這一名詞，并用1899-1922年的數(shù)據(jù)資料，導(dǎo)出了著名的Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)。

生產(chǎn)函數(shù):描述生產(chǎn)過程中投入的生產(chǎn)要素的某種組合同它可能的最大產(chǎn)出量之間的依存關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式.生產(chǎn)函數(shù)從形式上可以分成四種：Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型(Cobb&Douglas,1928）、可變替代彈性VES生產(chǎn)函數(shù)模型（Sato,1967）不變替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)模型（Solow，1960；Arrow，1961）超越對數(shù)Translog生產(chǎn)函數(shù)模型（Christensan和Jorgenson，1973）。其中，C-D模型是受約束的CES模型和VES模型，而CES模型和VES模型又是受約束的TL模型。這四種模型中，C-D生產(chǎn)函數(shù)應(yīng)用最廣泛。增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟增加投資，增加勞動力，提高技術(shù)，對經(jīng)濟增長的促進作用建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)系研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長1.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值Q(t)資金K(t)勞動力L(t)技術(shù)f(t)=f0F為待定函數(shù)模型假設(shè)靜態(tài)模型每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的投資z隨著y的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)含義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)F為待定函數(shù)QK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值~資金在產(chǎn)值中的份額1-~勞動力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1.Douglas生產(chǎn)函數(shù)w,r,K/L求資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金)，使效益S最大資金和勞動力創(chuàng)造的效益資金來自貸款，利率r勞動力付工資w2）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）3)經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長的條件(動態(tài)模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長,K(t),L(t)應(yīng)滿足的條件模型假設(shè)

投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴大再生產(chǎn))

勞動力相對增長率為常數(shù)Bernoulli方程產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>03)經(jīng)濟增長的條件勞動力增長率小于初始投資增長率每個勞動力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt>03)經(jīng)濟增長的條件關(guān)于資本與經(jīng)濟增長的實證研究，國外的經(jīng)濟學(xué)家就儲蓄的使用效率問題在美國、德國和日本等主要幾個工業(yè)化國家進行了一個比較研究，結(jié)果表明美國比日本和德國平均高出三分之一，這主要是由于美國資本市場比較發(fā)達，銀行體系運行效率高。新古典增長模型（Solow-Swan模型）認為資本收益率遞減會最終導(dǎo)致收斂，即落后地區(qū)可以利用較高的資本報酬率趕上先進地區(qū)；而內(nèi)生增長理論（Romer,1986）認為知識資本對一般消費品的生產(chǎn)具有遞增效應(yīng),而且“干中學(xué)（LearningbyDoing）”的知識外溢產(chǎn)生了規(guī)模經(jīng)濟，因此人力資本存量較高的國家可能在長期內(nèi)保持比較高的增長率。全球高級經(jīng)濟學(xué)家多米尼克·威爾遜(DominicWilson)通過研究指出中國經(jīng)濟總量將在2015年超日本2039年超美國

5.1傳染病模型問題

傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作問題的提出：醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個民族或地區(qū)，當某種傳染病流傳時，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個常數(shù)。即既非所有人都會得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾病）的波及人數(shù)不會相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報傳染病高潮到來的時刻預(yù)防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進行分析si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計降低s0提高r0提高閾值1/降低(=/),群體免疫模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/=問題：

兩軍對壘，現(xiàn)甲軍有m個士兵，乙軍有n個士兵，試計算戰(zhàn)斗過程中雙方的死亡情況以及最后哪一方失?。?.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭的勝負很復(fù)雜！問題太模糊！在第一次世界大戰(zhàn)期間，F(xiàn)·W蘭徹斯特投身于作戰(zhàn)模型的研究，他建立了一些可以從中得到交戰(zhàn)結(jié)果的數(shù)學(xué)模型，并得到了一個很重要的“蘭徹斯特平方定律”：作戰(zhàn)部隊的實力同投入戰(zhàn)斗的戰(zhàn)士人數(shù)的平方成正比。對于一次局部戰(zhàn)斗，有些因素可以不考慮，如氣候，后勤供應(yīng)，士氣的高低，而有些因素我們把雙方看成是相同的，如武器配備，指揮藝術(shù)。還可簡單地認為兩軍的戰(zhàn)斗力完全取決于兩軍的士兵人數(shù)。兩軍士兵都處于對方火力范圍內(nèi)，由于戰(zhàn)斗緊迫，短暫，也不考慮支援部隊。蘭徹思特Lanchester作戰(zhàn)模型戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例蘭徹思特Lanchester作戰(zhàn)模型一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型假設(shè)1甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系平方律模型乙方勝現(xiàn)在回答一開始時提出的問題，設(shè)甲軍有m=6000人，乙軍有n=3000人，兩軍裝備性能相同，試計算戰(zhàn)斗過程中雙方的死亡情況以及最后哪一方失敗？正規(guī)戰(zhàn)爭模型回答：甲軍戰(zhàn)死

人，剩下

人乙軍全部被消滅。游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)假設(shè)2甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于甲方的兵力越南戰(zhàn)爭設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=0.1(km2),sry=1(m2)甲方為越南，乙方為美國硫磺島位于東京以南1062km，面積僅有20.7km，是日軍的重要軍事基地。美軍想要奪取硫磺島作為轟炸日本本土?xí)r的轟炸機基地，而日本需要硫磺島作為戰(zhàn)斗機基地，以便攻擊美國的轟炸機。美軍從1945年2月19日開始進攻，激烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一個多月，雙方傷亡十分慘重，日方守軍21500人全部陣亡或被俘，美軍投入兵力73000人，傷亡20265人，戰(zhàn)爭進行到28天時美軍宣布占領(lǐng)該島，實際戰(zhàn)斗到36天才停止。美軍有按天統(tǒng)計的戰(zhàn)斗減員和增援情況的戰(zhàn)地記錄，日軍沒有后援，戰(zhàn)地記錄全部遺失。硫磺島戰(zhàn)役用x(t)和y(t)表示美軍和日軍在第t天的人數(shù)，在正規(guī)戰(zhàn)模型(1)中加上初始條件，得硫磺島戰(zhàn)役由增援率和每天的傷亡人數(shù)可算出x(t),t=1,2,…,36，將已有數(shù)據(jù)代入(13)式，算出x(t)的理論值并與實際值作一比較。對方程(1)用求和代替積分得硫磺島戰(zhàn)役

為估計b值在(3)式中取t=36，因為y(36)=0，且由x(t)的實際數(shù)據(jù)可得

=2037000，于是從(3)式估計出b=再把這個值代入(3)式即可算出y(t)，t=1，2，…，36．由(2)式估計a值，令t=36，得硫磺島戰(zhàn)役=0.0106，

其中分子為美軍總的傷亡人數(shù)20265人，分母可由(3)算出的y(t)，得372500，由(4)式可解出a

將a值代入(2)式得由上式可算出美軍人數(shù)x(t)的理論值．圖中用實線表示．與虛線表示的實際值比較，吻合情況相當好。硫磺島戰(zhàn)役5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物進入機體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動力學(xué)

建立房室模型——藥物動力學(xué)的基本步驟房室——機體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移

本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)中心室周邊室給藥排除模型假設(shè)中心室(1)和周邊室(2),容積不變藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比藥物從體外進入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外模型建立線性常系數(shù)非齊次方程對應(yīng)齊次方程通解模型建立幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時注射劑量D0的藥物進入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進入中心室0Tt￡￡吸收室中心室3.口服或肌肉注射相當于藥物(劑量D0)先進入吸收室，吸收后進入中心室吸收室藥量x0(t)參數(shù)估計各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,n)測得c1(ti)由較大的用最小二乘法定A,由較小的用最小二乘法定B,參數(shù)估計進入中心室的藥物全部排除過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型分析分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。設(shè)想一個“機器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。問題5.5香煙過濾嘴的作用模型假設(shè)定性分析1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l12）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=13）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的(單位時間)吸收率分別是b和4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，v>>uQ~吸一支煙毒物進入人體總量模型建立0t=0,x=0，點燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)t時刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)3)求w(ut,t)4)計算Q結(jié)果分析煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量2)~過濾嘴因素，,l2~負指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）(r)~煙草的吸收作用b,l1~線性作用帶過濾嘴不帶過濾嘴結(jié)果分析4)與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉提高-b與加長l2，效果相同5.6人口預(yù)測和控制年齡分布對于人口預(yù)測的重要性

只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程一階偏微分方程人口發(fā)展方程~已知函數(shù)（人口調(diào)查）~生育率（控制人口手段）0tr生育率的分解~總和生育率h~生育模式0人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反饋系統(tǒng)

滯后作用很大人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按(r,t)計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高5.7煙霧的擴散與消失現(xiàn)象和問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各因素的關(guān)系。問題分析無窮空間由瞬時點源導(dǎo)致的擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏程度有關(guān)。模型假設(shè)1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風(fēng)的影響；擴散服從熱傳導(dǎo)定律。2）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型建立1）煙霧濃度的變化規(guī)律熱傳導(dǎo)定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比曲面積分的奧氏公式1）煙霧濃度