人教版九年級數(shù)學(xué)下冊綜合復(fù)習(xí)試題含答案

人教版九年級數(shù)學(xué)下冊綜合復(fù)習(xí)試題含答案第26章三、解答題(共66分)19．(6分)已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x＝2時，y＝6.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．解：設(shè)y＝eq\f(k,x)(k≠0)，∵當(dāng)x＝2時，y＝6.∴k＝xy＝12，∴y＝eq\f(12,x).∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝eq\f(12,x).20．(8分)(常州中考)如圖，正比例函數(shù)y＝kx的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(8,x)(x＞0)的圖象交于點A(a，4).點B為x軸正半軸上一點，過B作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點C，交正比例函數(shù)的圖象于點D.求a的值及正比例函數(shù)y＝kx的解析式．解：把點A(a，4)代入反比例函數(shù)y＝eq\f(8,x)(x＞0)，得a＝eq\f(8,4)＝2.∴把點A(2，4)代入y＝kx，得k＝2，∴正比例函數(shù)y＝kx的解析式為y＝2x.21．(8分)如圖，已知直線l：y＝－x＋5.若反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)的圖象與直線l在第一象限內(nèi)相交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)x2－x1＝3時，求k的值，并根據(jù)圖象寫出此時關(guān)于x的不等式－x＋5＜eq\f(k,x)的解集．解：設(shè)點A(m，－m＋5)，而x2－x1＝3，則點B(m＋3，－m＋2)，∴m(－m＋5)＝(m＋3)(－m＋2)，解得m＝1，∴點A，B的坐標(biāo)分別為(1，4)，(4，1)；將點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，解得k＝4×1＝4，觀察函數(shù)圖象知，當(dāng)－x＋5＜eq\f(k,x)時，解集為0＜x＜1或x＞4.22．(8分)已知反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)的圖象經(jīng)過點A(2，3).(1)求這個函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)－1＜x＜2且x≠0時，求y的取值范圍．解：(1)這個函數(shù)的解析式為y＝eq\f(6,x).(2)當(dāng)x＝－1時，y＝－6，當(dāng)－1<x<0時，y隨x的增大而減小，y<－6；當(dāng)x＝2時，y＝3，當(dāng)0<x<2時，y隨x的增大而減小，y>3.∴當(dāng)－1<x<2且x≠0時，y<－6或y>3.(10分)某中學(xué)為了預(yù)防新冠肺炎，對教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間x(min)成正比例．藥物燃燒后，y與x成反比例(如圖所示)，現(xiàn)測得藥物6min燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為4mg.(1)寫出藥物燃燒前后，y與x之間的函數(shù)解析式；(2)研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過多少分鐘，學(xué)生方能回到教室？解：(1)設(shè)藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x(k1＞0)，代入(6，4)得k1＝eq\f(2,3).設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(k2,x)(k2＞0)，代入(6，4)得k2＝24，∴藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(2,3)x(0≤x≤6)，藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(24,x)(x＞6).(2)令y＝eq\f(24,x)中y≤1.6，得x≥15，即從消毒開始，至少需要經(jīng)過15分鐘，學(xué)生方能回到教室．24．(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)(x＞0)的圖象經(jīng)過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,2)))，點B在y軸的負(fù)半軸上，AB交x軸于點C，C為線段AB的中點．(1)m＝__6__，點C的坐標(biāo)為__(2，0)__；(2)若點D為線段AB上的一個動點，過點D作DE∥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點E，求△ODE面積的最大值．解：設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，把Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,2)))，C(2，0)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝\f(3,2)，,2k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,4)，,b＝－\f(3,2)．))∴直線AB的解析式為y＝eq\f(3,4)x－eq\f(3,2).∵點D為線段AB上的一個動點，∴設(shè)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,4)x－\f(3,2)))(0＜x≤4).∵DE∥y軸，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(6,x)))，∴S△ODE＝eq\f(1,2)x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,x)－\f(3,4)x＋\f(3,2)))＝－eq\f(3,8)x2＋eq\f(3,4)x＋3＝－eq\f(3,8)(x－1)2＋eq\f(27,8)，∴當(dāng)x＝1時，△ODE的面積最大為eq\f(27,8).(14分)已知一次函數(shù)y＝kx＋b與反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象交于A(－3，2)，B(1，n)兩點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求△AOB的面積；(3)點P在x軸上，當(dāng)△PAO為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標(biāo)．解：(1)∵反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)經(jīng)過點A(－3，2)，∴m＝－6，∵點B(1，n)在反比例函數(shù)圖象上，∴n＝－6.∴B(1，－6).把A，B的坐標(biāo)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝2，,k＋b＝－6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝－4.))∴一次函數(shù)的解析式為y＝－2x－4，反比例函數(shù)的解析式為y＝－eq\f(6,x).(2)設(shè)直線AB交y軸于C，則C(0，－4)，∴S△AOB＝S△OCA＋S△OCB＝eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)×4×1＝8.(3)由題意，得OA＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，當(dāng)AO＝AP時，可得P1(－6，0)；當(dāng)OA＝OP時，可得P2(－eq\r(13)，0)，P4(eq\r(13)，0)；當(dāng)PA＝PO時，過點A作AJ⊥x軸于J.設(shè)OP3＝P3A＝x，在Rt△AJP3中，則有x2＝22＋(3－x)2，解得x＝eq\f(13,6)，∴P3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,6)，0)).綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為(－6，0)或(－eq\r(13)，0)或(eq\r(13)，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,6)，0))第27章三、解答題(共66分)19．(6分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，△ABC的頂點都在格點上．(1)以原點O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫出將△ABC放大為原來的2倍后的位似圖形△A1B1C1；(2)已知△ABC的面積為4，則△A1B1C1的面積是__16__．解：(1)如圖，△A1B1C1為所作．20．(8分)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P在BC上．(1)求作：△PCD，使點D在AC上，且△PCD∽△ABP；(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，若∠APC＝2∠ABC.求證：PD∥AB.(1)解：如圖所示．(2)證明：∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC，∴PD∥AB.21．(8分)趙亮同學(xué)想利用影長測量學(xué)校旗桿的高度，如圖，他在某一時刻立1米長的標(biāo)桿測得其影長為1.2米，同時旗桿的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墻上，分別測得其長度為9.6米和2米，求學(xué)校旗桿的高度．解：過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)題意，得eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,1.2)，即eq\f(AE,9.6)＝eq\f(1,1.2)，解得AE＝8.則AB＝AE＋BE＝8＋2＝10(米).答：學(xué)校旗桿的高度為10米．22．(8分)如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中點，CE⊥AD于點E.(1)求證：CD2＝DE·DA；(2)當(dāng)∠BED＝47°時，求∠ABC的度數(shù)．(1)證明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴CD∶AD＝DE∶CD，∴CD2＝DE·AD.(2)解：∵D是BC的中點，∴BD＝CD.∵CD2＝DE·AD，∴BD2＝DE·AD，∴BD∶AD＝DE∶BD.又∵∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB，∴∠BED＝∠ABC.∵∠BED＝47°，∴∠ABC＝47°.∴∠ABC的度數(shù)是47°.23．(10分)(蘇州中考)如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，DF⊥AE，垂足為F.(1)求證：△ABE∽△DFA；(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的長．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA.(2)解：∵E是BC的中點，BC＝4，∴BE＝2.∵AB＝6，∴AE＝eq\r(AB2＋BE2)＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4.∵△ABE∽△DFA，∴eq\f(AB,DF)＝eq\f(AE,AD)，∴DF＝eq\f(AB·AD,AE)＝eq\f(6×4,2\r(10))＝eq\f(6,5)eq\r(10).24．(12分)如圖，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分別是AB，A′B′上一點，eq\f(AD,AB)＝eq\f(A′D′,A′B′)，當(dāng)eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)時，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由．解：△ABC與△A′B′C′相似．理由：過點D，D′分別作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC).同理，eq\f(A′D′,A′B′)＝eq\f(D′E′,B′C′)＝eq\f(A′E′,A′C′)，∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(A′D′,A′B′)，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(D′E′,B′C′)，∴eq\f(DE,D′E′)＝eq\f(BC,B′C′)，同理，eq\f(AE,AC)＝eq\f(A′E′,A′C′)，∴eq\f(AC－AE,AC)＝eq\f(A′C′－A′E′,A′C′)，即eq\f(EC,AC)＝eq\f(E′C′,A′C′)，∴eq\f(EC,E′C′)＝eq\f(AC,A′C′).∵eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)，∴eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(DE,D′E′)＝eq\f(EC,E′C′)，∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED＝∠C′E′D′.∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°.同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°，∴∠ACB＝∠A′C′B′.∵eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)，∴△ABC∽△A′B′C′.25．(14分)如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運(yùn)動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x秒．(1)當(dāng)x為何值時，PQ∥BC；(2)是否存在某一時刻，使△APQ與△CQB相似？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)CQ＝10時，求eq\f(S△APQ,S△ABQ)的值．解：(1)由題可得AP＝4x，CQ＝3x.∵BA＝BC＝20，AC＝30，∴BP＝20－4x，AQ＝30－3x.若PQ∥BC，則有△APQ∽△ABC，∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(AQ,AC)，∴eq\f(4x,20)＝eq\f(30－3x,30)，解得x＝eq\f(10,3).∴當(dāng)x＝eq\f(10,3)時，PQ∥BC.(2)存在．∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.要使△APQ∽△CQB，只需eq\f(AP,CQ)＝eq\f(AQ,CB).此時eq\f(4x,3x)＝eq\f(30－3x,20)，解得x＝eq\f(10,9)，∴AP＝4x＝eq\f(40,9).要使△APQ∽△CBQ，只需eq\f(AP,CB)＝eq\f(AQ,CQ)，此時eq\f(4x,20)＝eq\f(30－3x,3x)，解得x1＝－10(舍去)，x2＝5.當(dāng)x＝5時，AP＝20.∴AP＝eq\f(40,9)或20.∴當(dāng)AP的長為eq\f(40,9)或20時，△APQ與△CQB相似.(3)當(dāng)CQ＝10時，3x＝10，∴x＝eq\f(10,3)，∴AP＝4x＝eq\f(40,3)，∴eq\f(S△APQ,S△ABQ)＝eq\f(AP,AB)＝eq\f(\f(40,3),20)＝eq\f(2,3).第28章三、解答題(共66分)19．(6分)計算：(1)sin230°＋sin60°－sin245°＋cos230°；(2)eq\f(tan30°＋tan45°,tan60°·tan45°).解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(\r(3),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2).(2)原式＝eq\f(\f(\r(3),3)＋1,\r(3)×1)＝eq\f(1＋\r(3),3).20．(8分)在△ABC中，∠C＝90°.c＝8eq\r(3)，∠A＝60°，求∠B及a，b的值．解：∠B＝90°－∠A＝30°，a＝csinA＝8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝12，b＝eq\f(a,tanA)＝eq\f(a,tan60°)＝eq\f(12,\r(3))＝4eq\r(3).21．(8分)如圖，在△ABC中，BC＝12，tanA＝eq\f(3,4)，∠B＝30°，求AC和AB的長．解：過點C作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝eq\f(1,2)BC＝6，BH＝BC·cos30°＝6eq\r(3)，在Rt△ACH中，tanA＝eq\f(3,4)＝eq\f(CH,AH)，∴AH＝8，∴AC＝eq\r(AH2＋CH2)＝10，∴AB＝AH＋BH＝8＋6eq\r(3).∴AC的長為10，AB的長為8＋6eq\r(3).22．(8分)沿江大堤經(jīng)過改造后的某處橫斷面為如圖所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1∶1.此處大堤的正上方有高壓電線穿過，PD表示高壓線上的點與堤面AD的最近距離(P，D，H在同一直線上)，在點C處測得∠DCP＝26°.(1)求斜坡CD的坡角α的度數(shù)；(2)電力部門要求此處高壓線離堤面AD的安全距離不低于18米，請問此次改造是否符合電力部門的安全要求？(參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)解：(1)α＝45°.(2)∵CH＝DH＝12，α＝45°，∴∠PCH＝∠PCD＋α＝26°＋45°＝71°，在Rt△PCH中，∵tan∠PCH＝eq\f(PH,CH)＝eq\f(PD＋12,12)≈2.90，∴PD≈22.8＞18.答：此次改造符合電力部門的安全要求．23．(10分)如圖，為了測量某條河的對岸邊C，D兩點間的距離．在河的岸邊與CD平行的直線EF上取兩點A，B，測得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB長為70米．求C，D兩點間的距離eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈\f(3,5)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos37°≈\f(4,5)，tan37°≈\f(3,4)．))解：過點C，D分別作CM⊥EF，DN⊥EF.在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，∴AM＝MC.在Rt△BMC中，BM＝eq\f(CM,tan37°)＝eq\f(4,3)CM.∵AB＝70＝AM＋BM，∴CM＝30＝DN.在Rt△BDN中，BN＝eq\f(DN,tan60°)＝10eq\r(3)，∴CD＝MN＝MB＋BN＝40＋10eq\r(3).答：C，D兩點間的距離為(40＋10eq\r(3))米．24．(12分)鄂州市某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度CD.如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無人機(jī)沿水平線AF方向繼續(xù)飛行50米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30°.線段AM的長為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點M，C，D在同一條直線上．其中tanα＝2，MC＝50eq\r(3)米．(1)求無人機(jī)的飛行高度AM；(結(jié)果保留根號)(2)求河流的寬度CD.(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)解：過點B作BN⊥MD，垂足為N，由題意可知∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50.(1)在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50eq\r(3)，∴AM＝2MC＝100eq\r(3)＝BN.答：無人機(jī)的飛行高度AM為100eq\r(3)米．(2)在Rt△BND中，∵tan∠BDN＝eq\f(BN,DN)，即tan30°＝eq\f(100\r(3),DN)，∴DN＝300，∴DM＝DN＋MN＝300＋50＝350，∴CD＝DM－MC＝350－50eq\r(3)≈264，答：河流的寬度CD約為264米．25．(14分)如圖，公路MN為東西走向，在點M北偏東36.5°方向上，距離5km處是學(xué)校A；在點M北偏東45°方向上距離6eq\r(2)km處是學(xué)校B.(參考數(shù)據(jù)：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75).(1)求學(xué)校A，B兩點之間的距離；(2)要在公路MN旁修建一個體育館P，使得A，B兩所學(xué)校到體育館P的距離之和最短，求這個最短距離．題圖答圖解：(1)過點A作CD∥MN，BE⊥MN，如答圖．在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km，∵sin36.5°＝eq\f(CA,5)＝0.6，∴CA＝3km，MC＝4km，在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB＝6eq\r(2)km，∵sin45°＝eq\f(BE,6\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴BE＝ME＝6km，∴AD＝CD－CA＝ME－CA＝3km，BD＝BE－DE＝BE－CM＝2km，在Rt△ABD中，AB＝eq\r(13)km.作點B關(guān)于MN的對稱點G，連接AG交MN于點P，連接PB，點P即為體育館．此時PA＋PB＝PA＋PG＝AG，即A，B兩所學(xué)校到體育館P的距離之和最短為AG長．在Rt△ADG中，AD＝3，DG＝DE＋EG＝DE＋BE＝4＋6＝10(km)，∴AG＝eq\r(AD2＋DG2)＝eq\r(32＋102)＝eq\r(109)(km).答：最短距離為eq\r(109)km.第29章三、解答題(共66分)19．(6分)如圖，將一個大立方體挖去一個小立方體，請畫出它的三種視圖．解：如圖所示．20．(8分)如圖所示，分別是兩棵樹及其影子的情形．(1)哪個圖反映了陽光下的情形？哪個圖反映了路燈下的情形；(2)陽光下小麗影子長為1.20m，樹的影子長為2.40m，小麗身高1.88m，求樹高．解：(1)甲圖反映了陽光下的情形，乙圖反映了路燈下的情形．(2)設(shè)樹高為xm，由已知，得eq\f(1.20,1.88)＝eq\f(2.40,x)，解得x＝3.76.答：樹高為3.76m．(8分)如圖，是由兩個長方體組合而成的一個立體圖形的主視圖和左視圖，根據(jù)圖中所標(biāo)尺寸(單位：mm).(1)直接寫出上下兩個長方體的長、寬、高分別是多少；(2)這個立體圖形的體積是__128__mm3.解：(1)上面的長方體長4mm，高4mm，寬2mm；下面的長方體長6mm，寬8mm，高2mm.22．(8分)如圖，路燈P距地面8米，身高1.6米的小明從點A處沿AO所在的直線行走14米到點B時，人影長度是增加了還是減少了？增加或減少了多少米？解：人影長度減少了．連接CD，∵AC∥OP，∴eq\f(OP,AC)＝eq\f(PM,CM)＝eq\f(8,1.6)＝5.設(shè)CM＝x米，則PM＝5x米，PC＝4x米．∵CD∥AB，∴eq