人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第27章相似

第二十七章相似27.1圖形的相似1.了解相似圖形和相似比的概念3.會根據(jù)條件判斷兩個多邊形是否相似(難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)2.能根據(jù)多邊形相似進(jìn)行相關(guān)的計算（重點）形狀、大小都相同的圖形稱為全等圖形。全等圖形：問題1下面圖片有什么特點？有什么關(guān)系？問題2

多啦A夢的2寸照片和4寸照片，它的形狀改變了嗎？大小呢？相似圖形一你從上述幾組圖片發(fā)現(xiàn)了什么？它們的形狀相同,大小不一定相等.相似圖形的概念：形狀相同的圖形叫做相似圖形.

（2）全等圖形是相似圖形的特殊情況.注意：（1）相似圖形的大小不一定相同.圖形的放大相似圖形的關(guān)系二探究歸納

兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到.圖形的縮小兩個圖形相似圖形的縮小歸納你看到過哈哈鏡嗎？哈哈鏡中的形象與你本人相似嗎？(A)(B)(C)觀察與思考

放大鏡下的圖形和原來的圖形相似嗎？放大鏡下的角與原圖形中角是什么關(guān)系?練一練相似多邊形與相似比三A1B1C1D1E1F1ABCDEF問題1：在這兩個多邊形中，是否有對應(yīng)相等的內(nèi)角？問題2：在這兩個多邊形中，夾相等內(nèi)角的兩邊是否成比例？多邊形ABCDEF是顯示在電腦屏幕上的,而多邊形A1B1C1D1E1F1是投射到銀幕上的.合作探究符號語言（以四邊形為例）：∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′,（相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等）

對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另兩條線段的比相等，如（即ad=bc）我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．

3、兩個相似多邊形對應(yīng)邊的比也叫做這兩個多邊形的相似比.形成認(rèn)識：2.相似多邊形的特征：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.任意兩個等邊三角形相似嗎？任意兩個正方形呢？任意兩個正n邊形呢？a1a2a3an…分析：已知等邊三角形的每個角都為60°,三邊都相等.所以滿足邊數(shù)相等，對應(yīng)角相等以及對應(yīng)邊的比相等.議一議…同理，任意兩個正方形都相似.歸納：任意兩個邊數(shù)相等的正多邊形都相似.a1a2a3an問題：任意的兩個菱形（或矩形）是否相似？為什么？例1.如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的長度x.21cm24cmGEFHαx118°DABC18cm78°83°β在四邊形ABCD中，∠β＝360°－（78°＋83°＋118°）＝81°.∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.解：四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應(yīng)角相等．由此可得典例精析

四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應(yīng)邊的比相等．由此可得解得x＝28cm.2.若△ABC與△A′B′C′相似，且AB：A′B′=1:2，

則△ABC與△A′B′C′的相似比是

，△A′B′C′與△ABC的相似比是

．2練一練1.下列圖形中能夠確定相似的是（）A.兩個半徑不相等的圓

B.所有的等邊三角形C.所有的等腰三角形

D.所有的正方形E.所有的等腰梯形

F.所有的正六邊形ABDF

1.觀察下面的圖形(a)~(g),其中哪些是與圖形(1)，(2)或（3）相似的？當(dāng)堂練習(xí)

2.如圖的兩個四邊形是否相似？╯800╰650╯800╮1250α╭36xy圖1353.填空：⑴如圖1是兩個相似的四邊形，

則x=

，y=

，α=

；⑵如圖2是兩個相似的矩形，x=

.2.5

1.5

90°22.5

302015x圖2相似圖形——形狀相同的圖形利用相似放大或縮小圖形判斷兩個圖形是否相似小結(jié)相似多邊形特征識別對應(yīng)角相等對應(yīng)邊成的比相等相似多邊形的特征和識別：第二十七章相似27.2相似三角形情境引入你能不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3？27.2.1相似三角形的判定將向下平移到如圖的位置，直線m,n與的交點分別為，，問題2中的結(jié)論還成立嗎？計算試一試.如果將平移到其他位置呢？abcABCDEF兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。34x7已知兩條直線被三條平行線所截，截得的線段長度如圖，你能求出x的值嗎?解：由已知條件可得：如圖4-8，直線a∥b∥c

，分別交直線m,n于

A1，A2，A3，B1，B2，B3.過點A1作直線n的平行線，分別交直線b，c于點C2，C3.圖4-9中有哪些成比例線段？推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例.ABCDE∵DE∥AB例1如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB和AC上的點，且EF∥BC.

（1）如果AE=7,FC=4，那么AF的長是多少？（2）如果AB=10,AE=6，AF=5，那么FC的長是多少？ABCEF如何不通過測量，運用所學(xué)知識，快速將一根繩子分成兩部分，使這兩部分之比是2:3?ABCEDF相似三角形的相關(guān)概念三個角對應(yīng)相等,三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形,叫做相似三角形(similartrianglec).相似三角形的各對應(yīng)角相等,各對應(yīng)邊成比例.相似比等于1的兩個三角形全等.注意：要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.反之,寫在對應(yīng)位置上的字母就是對應(yīng)角的頂點！由于相似三角形與其位置無關(guān),因此,能否弄清對應(yīng)是正確解答的前提和關(guān)鍵.判定三角形相似的方法判定兩個三角形相似的方法:兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.類比三角形全等的判定方法:邊角邊(SAS)；角邊角(ASA)；角角邊(AAS)；邊邊邊(SSS)；斜邊直角邊(HL).你還能得出判定三角形相似的其他方法嗎?相似與全等類比—新化舊由角邊角(ASA)、角角邊(AAS)可知,有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；由邊邊邊(SSS)可知:有三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；由邊角邊(SAS)可猜想:兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個三角形相似；由斜邊直角邊(HL)可猜想:斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.我們已經(jīng)把前兩個猜想變?yōu)楝F(xiàn)實,剩余的還有問題嗎？問題三:如果△ABC與△A′B′C′有一個角相等,且兩邊對應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?(1)如果這個角是這兩邊的夾角,那么它們一定相似嗎?我們一起來動手:畫△ABC與△A′B′C′使∠A=∠A′,設(shè)法比較∠B與∠B′的大小,∠C與∠C′的大小.△ABC與△A′B′C′相似嗎?說說你的理由.改變k值的大小(如1∶3),再試一試.通過上面的活動,你猜出了什么結(jié)論?判定三角形相似的方法兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.如圖,在△ABC與△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′.(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似)CBAA′B′C′這又是一個用來判定兩個三角形相似的方法,但使用頻率不是很高,務(wù)必引起重視.且∠A=∠A′,圖中的△ABC∽△A′B′C′,你還能用其他方法來說明其正確性嗎?且∠A=∠A′=45o,∴△ABC∽△A′B′C′(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似).CBAA′B′C′解法2:如圖,設(shè)小正方形的邊長為1,由勾股定理可得:問題四:在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,如果有一直角邊和斜邊對應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?我們一起來動手:畫△ABC與△A′B′C′,使設(shè)法比較∠B與∠B′的大小,∠A與∠A′的大小.Rt△ABC與Rt△A′B′C′相似嗎?說說你的理由.改變k值的大小(如1∶3),再試一試.通過上面的活動,你猜出了什么結(jié)論?斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.如圖,在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′(斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似).CBAA′B′C′這是一個用來判定兩個直角三角形相似的方法,務(wù)必引起重視.我們重新來看問題三:如果△ABC與△DEF有一個角相等,且兩邊對應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?(2)如果這個角是這兩邊中一條邊的對角,那么它們一定相似嗎?小明和小穎分別畫出了下面的△ABC與△DEF:ABC5003.2cm4cm2cmDFE5001.6cm通過上面的活動,你猜出了什么結(jié)論?兩邊對應(yīng)成比例,且其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定相似.判定三角形相似的常用方法:兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個三角形相似.斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.相似三角形的各對應(yīng)角相等,各對應(yīng)邊成比例.相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)角平分線的比,對應(yīng)中線的比,對應(yīng)周長的比都等于相似比.如圖:在△ABC和△DEF中，如果∠A=∠D,∠B=∠E,那么△ABC∽△DEF.ABCDEF那么△ABC∽△DEF.且∠A=∠D，那么△ABC∽△DEF.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲和體會？你還有什么困惑？

?本課

小

結(jié)27.2.2相似三角形的性質(zhì)一、新課引入

思考：三角形中各種各樣的幾何量，例如三條邊的長度，三個內(nèi)角的大小，高、中線、角平分線的長度以及周長、面積等，如果兩個三角形相似，那么它們的這些幾何量之間又有什么關(guān)系呢？1理解并初步掌握相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方能用三角形的性質(zhì)解決簡單的問題23二、學(xué)習(xí)目標(biāo)

相似三角形的一切對應(yīng)線段的比都等于相似比三、探究新知

知識點一

相似三角形的周長比1、如圖，△ABC∽△A′B′C′，探究下列問題:(1)△ABC與△A′B′C′的對應(yīng)邊有什么關(guān)系？(2)若,則的比值是否等于,為什么？解:∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比為,∴，

∴，

∴三、探究新知歸納相似三角形的周長的比等于______.用類似的方法，還可以得出：相似多邊形的周長的比等于_______。練一練1、如果把一個三角形各邊同時擴(kuò)大為原來的5倍，那么它的周長也擴(kuò)大為原來的____倍。相似比相似比5三、探究新知

2、如圖，點D、E分別是△ABC邊AB、AC上的點，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周長︰△ABC的周長＝_______.1︰3三、探究新知

知識點二相似三角形對應(yīng)高的比、面積的比1、已知，如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分別是△ABC與△A′B′C′的高.（1）相似三角形的對應(yīng)高的比與相似比有什么關(guān)系?寫出推導(dǎo)過程.相等三、探究新知

解:(1)∵△ABC∽△A′B′C′，∴，∠B=∠B′.又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴.結(jié)論:相似三角形對應(yīng)高的比等于_____.相似比

（2）相似三角形對應(yīng)邊上的中線，對應(yīng)角的平分線的比值與相似比有什么關(guān)系？結(jié)論:

相似三角形對應(yīng)邊上的中線，對應(yīng)角的平分線的比等于______.(3)若=，則的比值與有什么關(guān)系？結(jié)論:

相似三角形的面積的比等于___________.相等相似比相似比的平方用類似的方法，可以把兩個相似多邊形分成若干對相似三角形，因此可以得出：相似多邊形的面積的比等于___________.2、如圖，在ΔABC和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周長是24，面積是12，求ΔDEF的周長和面積.相似比的平方EFDABC解：∵AB=2DE，AC=2DF，∴.∵∠A=∠D，∴ΔABC∽ΔDEF.設(shè)ΔDEF的周長為x，面積為y.又∵ΔABC的周長是24，面積是12，∴，，∴x=12，y=3，∴ΔDEF的周長是12，面積是3.EFDABC1、兩個相似三角形對應(yīng)高的長分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長為____cm，面積為____cm2.2、在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.14F解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC.而S△ADE=4，S△EFC=9，∴，，∴，∴S△ABC=.F四、歸納小結(jié)

1、相似三角形周長、對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比等于______.2、相似三角形的面積的比等于_

________。3、學(xué)習(xí)反思：____________________。

相似比相似比的平方五、強(qiáng)化訓(xùn)練1、連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于____，面積比等于____.2、如果兩個相似三角形面積的比為3∶5，那么它們的相似比為_______，周長的比為________.

3、在一張復(fù)印出來的紙上,一個多邊形的一條邊由原圖中的2cm變成了6cm，這次復(fù)印的放縮比例是多少？這個多邊形的面積發(fā)生了怎樣的變化？解：∵比例是6∶2=3∶1，∴這次復(fù)印的放縮比例是300%.又∵面積比是9∶1，∴這個多邊形的面積擴(kuò)大到原來的9倍.

4、如圖，在正方形網(wǎng)格上有△A1B1C1和△A2B2C2，這兩個三角形相似嗎？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面積比.解：相似（△A1B1C1∽△A2B2C2）∵，

∴.教學(xué)目標(biāo)1.會應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)和判定解決實際問題．2.利用相似三角形解決實際問題中不能直接測量的物體的長度的問題，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.重點：運用相似三角形解決實際問題.難點：在實際問題中建立數(shù)學(xué)模型.27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例新課引入

如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小張想測量出A，B間的距離，但由于受條件限制無法直接測量，你能幫他想出一個可行的測量辦法嗎？測量辦法：在池塘外取一點C，使它可以直接看到A，B兩點，連接并延長AC，BC，在AC的延長線上取一點D，在BC的延長線上取一點E，使（k為正整數(shù)）.測量出DE的長度.然后根據(jù)相似三角形的有關(guān)知識求出A，B兩點間的距離.CDE如果，且測得DE的長為50m，則A，B兩點間的距離為多少？∵

，∠ACB=∠DCE，∴

△ABC∽△DEC．∴．∵

DE=50m，∴

AB=2DE=100m.CDE例題探究OABA′B′在用步槍瞄準(zhǔn)靶心時，要使眼睛（O）、準(zhǔn)星（A）、靶心點（B）在同一條直線上.在射擊時，李明由于有輕微的抖動，致使準(zhǔn)星A偏離到A′，如圖.已知OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射擊到的點B′偏離靶心點B的長度BB′（近似地認(rèn)為AA′∥BB′）.解：∵

AA′∥BB′，∴

△OAA′∽△OBB′．∴

．∵OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，∴BB′=0.125m.答：李明射擊到的點B′偏離靶心點B的長度BB′為0.125m.課堂練習(xí)1.如圖，某路口欄桿的短臂長為1m，長臂長為6m.當(dāng)短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高多少米？ABOCD2.如圖，小紅同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=80cm，EF=40cm，測得AC=1.5m，CD=8m，求樹高AB．課堂小結(jié)相似三角形的應(yīng)用主要有兩個方面：

測量不能到達(dá)兩點間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解.1.測高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）2.測距（不能直接測量的兩點間的距離）

測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決.第二十七章相似27.3位似教學(xué)目標(biāo)1.理解位似圖形在坐標(biāo)系中的作圖方法及坐標(biāo)規(guī)律.2.能按要求作出簡單的平面圖形運動后的圖形以及對應(yīng)的坐標(biāo)變化.重點：位似圖形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)規(guī)律.難點：位似圖形的準(zhǔn)確作圖，動手實踐能力的落實.新課引入下圖是運用幻燈機(jī)（點Ｏ表示光源）把幻燈片上的一只小狗放映到屏幕上的示意圖，這兩個圖形之間有什么關(guān)系？o這兩個圖形的形狀相同，但大小不同，它們是相似圖形.

分別在左、右兩個小狗的頭頂上取一點A,A′;再分別在狗尾巴尖上取一點B,B′.oB′BA′A發(fā)現(xiàn)點A,A′與點O在一條直線上.點B,B′與點O在一條直線上.分別量出線段OA，OA′,OB，OB′的長度，計算(精確到0.1)：

繼續(xù)在左、右兩只小狗上找出一些對應(yīng)點，考察每一對對應(yīng)點是否都與點Ｏ在一條直線上；

計算每一對對應(yīng)點與點O所連的線段比，看它們是否與上述，相等.

一般地，取定一個點O，如果一個圖形G上每一個點P對應(yīng)于另一個圖形G′上的點P′，且滿足：（1）直線PP′經(jīng)過同一點O，（2），其中k是非零常數(shù)，當(dāng)k>0時，點P′在射線OP上，當(dāng)k<0時，點P′在射線OP的反向延長線上.

那么稱圖形G與圖形G′是位似圖形．這個點Ｏ叫作位似中心，常數(shù)ｋ叫作位似比.如圖連接AB，A′B′，可以得到下圖，則AB∥A′B′嗎？oBAB′A′∵

，

∠AOB=∠A′OB′，∴

△OAB∽△OA′B′.∴

∠OAB=∠OA′B′.∴AB∥A′B′.如何證明利用位似可以把一個圖形進(jìn)行放大或縮小.

兩個圖形位似，則這兩個圖形不僅相似，而且對應(yīng)點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上）.ABA′C′B′CO例