老師課件-線代6二次型習(xí)題課

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第五章相似矩陣和二次型習(xí)題課重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容提要典型例題一、重點(diǎn)與難點(diǎn)

3.正定二次型的判定及有關(guān)問(wèn)題2.用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

1.二次型的矩陣表示

二、內(nèi)容提要1二次型的矩陣表示、二次型的秩2二次型的標(biāo)準(zhǔn)型與規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法：（1）正交變換法（2）配方法4合同變換與合同矩陣5慣性定律6正定二次型（2）正定性的判定方法例1．用矩陣記號(hào)表示下列二次型:(1)

(2)

解

(1)

三、典型例題

(2)

例2．化成標(biāo)準(zhǔn)形求一個(gè)正交變換將二次型解

(1)二次型的矩陣為故的特征值為當(dāng)時(shí),得基礎(chǔ)解系解方程由取當(dāng)時(shí),得基礎(chǔ)解系解方程由取當(dāng)時(shí),得基礎(chǔ)解系解方程由取于是正交變換為且有

例3．證明：二次型在時(shí)的最大值為矩陣的最大特征值.證明為實(shí)對(duì)稱矩陣，則有一正交矩陣，使得成立

其中為的特征值，不妨設(shè)最大，

為正交矩陣，則且，故則其中當(dāng)時(shí)，即即例4．判別下列二次型的正定性：解故為正定

例5

解:

其秩為2，例6

正慣性指數(shù)為，負(fù)慣性指數(shù)為。解:

經(jīng)非退化線性變換

故f

的秩為3，正慣性指數(shù)為2，負(fù)

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