2007年全國高中數(shù)學聯(lián)賽預賽高二

年高中數(shù)賽省預賽(高二選擇題(5,30分已知7sinα24cosα25tan )

填空題(5,30分y22xx+y1=0的距離的最小值 4

3

7

已知方程sinx+3cosx=M4設f(n)為正整數(shù)n(十進制)的各 位上的數(shù)字的平方之和f123)=12+22+32=14).記f1(n)=f(n)fk+1(n)=f(fk(n))(k=1,2,?)則f2007(2007)= ) 分別為abc,且tanA=1,cosB=

≤4上有兩個不同的解M.O(0,0)A(1,0)B(0,1),PAB上的一個動點AP=B則實數(shù)λ的取值范圍 n是整數(shù),(n+1)2x2-5n(n+1)x+(6n2-n-1)=(n≠-1)有兩個整數(shù)根.則n ABC最長的邊為1則最短邊的長為 )

OABC的外心,|AB|=2.|AC|=1,∠BAC=2πAB=aAC=.3

3 (C)4 (D) 若AO=1a+2b,則λ1+2 5 53設ab是正實數(shù).則a+b3凸四邊形ABCD中,AB ,BC= (a+1)=DA=1.設ST分別為△ABD△BCD的面積,則S2+T2的最大值是( ).

的最小值等 解答題(20,80分7

(C)8

O比.則該三角形的最小角等于( ).

ABC的側(cè)棱OAOB、OC兩兩垂(A)arcsin5-2(C)arcsin5+4

(B)arccos5-2arccos5+4

,OA1=OC=2,E 圖OC的中點OABC的距離在正2008邊形中,與所有邊均不平行的對角線的條數(shù)為( ).(A)2 (B)1(C)10042-1 (D)10042-1

BEAC所成的角E-AB-C的大小設{an是正數(shù)組成的數(shù)列其前Sn,n,S=3n+1-na

2 78 2 故 (2007)=f (2 78寫出數(shù)列{an}的前三項求數(shù)列{an}的通項公式(程)

由cosB=

,B為銳角令bn (n∈N+an-

,求數(shù)列

bn

tanB=1.3n項和x24yP(0,8)AB是拋物線上的兩動點,APλPBλ0AB兩點分別作拋物線的切線,設其交點為M.證明:M的縱坐標為定值Q,AB怎樣,AQP=∠BQP?證明你的結(jié)論.

故tanCtan(π-A-B=-tan(A+B=-tanA+tanB=--tanAtan135.,∠C所對的邊最長,c又tanAtanB,b邊最短2因為sinB 10,sinC 2 si) b

csinB=5.sinC (4tan-3)sinx-5sin的最小值為-f(x)的最大值和此時的x合π

5如圖2設=x,∠DABθ,33g(x)=λf(ωx)-fωx2y=gxx

λ>0,ω>0) CE⊥BD. -<x2,EBD中點 圖點3

6,3-λ是其圖像的一個對稱中心.

x2=12+(3)2求λω的最小值

CE2=122

4 1 F故S+T=4sin+4 1-1. 由252 +24cos)2 =-8(7cos-24sin)2

4

1=4

1(8

+7-3) 7有7cosα24sinαtanα7

BD=3S2+T281xx2(0<x1則該三角形的最小角的正弦值就是x2.f1(2007)532007→53于是 12=x2+x2

,x2

-1 2nA1A2?A2n,1×2n(2n-3)=n(2n-3)(條

[(n+1)x-(3n+1)][(n+1)x-(2n-1)]= x=3n+1=3 計算與一邊A1A2平行的對角線條數(shù) n+ n+A1A2∥An1An2,,A1A2平行2n-4,平行n-2條.故與某一邊平行的對角線共n(n-2)條.由此可得與任何邊都不平行的n(2n-3)-n(n-2)=nn-1)(條7.24P2bx+y10的距離最小則

x2=2n-1=2 3n+ n+±2x2n11±3.,x1x2都是整數(shù)n1只能1n0-11.136323所示的直角坐標系.A00)B2320)、 -1 234顯然AC342+b+2+b+d24-2,-6+2.sinxπ3 O(1,y)π3

.可 圖=2,

12圖像及對稱性可得到方程sinx+3cosx= -5× 12π≤

-y×3=342342在 4上有兩個不同的解時,M的 22解得y ,AO=1 2值范圍是-2, 229.1-2,1

12112121λ 1= 利用圖像可設點P(1λ,)0λ<1).則OP=(1-λ,),AB=(-1,1)PA=λ,-),PBλ-1,1-)OP·AB≥PA·PB,2λ2.

且23=32 解得λ2=4,1=5 626λ解得1-2≤≤1λ2λ

1-2,1

12.32(a3+1+1)+(b3+1+1)+(a3+b3+1)+故實

的取值范圍2

2(a+1)(b+10.0-6+ 當n=2時,S2 ≥a+3b+3ab+3= 當n=2時,S2 2(a+1)(b+ 三、13.1)4O,OBOCOA

a213xyz軸建立 當n=3時,S3=9+1-3a3=a1+a2

a3,a331 A(0,0,1) 故該數(shù)列的前三項為4 B(2,0,0)C(0,2,0) 圖E(0,1,0)

S=3n+1-n

312(n∈N)

=(x,y,z) 2 n1⊥AB,n1·AB2x-z0n1⊥AC,n1·AC2y-z

Sn13n4-n1an1 an1=Sn1-取n1=(1,1,2),則點O到面ABC的 n+|n =2+2an an+12121+1+離為d |n1

整理得(n+3)( -1)

n(a-1)EB=(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0) n+ AC=(0,2,-1)-5·cos<EB,AC>-5·5BEAC所成的角為arccos25

故n3)(n2)(n1)(2(n+2)(n+1) (an-=(1+2)(1+1)

n+

-設平面EAB的法向量為n=(x,y,z)

(a1-1)=n⊥AB,n·AB2x-z0n⊥EB,n·EB2x-y

=1

n(n+1)(n+2)n=(1,2,2).由(1ABC

n(n+1)(n+=n=向量為n1=(1,1,2) 則cos<n,n> |n||n1

=n(n+1)(n+2)(n+3)-6=1+2+4=6

=76

(n-1)n(n+1)(n+2)8S=nn1n2n3結(jié)合圖形可知,二面角E-AB-C的 arccos76(1S3n1-naa0

(1Ax1y1Bx2y2拋物線y=1x2,求導得y=1x.,過 2n 拋物線上AB兩點的切線方程分別為當n=1時,S1=3+1-1a1=a1,解得 y=1x1(x-x1)+y1 a1=4

y=1x(x-x)+y 2 y x-1x2 (2)g(x)=λf(ωx)-fωx+y 2 4 y=1xx-1x2 =cosωx-λ-3cosωx+π+2 4 Mx1+x2x1x2 又由AP=λ,(-x1,8-y1)=(x2,y2-8) -x1=λx2

osλ+gxxπ處有最小值,知g(6的圖像關于x=π 8-y1

(y2-8)

g-π=g

=3-.將式①兩邊平方并代入y=1x2,y 故cos-ωπ+ -ωπ=01

4 *xx*xx=-x=-4λy=-

2ωπ 且3 + =4 λ- 所以,M的縱坐標為-(2Q(0,-8)

=tanωπ

=tankπ- 2ωπωkAQ

y1+

,kBQ

y2+8

則3=k- 3,即 =k∈Z.又ω>0,則ω是正整數(shù). 1+ 2+故kAQ+kBQ= + =x1x2(x1+x2)+32(x1+x2)=x1所以∠AQP=

因為λ0ω是正整數(shù),所以,ω3l-l是正整數(shù))λ=3ω1時g(x)=33cosx+3sinx+3-33顯然g(xxπ處有最大值,6f(x)=5cosxsin+(4tan-3)sinx-5sin.(4tan-3)sinx=0

小值.ω4時g(x)=33cos4x+3sin4x+3-33πx∈R恒成立4tan-30,tanθ34fx5cosxsin-5sin

顯然