初中數學北師大版九年級上冊第四章　圖形的相似4　探索三角形相似的條件(w)

《探索三角形相似的條件》一、選擇題1．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列說法中，錯誤的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB3．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角頂角O在AB邊的中點上，這塊三角板繞O點旋轉，兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F，連接EF，則在運動過程中，△OEF與△ABC的關系是（）A．一定相似 B．當E是AC中點時相似C．不一定相似 D．無法判斷4．下列各組條件中，一定能推得△ABC與△DEF相似的是（）A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且5．如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（）A．= B．= C．= D．=6．如圖，小正方形的邊長均為1，則圖中三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．7．如圖，△ACD和△ABC相似需具備的條件是（）A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD8．如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端點在CD、AD上滑動，當DM為（）時，△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似．A． B． C．或 D．或9．如圖所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延長線于E，則圖中的相似三角形有（）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對10．如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．12．如圖，點F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長線于點E，在不添加輔助線的情況下，與△AEF相似的三角形有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，則△ABC∽，△BAD∽△ACD（寫出一個三角形即可）．14．如圖，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，還需添加一個條件，你添加的條件是．（只需寫一個條件，不添加輔助線和字母）15．如圖所示，已知點E在AC上，若點D在AB上，則滿足條件（只填一個條件），使△ADE與原△ABC相似．16．如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，點M在AB邊上，且AM=3，過點M作直線MN與AC邊交于點N，使截得的三角形與原三角形相似，則MN=．17．如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P為CD邊上的動點，當△ADP與△BCP相似時，DP=．18．過△ABC（AB＞AC）的邊AC邊上一定點M作直線與AB相交，使得到的新三角形與△ABC相似，這樣的直線共有條．三、解答題19．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中點，過點A作AM的垂線，交CB的延長線于點D．求證：△DBA∽△DAC．20．如圖，點C是線段AB上一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連結AE，BD，設AE交CD于點F．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）求證：△ADF∽△BAD．21．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D是AB的中點，點E在DC的延長線上，且CE=CD，過點B作BF∥DE交AE的延長線于點F，交AC的延長線于點G．（1）求證：AB=BG；（2）若點P是直線BG上的一點，試確定點P的位置，使△BCP與△BCD相似．22．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD．（1）通過計算，判斷AD2與AC?CD的大小關系；（2）求∠ABD的度數．23．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF=DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

《探索三角形相似的條件》參考答案與試題解析一、選擇題1．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【考點】相似三角形的判定．【分析】設各小正方形的邊長為1，根據勾股定理分別表示出已知陰影三角形的各邊長，同理利用勾股定理表示出四個選項中陰影三角形的各邊長，利用三邊長對應成比例的兩三角形相似可得出左圖中的陰影三角形與已知三角形相似的選項．【解答】解：設各個小正方形的邊長為1，則已知的三角形的各邊分別為，2，，A、因為三邊分別為：，，3，三邊不能與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似；B、因為三邊分別為：1，，，三邊與已知三角形的各邊對應成比例，故兩三角形相似；C、因為三邊分別為：1，2，三邊不能與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似；D、因為三邊分另為：2，，，三邊不能與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似，故選：B．【點評】此題考查了相似三角形的判定以及勾股定理的運用；相似三角形的判定方法有：1、二對對應角相等的兩三角形相似；2、兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似；3、三邊長對應成比例的兩三角形相似；4、相似三角形的定義．本題利用的是方法3．2．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列說法中，錯誤的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB【考點】相似三角形的判定．【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正確，C不正確；即可得出結論．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE與△DCB不相似；正確的判斷是A、B、D，錯誤的判斷是C；故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的判定方法；熟練掌握相似三角形的判定方法，由兩角相等得出三角形相似是解決問題的關鍵．3．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角頂角O在AB邊的中點上，這塊三角板繞O點旋轉，兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F，連接EF，則在運動過程中，△OEF與△ABC的關系是（）A．一定相似 B．當E是AC中點時相似C．不一定相似 D．無法判斷【考點】相似三角形的判定．【分析】首先連接OC，由等腰直角三角形的性質，易證得△COE≌△BOF，則可得△OEF是等腰直角三角形，繼而可得△OEF與△ABC的關系是相似．【解答】解：連結OC，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵點O為AB的中點，∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，∴∠EOC=∠BOF，在△COE和△BOF中，∴△COE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，∴△OEF∽△CAB．故選：A．【點評】此題考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．4．下列各組條件中，一定能推得△ABC與△DEF相似的是（）A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且【考點】相似三角形的判定．【分析】根據三角形相似的判定方法：①兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似可以判斷出A、B的正誤；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可以判斷出C、D的正誤，即可選出答案．【解答】解：A、∠D和∠F不是兩個三角形的對應角，故不能判定兩三角形相似，故此選項錯誤；B、∠A=∠B，∠D=∠F不是兩個三角形的對應角，故不能判定兩三角形相似，故此選項錯誤；C、由可以根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可以判斷出△ABC與△DEF相似，故此選項正確；D、∠A=∠E且不能判定兩三角形相似，因為相等的兩個角不是夾角，故此選項錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，關鍵是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．5．如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（）A．= B．= C．= D．=【考點】相似三角形的判定．【專題】證明題．【分析】本題中已知∠BAC=∠D，則對應的夾邊比值相等即可使△ABC與△ADE相似，結合各選項即可得問題答案．【解答】解：∵∠BAC=∠D，，∴△ABC∽△ADE．故選C．【點評】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似，熟記各種判定相似三角形的方法是解題關鍵．6．如圖，小正方形的邊長均為1，則圖中三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【考點】相似三角形的判定．【專題】網格型．【分析】設小正方形的邊長為1，根據已知可求出△ABC三邊的長，同理可求出陰影部分的各邊長，從而根據相似三角形的三邊對應成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的邊長均為1∴△ABC三邊分別為2，，同理：A中各邊的長分別為：，3，；B中各邊長分別為：，1，；C中各邊長分別為：1、2，；D中各邊長分別為：2，，；∵只有B項中的三邊與已知三角形的三邊對應成比例，且相似比為故選B．【點評】此題主要考查學生對相似三角形的判定方法的理解及運用．7．如圖，△ACD和△ABC相似需具備的條件是（）A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD【考點】相似三角形的判定．【分析】題目中隱含條件∠A=∠A，根據有兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似，得出添加的條件只能是=，根據比例性質即可推出答案．【解答】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∴根據有兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似，得出添加的條件是：=，∴AC2=AD?AB．故選C．【點評】本題考查了相似三角形的判定，注意：有兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似．8．如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端點在CD、AD上滑動，當DM為（）時，△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似．A． B． C．或 D．或【考點】相似三角形的判定；正方形的性質．【分析】根據AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM與AB和BE是對應邊兩種情況利用相似三角形對應邊成比例求出CM與CN的關系，然后利用勾股定理列式計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似，∴①DM與AB是對應邊時，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM與BE是對應邊時，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM為或時，△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似．故選C．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質、正方形的性質．解決本題特別要考慮到①DM與AB是對應邊時，②當DM與BE是對應邊時這兩種情況．9．如圖所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延長線于E，則圖中的相似三角形有（）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對【考點】相似三角形的判定；平行四邊形的性質．【分析】根據相似三角形的判定來找出共有多少對相似的三角形．【解答】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6對，故選D．【點評】本題主要考查對于相似三角形的判定的掌握以及能夠不遺漏的找出全部的相似三角形．10．如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】相似三角形的判定．【專題】計算題．【分析】設AP=x，則有PB=AB﹣AP=7﹣x，分兩種情況考慮：三角形PDA與三角形CPB相似；三角形PDA與三角形PCB相似，分別求出x的值，即可確定出P的個數．【解答】解：設AP=x，則有PB=AB﹣AP=7﹣x，當△PDA∽△CPB時，=，即=，解得：x=1或x=6，當△PDA∽△PCB時，=，即=，解得：x=，則這樣的點P共有3個，故選C．【點評】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關鍵．11．如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【考點】相似三角形的判定．【分析】根據相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可．【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；C、兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確；D、兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤．故選C．【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵．12．如圖，點F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長線于點E，在不添加輔助線的情況下，與△AEF相似的三角形有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點】相似三角形的判定；平行四邊形的性質．【分析】直接利用平行四邊形的性質得出AD∥BC，AB∥DC，再結合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴與△AEF相似的三角形有2個．故選：C．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．二、填空題13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，則△ABC∽△DBA，△BAD∽△ACD（寫出一個三角形即可）．【考點】相似三角形的判定．【分析】根據垂直定義得出∠ADB=∠BAC，根據相似三角形的判定得出即可．【解答】解：△ABC∽DBA，理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBA，故答案為：△DBA．【點評】本題考查了相似三角形的判定，垂直定義的應用，能運用相似三角形的判定定理進行推理是接解此題的關鍵．14．如圖，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，還需添加一個條件，你添加的條件是AB∥DE．（只需寫一個條件，不添加輔助線和字母）【考點】相似三角形的判定．【專題】開放型．【分析】根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似進行添加條件．【解答】解：∵∠A=∠D，∴當∠B=∠DEF時，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE時，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE時，使△ABC∽△DEF．故答案為AB∥DE．【點評】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．15．如圖所示，已知點E在AC上，若點D在AB上，則滿足條件∠B=∠AED（只填一個條件），使△ADE與原△ABC相似．【考點】相似三角形的判定．【分析】根據兩個角對應相等的兩個三角形相似，可得答案．【解答】解：已知點E在AC上，若點D在AB上，則滿足條件∠B=∠AED（只填一個條件），使△ADE與原△ABC相似，故答案為：∠B=∠AED．【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定是解題關鍵．16．如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，點M在AB邊上，且AM=3，過點M作直線MN與AC邊交于點N，使截得的三角形與原三角形相似，則MN=4或6．【考點】相似三角形的判定．【分析】分別利用，當MN∥BC時，以及當∠ANM=∠B時，分別得出相似三角形，再利用相似三角形的性質得出答案．【解答】解：如圖1，當MN∥BC時，則△AMN∽△ABC，故==，則=，解得：MN=4，如圖2所示：當∠ANM=∠B時，又∵∠A=∠A，∴△ANM∽△ABC，∴=，即=，解得：MN=6，故答案為：4或6．【點評】此題主要考查了相似三角形判定，正確利用分類討論得出是解題關鍵．17．如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P為CD邊上的動點，當△ADP與△BCP相似時，DP=1或4或．【考點】相似三角形的判定；矩形的性質．【專題】分類討論．【分析】需要分類討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根據該相似三角形的對應邊成比例求得DP的長度．【解答】解：①當△APD∽△PBC時，=，即=，解得：PD=1，或PD=4；②當△PAD∽△PBC時，=，即=，解得：DP=．綜上所述，DP的長度是1或4或．故答案是：1或4或．【點評】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質．對于動點問題，需要分類討論，以防漏解．18．過△ABC（AB＞AC）的邊AC邊上一定點M作直線與AB相交，使得到的新三角形與△ABC相似，這樣的直線共有2條．【考點】相似三角形的判定．【分析】過M作MN∥BC交AB于N；過M作∠AMD=∠B，交AB于D；即可得出結果．【解答】解：如圖所示：過M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；過M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；因此符合條件的直線共有2條；故答案為：2．【點評】本題考查了相似三角形的判定方法；熟記相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵．三、解答題19．（2023春?昌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中點，過點A作AM的垂線，交CB的延長線于點D．求證：△DBA∽△DAC．【考點】相似三角形的判定．【專題】證明題．【分析】根據直角三角形斜邊上的中線性質求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根據相似三角形的判定得出即可．【解答】證明：∵∠BAC=90°，點M是BC的中點，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．【點評】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形斜邊上的中線性質的應用，能求出∠DAB=∠C是解此題的關鍵．20．（2023?蕭山區(qū)模擬）如圖，點C是線段AB上一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連結AE，BD，設AE交CD于點F．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）求證：△ADF∽△BAD．【考點】相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】（1）根據全等三角形的判定定理SAS證得結論；（2）利用（1）中全等三角形的對應角相等，平行線的判定與性質以及兩角法證得結論．【解答】解：（1）∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質．有兩組邊對應相等，并且它們所夾的角也相等，那么這兩個三角形全等；有兩組角分別相等，且其中一組角所對的邊對應相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等，對應角相等．21．（2023?阜陽校級一模）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D是AB的中點，點E在DC的延長線上，且CE=CD，過點B作BF∥DE交AE的延長線于點F，交AC的延長線于點G．（1）求證：AB=BG；（2）若點P是直線BG上的一點，試確定點P的位置，使△BCP與△BCD相似．【考點】相似三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．【分析】（1）利用平行分線段成比例定理得出==，進而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；（2）分別利用第一種情況：若∠CDB=∠CPB，第二種情況：若∠PCB=∠CDB，進而求出相似三角形即可得出答案．【解答】（1）證明：∵BF∥DE，∴==，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：當BP長為或時，△BCP與△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一種情況：若∠CDB=∠CPB，如圖1：在△BCP與△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=；第二種情況：若∠PCB=∠CDB，過C點作CH⊥BG于H點．如圖2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，BP=．綜上所述：當PB=或時，△BCP與△BCD相似．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，正確利用分類討論分析是解題關鍵