等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)匯總

專題二等差數(shù)列鞏固等差、等比數(shù)列是重要的、基本的數(shù)列，許多其它數(shù)列要轉(zhuǎn)化成這種數(shù)列來(lái)處理，要站好這塊地盤一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo).理解等差數(shù)列的概念和性質(zhì)；n項(xiàng)和公式，并能用公式解決簡(jiǎn)單問題.n項(xiàng)和公式，并能用公式解決簡(jiǎn)單問題二.建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1.二.建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1.定義：an1and(常數(shù))(nN?)2.通項(xiàng)公式:anai(n1)d,推廣：anam(nm)d2.通項(xiàng)公式:d=an-巴，d=an一am是點(diǎn)列(n,an)所在直線的斜率.n1nm、八=…c n(a〔an) n(n1),d2,d、.刖n項(xiàng)的和：Sn na1 d—n (a1—)n2 2 2 2變式：a1an Sn變式：2-V等差中項(xiàng)：若a、b、c等差數(shù)列，則b為a與c的等差中項(xiàng)：2b=a+c性質(zhì)：設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，公差為d,則⑴m+n=p+q則am+an=ap+aqan,an+m,an+2m組成公差為md的等差數(shù)列.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n組成公差為n2d的等差數(shù)列.(4)當(dāng)n=2k-1為奇數(shù)時(shí)，S=na"Sw=kak,S偶=(k-1)ak(ak=a中).等差數(shù)列的判定方法(nCN*)(1)定義法：an+1-an=d是常數(shù) (2)等差中項(xiàng)法：2an1anan22(3)通項(xiàng)法：an a1(n1)d (4)刖n項(xiàng)和法：Sn AnBn.a1,d,n,an,Sn知三求二，可考慮統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量 ；或利用數(shù)列性質(zhì)三數(shù)：ad,a,ad,四數(shù)a3d,ad,ad,a3dTOC\o"1-5"\h\z.會(huì)從函數(shù)角度理解和處理數(shù)列問題 .三、雙基題目練練手(2006全國(guó)n)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若包工，則國(guó)()s6 3 sl2(A)— (B)1 (C)- (D)1\o"CurrentDocument"10 3 8 9(2006廣東)已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差是()A5 B4C3 D2100100等差數(shù)列｛an｝中，aio<0,aii>0且aii>|aio|,Sn為其前n項(xiàng)和，則S10S10小于0,Sii大于0C.S5小于0,S6大于0Si9小于0,S20大于0D.S20小于0,S21大于04.(2006天津)已知數(shù)列｛an｝、｛bn｝都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為 a4.(2006天津)已知數(shù)列｛an｝、｛bn｝都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為 a1、b1，且*a1 b1 5,a1、b〔 N.設(shè)cn.*abn(nN),則數(shù)列｛Cn｝的前10項(xiàng)和等于5570.等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為.在等差數(shù)列an中，已知a485Sn,若a2+a4+a15=p是100 ( )常數(shù)，則S13=906,Sn63,則門二簡(jiǎn)答：1-4.ACBC;3.a〔簡(jiǎn)答：1-4.ACBC;3.a〔1>|a〔0|=—a〔0,a10+a11=a1+a20>0.??S20=10(a1+a20)>0.選B4.abna1(bn1)a1bl(n1)1n3,S105(413)855.a25.a2+a4+a15=p(常數(shù))r 13a1+18d=p,即a7=-p..S13=13(a1.S13=13(a1a13)213

=13a7=-p.36.設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d，則9a13d a1得6a8dd183363Sn18n-n(n1)得：n6或n7363Sn18n-n(n1)得：n6或n72四、經(jīng)典例題做一做【例1】(1)若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34,后3項(xiàng)和為146，且所有項(xiàng)的和為390,求這個(gè)數(shù)列項(xiàng)數(shù).(2)等差數(shù)列an的前10項(xiàng)的和S10 100，前100項(xiàng)的和S10010,求前110項(xiàng)的和S110.解(1)Qa1 a2 a3 34,又anan 1an 2146Qa1an a2 an 1a3an 2兩式相加得：3(a1an)180,21 an60,由Sn "a1an) 390，得n132(2)分析一：方程的思想，將題目條件應(yīng)用公式表示成關(guān)于首項(xiàng) a1與公差d的兩個(gè)方程.10a1解法一：設(shè)an的首項(xiàng)為a1,公差d，則100al\o"CurrentDocument"1 ,—109d100 d2 解得：1—10099d10 a1211501099- 1S110 110a1 —110109d 1102分析二：運(yùn)用前n項(xiàng)和變式：Sn An2Bn解法二：an為等差數(shù)列，故可設(shè)SnAn2Bn,100A10B10010000A100B100A10B10010000A100B10解得110AS1101102A110B110(110AB)110TOC\o"1-5"\h\z解法三：S100 S10(a11%90 90ana100 22110(a1 a110) (a11a100)110S110 110\o"CurrentDocument"2 2方法提煉:本題是等差數(shù)列的基本計(jì)算，要求熟練準(zhǔn)確.題⑴利用了等差數(shù)列的性質(zhì)和前 Sn公式的特點(diǎn)；題(2)法一:轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量，是重要的方法；法二利用了前n項(xiàng)和公式的函數(shù)式特征【例2】數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn=npan(nCN*)且a—a2,(1)求常數(shù)p的值;(2)證明：數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列.分析：(1)注意討論p的所有可能值.(2)運(yùn)用公式an=S1 n'求分析：(1)注意討論p的所有可能值.(2)運(yùn)用公式an=S1 n'求an.Sn Sn1n2.解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=pa1,若p=1時(shí)，a[+a2=2pa2=2a2,1-a1=a2,與已知矛盾，故pW1.則a1=0.當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=2pa2, (2p—1)a2=0.「a1Wa2,故p=I.21(2)由已知Si=—nan,a1=0.2n>2時(shí),an=Sn—Sn-1=—nan——2 2(n—1)an1.an n 1 …an1 n 2」一二 則‘^= an1 n 2an2 n 3a320?=彳.(廿3)an, ,——=n-1...an=(n—1)a2,a2an—an1=a2.(n>3)又a2-a1=a2,所以從第二項(xiàng)起每項(xiàng)減去前項(xiàng)的差是同一常數(shù) ^故｛an｝是以32為公差，以a1為首項(xiàng)的等差數(shù)列.提煉拓展：證明等差數(shù)列的方法：1.由定義an-an-1=d,an=pn+q,4.Sn=Pn2=qn2.等差中項(xiàng)，3.通項(xiàng)公式例3.已知兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11,…和3,7,11…都有100項(xiàng)，問它們有多少相同的項(xiàng)？并求出所相同項(xiàng)的和。分析一：兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原來(lái)的先后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來(lái)兩個(gè)公差的最小公倍數(shù)。解：設(shè)兩個(gè)數(shù)列相同項(xiàng)按原來(lái)的前后次序組成的新數(shù)列為 an,則a111???數(shù)列5,8,11,…和3,7,11…的公差分別為3與4an的公差d3412,an12n1又因?yàn)閿?shù)列5,8,11,…和3,7,11…的第100項(xiàng)分別是302和399,an12n1302即n25.5,又nN,所以兩個(gè)數(shù)列有25個(gè)相同的項(xiàng)。，一 2524其和S251125———1238752分析二：由條件可知兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可用不定方程的求解法來(lái)求解。解：設(shè)數(shù)列5,8,11,…和3,7,11…分別為an,bn，則an3n2,bn4n1設(shè)an中的第n項(xiàng)與bn中的第m項(xiàng)相同，即_ 43n24m1n—m1,又m,nN,設(shè)m3r,(rN)#n4r13根據(jù)題意得：13r100解得：1r25(rN)14r1100…一,一一一一一、，,，一 2524一一從而有25個(gè)相同的項(xiàng)，且公差為 12,其和S251125 1238752(另法：由m=3r知第r個(gè)相同的項(xiàng)為b3r=12r-1…)方法提煉：法1:設(shè)兩數(shù)列中an=bm,求出n(或m)應(yīng)滿足的關(guān)系，再代回an(或bm)法2:兩等差數(shù)列中相同的項(xiàng)成等差數(shù)列，且公差是兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù) .例4、等差數(shù)列｛an｝中，前m項(xiàng)的和為77(m為奇數(shù))，其中偶數(shù)項(xiàng)的和為33,且a1-am=18,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。m1/c(a2am1)TOC\o"1-5"\h\z上 33 ①解法1:由已知 2\o"CurrentDocument"m(aiam) 77 ②2p ………m1 33又a2am1a〔am,兩式相除得 ,m7,2m77從而由②得：a1+a7=22,又已知a「a7=18,可解得a1=20,a7=2.公差d=-3,an=-3n+23.解法2:利用前奇數(shù)項(xiàng)和與中項(xiàng)的關(guān)系令m=2n-1,n€N+S2n1 (2n1)an77S偶(n1)an332n1n1—2n1n1—,n=4,m=7,a33n=11a1+am=2an=22, 3^a1-an=18a1=20,am=2d=-3an=-3n+23提煉拓展；利用求和公式和性質(zhì)；轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量行嗎？行.

【研討.欣賞】 已知數(shù)列ai,a2, ,a30,其中ai,a2,冏。是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列；a10,a11,,a20是公差為d的等差數(shù)列；a20,a21,,a30是公差為d2的等差數(shù)列(d0). (1)若a2。40,求d；(3)續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30,a31,(2)試寫出as。(3)續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30,a31,,240是公差為d3的等差數(shù)列，……，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列.［解］(1)a1010.a2010［解］(1)a1010.a201010d40,d3.(2)a30 a2010d2101dd2(d0),a30 10,0)(0,)時(shí),a,0)(0,)時(shí),a30 7.5,(3)所給數(shù)列可推廣為無(wú)窮數(shù)列 an,其中a1,a2,,a10是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)n1時(shí),數(shù)列a10n,a10n1, ,a10(n1)是公差為dn的等差數(shù)列.解題回顧：方法是基本的一一轉(zhuǎn)化為基本量 ，利用通項(xiàng)公式.題⑶考查類比的能力.五.提煉總結(jié)以為師.等差數(shù)列的概念和性質(zhì)，證明數(shù)列 ｛an｝是等差數(shù)列的方法:.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式的求法與應(yīng)用五個(gè)元素a1，an,n,d,Sn中知三，可求另兩個(gè)..思想.方法：轉(zhuǎn)化為基本量，利用性質(zhì)，方程的思想，同步練習(xí)等差數(shù)列【選擇題】.在等差數(shù)列｛an｝中,am=n,an=m,則am+n的值為m+n，一、1， 、-(mn)2.(20062全國(guó)I)設(shè)1-(mn)2(D)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,m+n，一、1， 、-(mn)2.(20062全國(guó)I)設(shè)1-(mn)2(D)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,a1a2a315a1a2a380,則a11a〔2a13A120()105C90753.如果a1,%為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d0,則(A)a1% a4a5 (B) % a1 a4a5(C) ai +as a4+a5 (D) a1a8=a4%(2004重慶)若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)ai0,a2003n(2004重慶)若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)ai0,a2003n項(xiàng)和SnA4005【填空題】0成立的最大自然數(shù)n是:B4006C4007a2004 0,a2003.a2004 0,則使前()40084.(2005天津)在數(shù)列｛an｝中，a1=1,a2=2,且an2an1(1)n(nN)則3。。=_6.(2003全國(guó))6.(2003全國(guó))已知方程(x，1 2—2X+m)(x2—2X+n)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為-的等差數(shù)列,4則|m—n|=簡(jiǎn)答.提示：1-4.DBBB; 5.2600;6.設(shè)4則|m—n|=簡(jiǎn)答.提示：1-4.DBBB; 5.2600;6.設(shè)4個(gè)根分別為X1、X2、X3、X4則Xl+X2=2X3+X4=21--m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq.設(shè)xi為第一■項(xiàng),一■一…，，1X2必為第4項(xiàng)，可得數(shù)列為一47m=—1615n=16— .1.|m—n|=—2【解答題】32:27,7.如果一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為求公差；32:27,n項(xiàng)和n項(xiàng)和公式中五個(gè)量a1,d,n,Sn,an，只要知道其中三個(gè)，就可以求其它兩個(gè)，而 a1,d是基本量,解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d,則112a1一21211d354解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d,則112a1一21211d3546(a1d)2d3212a15al66d3542d0a1dc1cc,

6a1 c1cc,

6a1 652d2278.項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44,8.項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44,偶數(shù)項(xiàng)之和為33,求這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)解：設(shè)數(shù)列共2m+1 (mCN*)把該數(shù)列記為｛an｝依題意a1+a3++a2m+1=44且a2依題意a1+a3+m即2(am即2(a2+a2m)=33m1(1)(a1+a2m)=44(2)?1?m=3代入(1)得a2+a2m=22a2 a2m..-am+1= =112即該數(shù)列有7項(xiàng)，中間項(xiàng)為119.即該數(shù)列有7項(xiàng)，中間項(xiàng)為119.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和_ 2 a2a4Sn=n-2n,bn=證明：數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列.證明：Sn=n2—2n,a1=S1=—1.當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn—Sn1=n2—2n—(n—1)2+2(n—1)=2n—3,a1滿足上式即an=2n—3.,an+1—an=2(n+1)—3—2n+3=2,，數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為一1,公差為2的等差數(shù)列..c n(a2a2n)…a2+a4+…+a2n= 2n(14n3)= =n(2n—1),2n(2n1)即bn= =2n-1.n,,bn+1—bn=2(n+1)—1—2n+1=2.又b2=-=1,1??｛bn｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.10.數(shù)列an的首項(xiàng)a1 3,通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間滿足2an SnSn1(n2), 1 (1)求證：—是等差數(shù)列，并求公差；Sn(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)數(shù)列an中是否存在正整數(shù) k,使得不等式akak1對(duì)任意不小于k的正整數(shù)都成立？若存在，求出最小的k,若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)2時(shí),anSnSn12an SnSn1\o"CurrentDocument"cc cc cc 1 1\o"CurrentDocument"2求出最小的k,若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)2時(shí),anSnSn12an SnSn1\o"CurrentDocument"cc cc cc 1 1\o"CurrentDocument"2Sn2Sn1SnSn1 - "T-Sn Sn112,而1而一S(2)-Sn13,(n2時(shí),an3(n(3)ak、，…1是首項(xiàng)為1,d31一、，1的等差數(shù)列.211)(-)21"SnSn1253nC丁Sn18(3n5)(3n1),18 (n2)(3n5)(3n18)108ak1 (3k5或k32)(3k5)(3k8)8,當(dāng)k3時(shí)，有ak3653n8)aki所求最小k=3.【探索題】已知數(shù)列【探索題】已知數(shù)列(1)求a1,a2｛an｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且滿足 an+1=an2—2nan+2(nCN*),又a5=11.a3,a4的值，并由此推測(cè)出｛an｝的通項(xiàng)公式(不要求證明)，、… Sn-(2)設(shè)bn=ll—an,Sn=bi+b2+???+bn,Sn'=|bi|+|b2|+…+|bn|,求lim 的值.nSSn解：(1)由a5=11,得11=a42—8a4+2,即a42—8a4—9=0.解得a4=9或a4=—1(舍).由a4=9,得a32—6a3—7=0.解得a3=7或a3=—1(舍).同理可求出a2=5,a1=3.由此推測(cè)an的一個(gè)通項(xiàng)公式an=2n+1(nCN*).(2)bn=11-an=10-2n(nCN*),可知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列.n(b1bn) n(8102n) 2cSn= = =—n2+9n.2 2當(dāng)nW5時(shí)，Sn，=Sn=—n2+9n；當(dāng)n>5時(shí)，Sn'=—Sn+2S5=—Sn+40=n2—9n+40.當(dāng)nW5時(shí)，&-=1；Sn備選題6.在等差數(shù)列｛an｝中，公差為—,且a1+a3+a5+???+a99=60,則a2+a4+a6+---+a100= .2解析：由等差數(shù)列的定義知 a2+a4+a6+…+a100=a1+a3+a5+???+a99+50d=60+25=85.答案：853.(2004年春季上海，7)在數(shù)列｛an｝中，a1二3,且對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,點(diǎn)(河，J0T7)在直線x—y—j3=0上，貝Uan=解析：將點(diǎn)代入直線方程得E—Van7=<'3,由定義知｛H｝是以V3為首項(xiàng)，以33為公差的等差數(shù)列，故*；an=J3n,即an=3n2答案：3n27.(2003年春季上海，12)設(shè)f(x)=y1「,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的公式的2x.2方法，可求得f(—5)+f(―4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的彳1為.2口.解析：倒序相加法，觀察函數(shù)解析式的特點(diǎn)，得到 f(x)+f(1-x)=—,即f(―5)+f(6)22 2 2 2 .2=學(xué)，f(―4)+f(5)=f(―3)+f(4)=學(xué)，f(―2)+f(3)=學(xué)，f(—1)+f(2)=；,f(0)+f(1)=必，故所求的值為372.2答案:3,28.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn已知a3=12,S12>0,S13V0(I)求公差d的取值范圍;S12S12,中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由仆12(121)12al d022al11d0(1)0,即a16d0 (2)(n)指出S1,S2,…，解：(I)依題意，有s12813 13a113(131)d由a3=12，得a〔二12—2d(3)將(3)式分別代入(1),(2)式，得

247d0 24 「，.——d33d0 7(n)由d<0可知a1>a2>a3>-->a[2>a13因此，若在1wnw12中存在自然數(shù)n,使彳#an>0,an+1<0,則Sn就是S1,S2，…,S12中的最大值，由于 S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,即a6+a7>0,a7<0，由此得 a6>—a7>0>因?yàn)?>0,a7<0,故在S1,S2，…,S12中86的值最大.9.已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5,平方和為85,求這5個(gè)數(shù)9解：設(shè)三個(gè)數(shù)為a,公差為d,則這5個(gè)數(shù)依次為a-2d,a-d,a,a+d,a+2依題意:C CC C C85(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=—9且(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5即a2+2d2=17且a=19a=1且d=27-；37-；313當(dāng)d=2時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別是一工、1、1、5、3 3 3 3當(dāng)d=—2時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別是7、5、1、1、3 3 3 3an2an1 3an2(n=1,2,3，…),(2006江蘇)設(shè)數(shù)列｛an｝、｛bn｝、｛Can2an1 3an2(n=1,2,3，…),證明｛an｝為等差數(shù)列的充分必要條件是 ｛Cn｝為等差數(shù)列且bnbn1(n=1,2,3,…)證明：必要性.設(shè)｛an｝是公差為d1的等差數(shù)列，則bn+1bn=(an+1an+3)(anan+2)=(an+1an)(an+3an+2)=d1d1=0所以bn<bn+1(n=1,2,3, …)成立.又Cn+1-Cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)=d 1+2d1+3d1=6d1(常數(shù))(n=1,2,3, …)，所以數(shù)列｛Cn｝為等差數(shù)列.充分性。設(shè)數(shù)列｛Cn｝是公差為d2的等差數(shù)列，且bn<bn+1(n=1,2,3,…).證法一：

cn=an+2an+l+3an+2cn+2=an+2+2an+3+3an+4n+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)n+1n+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)n+1+3bn+2.n+1-Cn+2)=-2d2.?'cn-cn+2=(Cn-Cn+1)+(C,,bn+2bn+1+3bn+2n+1-Cn+2)=-2