2018屆數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)第七章立體幾何第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE21-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1。以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題。2016，全國卷Ⅰ，18（1），6分(證明面面垂直)2016，全國卷Ⅱ，19（1），6分(證明線面垂直)2015,全國卷Ⅰ,18（1),6分（證明面面垂直）2013，全國卷Ⅰ，18(1)，6分（證明線線垂直）1。直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容;2.題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強(qiáng)的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.微知識(shí)小題練自|主|排|查1．直線與平面垂直(1）直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線l與平面α互相垂直。（2）直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a⊥αb⊥α)）?a∥b2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(l?βl⊥α））?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直微點(diǎn)提醒1．在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，還有可能異面、相交等。2．使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面”。3．判斷線面關(guān)系時(shí)最容易漏掉線在面內(nèi)的情況。小|題｜快｜練一、走進(jìn)教材1．(必修2P73A組T1A．如果平面α⊥平面β,且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β＝l,那么l⊥γ【解析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì),知A不正確，直線l可能平行平面β，也可能在平面β內(nèi)。故選A.【答案】A2．（必修2P69練習(xí)題)如圖,正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2,G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，則在四面體A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF【解析】解法一:在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在四面體SEFG中，SG⊥GE，SG⊥GF,GE∩GF＝G,所以SG解法二：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除C；在△GSD中，GS＝a（正方形邊長），GD＝eq\f(\r（2）,4）a，SD＝eq\f（3\r(2）,4）a，所以SG2≠SD2＋GD2,∠SDG≠90°,從而排除B和D。故選A.【答案】A二、雙基查驗(yàn)1．（2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m,n滿足m∥α，n⊥β,則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n【解析】因?yàn)棣痢搔拢絣，所以l?β,又n⊥β，所以n⊥l。故選C?！敬鸢浮緾2．（2015·浙江高考）設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β()A．若l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥βD．若α∥β,則l∥m【解析】選項(xiàng)A中，由平面與平面垂直的判定，故正確;選項(xiàng)B中，當(dāng)α⊥β時(shí)，l，m可以垂直，也可以平行，也可以異面；選項(xiàng)C中,l∥β時(shí)，α，β可以相交;選項(xiàng)D中，α∥β時(shí)，l，m也可以異面。故選A.【答案】A3。(2016·葫蘆島模擬)已知如圖，六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABCDEF。則下列結(jié)論不正確的是（）A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD【解析】A中，因?yàn)镃D∥AF，AF?平面PAF,CD?平面PAF,所以CD∥平面PAF成立；B中，因?yàn)锳BCDEF為正六邊形,所以DF⊥AF.又因?yàn)镻A⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因?yàn)镻A∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立;C中，因?yàn)镃F∥AB，AB?平面PAB,CF?平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF與AD不垂直，故D結(jié)論不正確。故選D.【答案】D4．已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn),且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題：①PA⊥BC;②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC。其中正確的個(gè)數(shù)是________.【解析】如圖所示.∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P,∴PA⊥平面PBC又∵BC?平面PBC,∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC?！敬鸢浮?5．（2016·天津模擬)已知不同直線m，n與不同平面α，β,給出下列三個(gè)命題：①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若m∥α,n⊥α，則n⊥m;③若m⊥α，m∥β,則α⊥β。其中真命題的個(gè)數(shù)是________個(gè).【解析】①平行于同一平面的兩直線不一定平行,所以①錯(cuò)誤。②根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知②正確。③根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和判定定理可知③正確,所以真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè).【答案】2微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)……多維探究角度一：證明直線與平面垂直【典例1】如圖所示，直角△ABC所在的平面外一點(diǎn)S，SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)。求證：直線SD⊥平面ABC.【證明】因?yàn)镾A＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC，連接BD，在Rt△ABC中，則AD＝DC＝BD,所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD。又因?yàn)锳C∩BD＝D,所以SD⊥平面ABC?！灸割}變式】在本典例中，若AB＝BC,其他條件不變,則BD與平面SAC的位置關(guān)系是什么?【解析】因?yàn)锳B＝BC,點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC，又由例題知SD⊥BD,于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線，故BD⊥平面SAC?！敬鸢浮緽D⊥平面SAC角度二：利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直【典例2】如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,已知AC⊥BC，BC＝CC1。設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E求證:(1)DE∥平面AA1C（2)BC1⊥AB1。【證明】（1）由題意知，點(diǎn)E是B1C的中點(diǎn)。在三角形AB1C中，點(diǎn)D是AB1的中點(diǎn)，所以DE是三角形AB1C的中位線，所以DE∥AC。又因?yàn)锳C?平面AA1C1C，DE?平面AA1C(2)因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BB1C1C，所以AC⊥BC1.又因?yàn)锽C＝CC1，所以四邊形BB1C1C是正方形，所以BC1⊥B1C。又因?yàn)锽1C∩AC＝C，所以BC1⊥平面反思?xì)w納1。證明直線和平面垂直的常用方法：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性（a∥b,a⊥α?b⊥α）；（3）面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β);(4）面面垂直的性質(zhì).2．證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想。3．線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直。考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【典例3】(2016·江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B求證：(1）直線DE∥平面A1C(2）平面B1DE⊥平面A1C【證明】(1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥在△ABC中，因?yàn)镈,E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1又DE?平面A1C1F，A1C1?所以直線DE∥平面A1C（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A又A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1,所以A1C1因?yàn)锽1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1又B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F,A所以B1D⊥平面A1C因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C反思?xì)w納1。判定面面垂直的方法：（1)面面垂直的定義；(2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a?α?α⊥β）。2．在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)找或作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直?！咀兪接?xùn)練】如圖,在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).(1）求證：VB∥平面MOC；（2）求證：平面MOC⊥平面VAB;（3）求三棱錐V－ABC的體積.【解析】(1）證明：因?yàn)镺，M分別為AB,VA的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥VB.又因?yàn)閂B?平面MOC,OM?平面MOC，所以VB∥平面MOC.（2)證明：因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB.又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC,且OC?平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB。又OC?平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB。（3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2）,所以AB＝2，OC＝1。所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝eq\r(3）。又因?yàn)镺C⊥平面VAB，所以三棱錐C－VAB的體積等于eq\f（1，3）OC·S△VAB＝eq\f(\r(3)，3）。又因?yàn)槿忮FV－ABC的體積與三棱錐C－VAB的體積相等，所以三棱錐V－ABC的體積為eq\f(\r（3),3)?！敬鸢浮浚?）(2)見解析(3）eq\f(\r（3），3)考點(diǎn)三垂直關(guān)系中的探索性問題【典例4】如圖,在三棱臺(tái)ABC－DEF中,CF⊥平面DEF，AB⊥BC。（1)設(shè)平面ACE∩平面DEF＝a，求證:DF∥a；（2）若EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，請(qǐng)確定G點(diǎn)的位置;若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1)證明:在三棱臺(tái)ABC－DEF中，AC∥DF，AC?平面ACE，DF?平面ACE,∴DF∥平面ACE.又∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a。(2)線段BE上存在點(diǎn)G，且BG＝eq\f(1，3）BE，使得平面DFG⊥平面CDE.證明如下：取CE的中點(diǎn)O，連接FO并延長交BE于點(diǎn)G，連接GD，∵CF＝EF，∴GF⊥CE。在三棱臺(tái)ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF.由CF⊥平面DEF?CF⊥DE。又CF∩EF＝F,∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF。eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(GF⊥CE,GF⊥DE,CE∩DE＝E)）?GF⊥平面CDE。又GF?平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE。此時(shí)，如平面圖所示，∵O為CE的中點(diǎn)，EF＝CF＝2BC，由平面幾何知識(shí)易證△HOC≌△FOE，∴HB＝BC＝eq\f（1,2）EF.由△HGB∽△FGE可知eq\f（BG,GE）＝eq\f（1,2)，即BG＝eq\f(1,3)BE.【答案】(1)見解析（2）線段BE上存在點(diǎn)G，且BG＝eq\f(1，3)BE反思?xì)w納同“平行關(guān)系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點(diǎn)的位置,多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn),然后給出符合要求的證明。【變式訓(xùn)練】(2017·鄭州模擬）如圖,已知三棱柱ABC－A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面,AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)。（1）證明：MN∥平面AA′C′C；（2)設(shè)AB＝λAA′，當(dāng)λ為何值時(shí),CN⊥平面A′MN，試證明你的結(jié)論。【解析】（1)證明:如圖,取A′B′的中點(diǎn)E,連接ME，NE.因?yàn)镸，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.又A′C′?平面AA′C′C,A′A?平面AA′C′C，所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，因?yàn)镹E∩ME＝E，所以平面MNE∥平面AA′C′C，因?yàn)镸N?平面MNE，所以MN∥平面AA′C′C。(2)連接BN,設(shè)AA′＝a，則AB＝λAA′＝λa,由題意知BC＝eq\r（2)λa，CN＝BN＝eq\r(a2＋\f（1，2）λ2a2)，因?yàn)槿庵鵄BC－A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面,所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，因?yàn)锳B＝AC，點(diǎn)N是B′C′的中點(diǎn)，∠BAC＝90°,所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N,要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可,所以CN2＋BN2＝BC2，即2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（a2＋\f(1，2)λ2a2）)＝2λ2a2，解得λ＝eq\r(2)，故當(dāng)λ＝eq\r（2）時(shí)，CN⊥平面A′MN。【答案】（1）見解析（2)λ＝eq\r（2），證明見解析微考場新提升1．設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面,則a⊥b的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)⊥c，b⊥c B．α⊥β，a?α，b?βC．a(chǎn)⊥α,b∥α D．a(chǎn)⊥α,b⊥α解析對(duì)于C,在平面α內(nèi)存在c∥b，因?yàn)閍⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A,B中，直線a，b可能是平行直線，相交直線，也可能是異面直線;D中一定推出a∥b。故選C。答案C2．（2016·成都一診)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，給出下列四個(gè)命題，其中真命題是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a∥α,b∥β，a∥b,則α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βD．若a,b在平面α內(nèi)的射影互相垂直，則a⊥b解析與同一平面平行的兩條直線不一定平行，所以A錯(cuò)誤；與兩條平行直線分別平行的兩個(gè)平面未必平行，所以B錯(cuò)誤；如圖(1），設(shè)OA∥a,OB∥b，直線OA，OB確定的平面分別交α，β于AC,BC，則OA⊥AC，OB⊥BC，所以四邊形OACB為矩形,∠ACB為二面角α－l－β的平面角,所以α⊥β，C正確;如圖（2),直線a，b在平面α內(nèi)的射影分別為m，n，顯然m⊥n,但a，b不垂直，所以D錯(cuò)誤。故選C。答案C3。如圖，O是正方體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是（)A．A1D B．AA1C．A1D1 D．A1C解析連接B1D1，則A1C1⊥B1D1可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D,B1O?平面BB1D1D，所以B1O⊥A1答案D4.如圖所示，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC