廣東省梅州市超竹中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

廣東省梅州市超竹中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知條件p:x≤1，條件q:＜1，則p是q成立的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.不充分也不必要條件參考答案：B2.設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別是an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，bn+1=，則（）A．{Sn}為遞減數(shù)列B．{Sn}為遞增數(shù)列C．{S2n﹣1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列D．{S2n﹣1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的邊BnCn為定值a1，由bn+1+cn+1﹣2a1=（bn+cn﹣2an），b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，則在△AnBnCn中邊長(zhǎng)BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長(zhǎng)度之和bn+cn=2a1為定值，由此可知頂點(diǎn)An在以Bn、Cn為焦點(diǎn)的橢圓上，根據(jù)bn+1﹣cn+1=（cn﹣bn），得bn﹣cn=，可知n→+∞時(shí)bn→cn，據(jù)此可判斷△AnBnCn的邊BnCn的高h(yuǎn)n隨著n的增大而增大，再由三角形面積公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，由題意，bn+1+cn+1=+an，∴bn+1+cn+1﹣2an=（bn+cn﹣2an），∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1，∴bn+cn=2a1，又由題意，bn+1﹣cn+1=，∴bn+1﹣（2a1﹣bn+1）==a1﹣bn，bn+1﹣a1=（a1﹣bn）=（b1﹣a1）．∴bn=a1+（b1﹣a1），cn=2a1﹣bn=a1﹣（b1﹣a1），=?=單調(diào)遞增．可得{Sn}單調(diào)遞增．故選：B．3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為63，則判斷框中應(yīng)填（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.已知函數(shù)滿足對(duì)任意，都有

成立，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積是,則的值是

（

）A. B.

C. D.參考答案：D6.設(shè)偶函數(shù)f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(b－2)與f(a＋1)的大小關(guān)系為A．f(b－2)＝f(a＋1)

B．f(b－2)>f(a＋1)C．f(b－2)<f(a＋1)

D．不能確定參考答案：C7.函數(shù)f(x)＝sin2－sin2是A．周期為π的奇函數(shù)

B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為2π的偶函數(shù) D．周期為2π的奇函數(shù)參考答案：A略8.函數(shù)的圖象大致是（

）Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ參考答案：A略9.已知全集，集合，則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.若，定義一種向量積：，已知，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)和點(diǎn)滿足：（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則函數(shù)的最大值及最小正周期分別為A．B．C．

D．參考答案：D考點(diǎn)：新定義，三角函數(shù)的性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】本題考查新定義，解題的關(guān)鍵是依據(jù)新定義進(jìn)行合理地運(yùn)算，求出的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,令，則的值為

參考答案：-412.拋物線y=4ax2（a≠0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用拋物線方程直接求解拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：拋物線y=4ax2（a≠0）的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：．故答案為：．13.sin15°+sin75°的值是．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力．14.如圖，已知球是棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為

；參考答案：略15.在中，若，，，則

．參考答案：16.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

．參考答案：17.函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

.參考答案：.試題分析：根據(jù)已知函數(shù)畫(huà)出函數(shù)的圖像如下圖所示，由圖可知，的根的個(gè)數(shù)有3個(gè)，即，，，于是當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根；綜上所示，方程有7個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有7個(gè)，故應(yīng)填.考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的圖像；2、函數(shù)與方程；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且（Ⅰ）求的大?。唬á颍┤簦嚽髢?nèi)角B、C的大小.參考答案：解：（Ⅰ）∵

由余弦定理得

故

-----------------5分（Ⅱ）∴B+C=................................6分∵，∴，

----------------7分∴，∴，∴

----------------9分∴B+=……………10分又∵為三角形內(nèi)角，

---------------11分

故.

----------------12分19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（1，）．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)與圓O：x2+y2=相切的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值，及取得最大值時(shí)直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）討論①當(dāng)k不存在時(shí)，②當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），將直線y=kx+m代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及直線和圓相切的條件：d=r，結(jié)合基本不等式即可得到所求面積的最大值和直線l的方程．【解答】解：（1）由題意可得，e==，a2﹣b2=c2，點(diǎn)（1，）代入橢圓方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有橢圓的方程為+y2=1；（2）①當(dāng)k不存在時(shí)，x=±時(shí)，可得y=±，S△OAB=××=；②當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），將直線y=kx+m代入橢圓方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由直線l與圓O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=?=?=?=?=?≤?=2，當(dāng)且僅當(dāng)9k2=即k=±時(shí)等號(hào)成立，可得S△OAB=|AB|?r≤×2×=，即有△OAB面積的最大值為，此時(shí)直線方程y=±x±1．20.（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，是與的等差中項(xiàng)，其中、、都是正數(shù)，過(guò)點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）（文）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn)，求長(zhǎng)度的最大值；（3）已知定點(diǎn)，直線與橢圓交于、相異兩點(diǎn)．證明：對(duì)任意的，都存在實(shí)數(shù)，使得以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．參考答案：解：（1）在橢圓中，由已知得····································1分過(guò)點(diǎn)和的直線方程為，即，該直線與原點(diǎn)的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式得：·····························································································3分解得：；所以橢圓方程為····················································4分（2）（文）設(shè)，則，，其中

6分當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以長(zhǎng)度的最大值為····························9分（3）將代入橢圓方程，得，由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得··············································11分設(shè)、，則，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)，所以，即，···················································································13分而=，所以，解得······························14分如果對(duì)任意的都成立，則存在，使得以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．，即．所以，對(duì)任意的，都存在，使得以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．

16分21.現(xiàn)有A，B兩球隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，設(shè)A隊(duì)在每局比賽中獲勝的概率都是．（Ⅰ）若比賽6局，求A隊(duì)至多獲勝4局的概率；（Ⅱ）若采用“五局三勝”制，求比賽局?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：略22.已知函數(shù)f（x）=ex﹣x2+ax，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與x軸平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=ex﹣2x﹣1，求函數(shù)g（x）的最小值；（Ⅲ）求證：存在c＜0，當(dāng)x＞c時(shí)，f（x）＞0．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由條件可得a的方程，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和極值，且為最值；（Ⅲ）顯然g（x）=f'（x），且g（0）=0，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理可得g（x）的零點(diǎn)范圍，可設(shè)g（x）=f'（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，分別為0，x0．討論x＜0時(shí)，0＜x＜x0時(shí)，x＞x0時(shí)，g（x）的符號(hào)，可得f（x）的極值，進(jìn)而得到f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，即可得證．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ex﹣x2+ax的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=ex﹣2x+a，由已知可得f′（0）=0，所以1+a=0，得a=﹣1．（Ⅱ）g'（x）=ex﹣2，令g'（x）=0，得x=ln2，所以x，g'（x），g（x）的變化情況如表所示：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）g'（x）﹣0+g（x）遞減極小值遞增所以g（x）的極小值，且為最小值為g（ln2）=eln2﹣2ln2﹣1=1﹣2ln2．（Ⅲ）證明：顯然g（x）=f'（x），且g（0）=0，由（Ⅱ）知，g（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．又g（ln2）＜0，g（2）=e2﹣5＞0，由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一實(shí)數(shù)x0∈（ln2，2），滿足g（x0）=0，即，，綜上，g（x）=f'（x）存在兩個(gè)