2023年浙江省寧波市余姚市余姚高考數(shù)學五模試卷含解析

2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列對任意的有成立，若，則等于（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的右焦點為，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，延長交右支于點，若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．3．已知向量與的夾角為，，，則()A． B．0 C．0或 D．4．如圖，中，點D在BC上，，將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關(guān)系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得5．已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，186．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的焦距為8，一條漸近線方程為，則C為（）A． B．C． D．7．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．8．已知,則()A． B． C． D．9．已知復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為（）A． B． C． D．10．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題11．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下列說法中正確的是A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點成中心對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則__________．14．已知，則_____。15．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，，若線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標為，則的值為_________.16．在長方體中，，，，為的中點，則點到平面的距離是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點，中心都在坐標原點，且橢圓與的離心率均為．（Ⅰ）求橢圓與橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點M的互相垂直的兩直線分別與，交于點A，B（點A、B不同于點M），當?shù)拿娣e取最大值時，求兩直線MA，MB斜率的比值.18．（12分）2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)19．（12分）某公司為了鼓勵運動提高所有用戶的身體素質(zhì)，特推出一款運動計步數(shù)的軟件，所有用戶都可以通過每天累計的步數(shù)瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”，統(tǒng)計了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù)，規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運動達人”，步數(shù)在8000以下的為“非運動達人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個用戶，得到如下列聯(lián)表：運動達人非運動達人總計男3560女26總計100（1）（i）將列聯(lián)表補充完整；（ii）據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否有的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”？（2）將頻率視作概率，從該公司的所有人“運動達人”中任意抽取3個用戶，求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期望.附：20．（12分）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：.22．（10分）已知，均為正項數(shù)列，其前項和分別為，，且，，，當，時，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

觀察已知條件，對進行化簡，運用累加法和裂項法求出結(jié)果.【詳解】已知，則，所以有，，，，兩邊同時相加得，又因為，所以.故選：【點睛】本題考查了求數(shù)列某一項的值，運用了累加法和裂項法，遇到形如時就可以采用裂項法進行求和，需要掌握數(shù)列中的方法，并能熟練運用對應方法求解.2．D【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，，設(shè)，則，，，和中，利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，，設(shè)，則，，，，根據(jù)對稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.3．B【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為，再由，代入表達式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為，得，所以，又，，，，所以，解得.故選：B【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【詳解】由題可得過點作交于點，過作的垂線，垂足為，則易得，．設(shè)，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．5．A【解析】

利用統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)．【詳解】樣本容量為：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為：故選A．【點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意統(tǒng)計圖的性質(zhì)的合理運用．6．A【解析】

由題意求得c與的值，結(jié)合隱含條件列式求得a2，b2，則答案可求.【詳解】由題意，2c＝8，則c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴雙曲線C的方程為.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

根據(jù)，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項，又由，所以．故選D．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．B【解析】

利用誘導公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可．【詳解】，本題正確選項：【點睛】本題考查誘導公式的應用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用，考查計算能力．9．B【解析】

利用復數(shù)的除法運算化簡z,復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算，模長公式和幾何意義，考查了學生概念理解，數(shù)學運算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．11．C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域為，結(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項.【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域為.若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點的橫坐標，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點的橫坐標為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當時，，即函數(shù)的一個對稱中心為，即函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱．故選B．【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件，列出方程組，求得的值，利用求和公式，即可求解．【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，即，解得，，所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，及前n項和公式的應用，其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，正確求解首項和公比是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】

由已知求，再利用和角正切公式，求得，【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。15．1【解析】

設(shè)，寫出直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理求得，由拋物線定義得焦點弦長，求得，再寫出的垂直平分線方程，得，從而可得結(jié)論．【詳解】拋物線的焦點坐標為，直線的方程為，據(jù)得.設(shè)，則.線段垂直平分線方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1．【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題，根據(jù)拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關(guān)鍵．16．【解析】

利用等體積法求解點到平面的距離【詳解】由題在長方體中，，，所以，所以，設(shè)點到平面的距離為，解得故答案為：【點睛】此題考查求點到平面的距離，通過在三棱錐中利用等體積法求解，關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），（2）【解析】分析：(1)根據(jù)題的條件，得到對應的橢圓的上頂點，即可以求得橢圓中相應的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得相應的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；(2)設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對應點的坐標，進一步求得向量的坐標，將S表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結(jié)果.詳解：（Ⅰ）依題意得對：，，得：；同理：.（Ⅱ）設(shè)直線的斜率分別為，則MA：，與橢圓方程聯(lián)立得：，得，得,，所以同理可得.所以,從而可以求得因為，所以，不妨設(shè)，所以當最大時，，此時兩直線MA，MB斜率的比值.點睛：該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題，在解題的過程中，注意橢圓的對稱性，以及其特殊性，與y軸的交點即為橢圓的上頂點，結(jié)合橢圓焦點所在軸，得到相應的參數(shù)的值，再者就是應用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系，在研究直線與橢圓相交的問題時，首先設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求得結(jié)果，注意從函數(shù)的角度研究問題.18．(Ⅰ)萬；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)比例關(guān)系直接計算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算數(shù)學期望得到答案.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語成績在分以上的有人，故人數(shù)為：萬人.(Ⅱ)8名男生中，測試成績在70分以上的有人，的可能取值為：.，，.故分布列為：.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，故.故的最小值為.【點睛】本題考查了樣本估計總體，分布列，數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19．（1）（i）填表見解析（ii）沒有的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”（2）詳見解析【解析】

（1）(i)由已給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表，(ii)計算出后可得；（2）由列聯(lián)表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，的取值為，，由二項分布概率公式計算出各概率得分布列，由期望公式計算期望．【詳解】解（1）（i）運動達人非運動達人總計男352560女142640總計4951100（ii）由列聯(lián)表得所以沒有的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”（2）由列聯(lián)表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，.易知所以的分布列為0123．【點睛】本題考查列聯(lián)表，考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和期望．屬于中檔題．本題難點在于認識到．20．（1）不在，證明見詳解；（2）【解析】

（1）假設(shè)直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，計算，可得，然后驗證可得結(jié)果.（2）分別計算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點的軌跡方程，然后可得焦點，結(jié)合拋物線定義可得，計算可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線方程，根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定點，所以可知點不在直線上.（2）設(shè)線段的中點為線段的中點為則直線的斜