華東師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 12.2 整式乘法（學(xué)案）

11/11整式乘法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的算理。掌握積的乘方、冪的乘方等單項(xiàng)式乘法公式。靈活運(yùn)用公式,簡(jiǎn)化計(jì)算。1、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法那么：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,利用乘法交換律和結(jié)合律,把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘,其余的字母連同它的指數(shù)不變,一起作為積的因式.注：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以單項(xiàng)式,實(shí)際上是運(yùn)用了乘法結(jié)合律和同底數(shù)的冪的運(yùn)算法那么完成的。2、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法那么單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,就是根據(jù)乘法分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法,然后再把所得的積相加.3、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法那么：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加.方法總結(jié)：在探究多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí),是把某一個(gè)多項(xiàng)式看成一個(gè)整體,利用分配律進(jìn)行計(jì)算,這里再一次說明了整體性思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。4、冪的運(yùn)算法那么：①同底數(shù)的冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加。即：〔m、n為正整數(shù)〕②冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘。即：〔m、n為正整數(shù)〕③積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方,再把所得的冪相乘。即：〔n為正整數(shù)〕④同底數(shù)的冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。〔m>n,m、n為正整數(shù)〕5、乘法的運(yùn)算律：①乘法的結(jié)合律：〔a×b〕×c=a×〔b×c〕②乘法的分配律：a〔b+c〕=ab+ac1、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,利用乘法交換律和結(jié)合律,把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘,其余的字母連同它的指數(shù)不變,一起作為積的因式.注：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以單項(xiàng)式,實(shí)際上是運(yùn)用了乘法結(jié)合律和同底數(shù)的冪的運(yùn)算法那么完成的?！纠?】計(jì)算：〔1〕〔2xy2〕·〔xy〕;〔2〕〔－2a2b3〕·〔－3a〕;〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕;解：〔1〕〔2xy2〕·〔xy〕=〔2×〕·〔x·x〕〔y2·y〕=x2y3;〔2〕〔－2a2b3〕·〔－3a〕=［〔－2〕·〔－3〕］〔a2a〕·b3=6a3b3;〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕=〔4×5〕·〔105×104〕=20×109=2×1010;注意：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積,先確定符號(hào),再計(jì)算絕對(duì)值.這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是,將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆,如2a3·3a2=6a5,而不要認(rèn)為是6a6或5a5.②相同字母的冪相乘,運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì).③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.④單項(xiàng)式乘法法那么對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用.⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式,結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式.練1、〔－3a2b3〕2·〔－a3b2〕5;答案：〔－3a2b3〕2·〔－a3b2〕5=［〔－3〕2·〔a2〕2·〔b3〕2］·［〔－1〕5·〔a3〕5·〔b2〕5］=〔9a4b6〕·〔－a15b10=－9·〔a4·a15〕·〔b6·b10〕=－9a19b16練2、〔－a2bc3〕·〔－c5〕·〔ab2c〕.答案：〔－a2bc3〕·〔－c5〕·〔ab2c〕=［〔－〕×〔－〕×〔〕］·〔a2·a〕〔b·b2〕〔c3·c5·c〕=a3b3c9【例2】一種電子計(jì)算機(jī)每秒可做4×109次運(yùn)算,它工作5×102秒,可做多少次運(yùn)算？解：〔4×109〕×〔5×102〕=〔4×5〕×〔109×102〕=20×1011=2×1012〔次〕答：工作5×102秒,可做2×1012次運(yùn)算.練4、以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是〔〕A．3a2·2a2=5a2 B．2a2·3a2=6a2C．3a2·4b2=12a2b2 D．3a3·4a4=12a12練5、以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是〔〕A．5y·4yx2＝9x3y3B．〔-2x3ynz〕〔-4xn+1yn-3〕=8xn+4y2n-3C．〔-xn-2y2〕〔-xym〕2=-xny2m+2D．〔-7a2b3〕〔5ab2c〕＝-2a2b6c練6、假設(shè)〔anbabm〕5=a10b15那么3m〔n+1〕的值為〔〕A．15 B．8 C．12 D．10答案：CDC2、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式【例3】計(jì)算：〔1〕2ab〔5ab2+3a2b〕;〔2〕〔ab2－2ab〕·ab;〔3〕－6x〔x－3y〕;〔4〕－2a2〔ab+b2〕.解：〔1〕2ab〔5ab2+3a2b〕=2ab·〔5ab2〕+2ab·〔3a2b〕——=10a2b3+6a3b2〔2〕〔ab2－2ab〕·ab=〔ab2〕·ab+〔－2ab〕·ab——乘法分配律=a2b3－a2b2——單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘〔3〕－6x〔x－3y〕=〔－6x〕·x+〔－6x〕·〔－3y〕——乘法分配律=－6x2+18xy——單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘〔4〕－2a2〔ab+b2〕=－2a2·〔ab〕+〔－2a2〕·b2——=－a3b－2a2b2——練7、計(jì)算：．練8、計(jì)算：答案：【例4】計(jì)算：6mn2〔2－mn4〕+〔－mn3〕2.分析：在混合運(yùn)算中,要注意運(yùn)算順序,結(jié)果有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng).解：原式=6mn2×2+6mn2·〔－mn4〕+m2n6=12mn2－2m2n6+m2n=12mn2－m2n6練9、計(jì)算練10、計(jì)算答案：【例5】〔2019年雅禮中學(xué)期中〕ab2=－6,求－ab〔a2b5－ab3－b〕的值.分析：求－ab〔a2b5－ab3－b〕的值,根據(jù)題的條件需將ab2的值整體代入.因此需靈活運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)及單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法.解：－ab〔a2b5－ab3－b〕=〔－ab〕·〔a2b5〕+〔－ab〕〔－ab3〕+〔－ab〕〔－b〕=－a3b6+a2b4+ab2=〔－ab2〕3+〔ab2〕2+ab2當(dāng)ab2=－6時(shí)原式=〔－ab2〕3+〔ab2〕2+ab2=［－〔－6〕］3+〔－6〕2+〔－6〕=216+36－6=246練11、〔2019年南京金陵匯文中學(xué)期中〕假設(shè)〔am+1bn+2〕·〔a2n-1·b2m〕＝a5·b3那么m+n的值為〔〕A．1 B．2 C．3 D．-3分析：先算等式的左邊,再根據(jù)題意得m,n的方程組,將方程組整理后相加得出m+n的值．解：由〔am+1bn+2〕·〔a2n-1·b2m〕=a5·b3得am+2nb2m+n+2=a5b3所以①+②得3m+3n=6即m+n=2應(yīng)選B3、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式【例6】計(jì)算：〔1〕〔1－x〕〔0.6－x〕〔2〕〔2x+y〕〔x－y〕〔3〕〔x－y〕2〔4〕〔－2x+3〕2〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y－2〕.分析：在做題的過程中,要明白每一步算理.因此,不要求直接利用法那么進(jìn)行運(yùn)算,而要利用乘法分配律將多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘.解：〔1〕〔1－x〕〔0.6－x〕〔2〕〔2x+y〕〔x－y〕=〔0.6－x〕－x〔0.6－x〕=2x〔x－y〕+y〔x－y〕=0.6－x－0.6x+x2=2x2－2xy+xy－y2=0.6－1.6x+x2=2x2－xy－y2或〔1－x〕〔0.6－x〕或〔2x+y〕〔x－y〕=1×0.6－1×x－0.6x+x·x=2x·x－2x·y+xy－y2=0.6－x－0.6x+x2=2x2－xy－y2=0.6－1.6x+x2〔3〕〔x－y〕2=〔x－y〕〔x－y〕或〔x－y〕2=〔x－y〕〔x－y〕=x〔x－y〕－y〔x－y〕=x·x－x·y－x·y+y·y=x2－xy－xy+y2=x2－2xy+y2=x2－2xy+y2〔4〕〔－2x+3〕2〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y－2〕=〔－2x+3〕〔－2x+3〕=〔xy+3x+2y+6〕－〔xy－2x+y－2〕=－2x〔－2x+3〕+3〔－2x+3〕=xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2=4x2－6x－6x+9=5x+y+8=4x2－12x+9評(píng)注：〔3〕〔4〕題利用乘方運(yùn)算的意義化成多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.〔5〕整式的混合運(yùn)算,一定要注意運(yùn)算順序.練12、計(jì)算：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕;〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕;〔3〕〔x+2y〕2〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕.解：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n=2n·n－3·2n+5n－5×3=m2－2mn+2mn－4n2=2n2－6n+5n－15=m2－4n2=2n2－n－15〔3〕〔x+2y〕2〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕=〔x+2y〕〔x+2y〕=ax·cx+ax·d+b·cx+bd=x2+2xy+2xy+4y2=acx2+adx+bcx+bd=x2+4xy+4y2想一想：由計(jì)算得到27×23=621,發(fā)現(xiàn)積的末兩位上的數(shù)21=7×3,前面的數(shù)6=2×〔2+1〕.換兩個(gè)數(shù)84×86=7224同樣具有這一特點(diǎn),于是我們猜測(cè)：十位數(shù)字相同,個(gè)位數(shù)字之和為10的兩位數(shù)的積是否也有這樣的規(guī)律？分析：根據(jù)題意,可以發(fā)現(xiàn)這樣的兩位數(shù)除了十位數(shù)字相同外,個(gè)位數(shù)字是補(bǔ)數(shù),即個(gè)位數(shù)字的和是10.因此,我們?cè)O(shè)這樣的兩位數(shù)分別為10a+b和10a+c〔a,b,c都是正整數(shù),并且b+c=10〕.根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法,通過對(duì)結(jié)果變形,就可說明.解：設(shè)這樣的兩位數(shù)分別為10a+b和10a+c〔a、b、c都是正整數(shù),并且b+c=10〕.根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法那么可知,這兩個(gè)數(shù)的乘積為〔10a+b〕〔10a+c〕=100a2+10a〔b+c〕=100a2+100a=100a〔a+1〕+結(jié)論：這個(gè)式子告訴我們：求十位數(shù)相同,個(gè)位數(shù)字之和等于10的兩個(gè)兩位數(shù)的積,可以用十位上的數(shù)a去乘比它大1的數(shù)〔a+1〕,然后在乘積的后面添上兩位數(shù),在這兩個(gè)數(shù)位上寫上個(gè)位數(shù)字的乘積,所得的結(jié)果就是原來這兩位數(shù)的乘積.【例7】計(jì)算：〔1〕32×38〔2〕54×56〔3〕73×77解：〔1〕3×〔3+1〕=12,2×8=16〔2〕5×〔5+1〕=30,4×6=24∴32×38=1216∴54×56=3024〔3〕7×〔7+1〕=56,3×7=21∴73×77=56214、綜合應(yīng)用【例8】〔2019年上海閔行二中期中〕規(guī)律探索題〔1〕研究以下等式：①1×3+1=4=22;②2×4+1=9=32;③3×5+1=16=42;④4×6+1=25=52…你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？根據(jù)你的發(fā)現(xiàn),找出表示第n個(gè)等式的公式并證明.〔2〕計(jì)算以下各式,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？〔x－1〕〔x+1〕=.〔x－1〕〔x2+x+1〕=.〔x－1〕〔x3+x2+x+1〕=.〔x－1〕〔x4+x3+x2+x+1〕=.〔x－1〕〔xn+xn－1+…+x+1〕=.答案：〔1〕n〔n+2〕+1=〔n+1〕2,證明略〔2〕x2－1,x3－1,x4－1,x5－1,…xn+1－1〔3〕A=987654321×123456789,B=987654322×123456788.試比擬A、B的大小. 分析：這么復(fù)雜的數(shù)字通過計(jì)算比擬它們的大小,非常繁雜.我們觀察就可發(fā)現(xiàn)A和B的因數(shù)是有關(guān)系的,如果借助于這種關(guān)系,用字母表示數(shù)的方法,會(huì)給解決問題帶來方便.解：設(shè)a=987654321,那么a+1=987654322;b=123456788,b+1=123456789,那么A=a〔b+1〕=ab+a;B=〔a+1〕b=ab+b.而根據(jù)假設(shè)可知a>b所以A>B.1.以下各式計(jì)算正確的選項(xiàng)是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2.假設(shè),那么的值為〔〕〔A〕3 〔B〕4 〔C〕5 〔D〕63.假設(shè),那么的值為〔〕〔A〕 〔B〕5 〔C〕 〔D〕24.化簡(jiǎn)的結(jié)果是〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕5.〔2019重慶巴蜀中學(xué)期中〕如圖是長(zhǎng)10cm,寬6cm的長(zhǎng)方形,在四個(gè)角剪去4個(gè)邊長(zhǎng)為cm的小正方形,按折痕做一個(gè)有底無蓋的長(zhǎng)方體盒子,這個(gè)盒子的容積是〔〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕6.假設(shè),那么的值為〔〕〔A〕36 〔B〕72 〔C〕108 〔D〕7207.,那么的值是〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕8.將〔1〕中的梯形沿虛線剪開,拼成一個(gè)缺角的正方形,如圖〔2〕所示.根據(jù)這兩個(gè)圖形的面積關(guān)系,以下式子成立的是〔〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________