華東師大版八年級數(shù)學上冊 12.2 整式乘法（學案）

11/11整式乘法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握單項式與單項式相乘的算理。掌握積的乘方、冪的乘方等單項式乘法公式。靈活運用公式,簡化計算。1、單項式乘以單項式法那么：單項式與單項式相乘,利用乘法交換律和結合律,把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘,其余的字母連同它的指數(shù)不變,一起作為積的因式.注：單項式乘以單項式,實際上是運用了乘法結合律和同底數(shù)的冪的運算法那么完成的。2、單項式乘以多項式的運算法那么單項式與多項式相乘,就是根據(jù)乘法分配律用單項式去乘多項式的每一項,轉化為單項式與單項式的乘法,然后再把所得的積相加.3、多項式乘以多項式法那么：多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相加.方法總結：在探究多項式乘以多項式時,是把某一個多項式看成一個整體,利用分配律進行計算,這里再一次說明了整體性思想在數(shù)學中的應用。4、冪的運算法那么：①同底數(shù)的冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加。即：〔m、n為正整數(shù)〕②冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘。即：〔m、n為正整數(shù)〕③積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘。即：〔n為正整數(shù)〕④同底數(shù)的冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減?！瞞>n,m、n為正整數(shù)〕5、乘法的運算律：①乘法的結合律：〔a×b〕×c=a×〔b×c〕②乘法的分配律：a〔b+c〕=ab+ac1、單項式乘以單項式單項式與單項式相乘,利用乘法交換律和結合律,把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘,其余的字母連同它的指數(shù)不變,一起作為積的因式.注：單項式乘以單項式,實際上是運用了乘法結合律和同底數(shù)的冪的運算法那么完成的?！纠?】計算：〔1〕〔2xy2〕·〔xy〕;〔2〕〔－2a2b3〕·〔－3a〕;〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕;解：〔1〕〔2xy2〕·〔xy〕=〔2×〕·〔x·x〕〔y2·y〕=x2y3;〔2〕〔－2a2b3〕·〔－3a〕=［〔－2〕·〔－3〕］〔a2a〕·b3=6a3b3;〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕=〔4×5〕·〔105×104〕=20×109=2×1010;注意：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積,先確定符號,再計算絕對值.這時容易出現(xiàn)的錯誤是,將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆,如2a3·3a2=6a5,而不要認為是6a6或5a5.②相同字母的冪相乘,運用同底數(shù)冪的乘法運算性質.③只在一個單項式里含有的字母,要連同它的指數(shù)作為積的一個因式.④單項式乘法法那么對于三個以上的單項式相乘同樣適用.⑤單項式乘以單項式,結果仍是一個單項式.練1、〔－3a2b3〕2·〔－a3b2〕5;答案：〔－3a2b3〕2·〔－a3b2〕5=［〔－3〕2·〔a2〕2·〔b3〕2］·［〔－1〕5·〔a3〕5·〔b2〕5］=〔9a4b6〕·〔－a15b10=－9·〔a4·a15〕·〔b6·b10〕=－9a19b16練2、〔－a2bc3〕·〔－c5〕·〔ab2c〕.答案：〔－a2bc3〕·〔－c5〕·〔ab2c〕=［〔－〕×〔－〕×〔〕］·〔a2·a〕〔b·b2〕〔c3·c5·c〕=a3b3c9【例2】一種電子計算機每秒可做4×109次運算,它工作5×102秒,可做多少次運算？解：〔4×109〕×〔5×102〕=〔4×5〕×〔109×102〕=20×1011=2×1012〔次〕答：工作5×102秒,可做2×1012次運算.練4、以下計算正確的選項是〔〕A．3a2·2a2=5a2 B．2a2·3a2=6a2C．3a2·4b2=12a2b2 D．3a3·4a4=12a12練5、以下計算正確的選項是〔〕A．5y·4yx2＝9x3y3B．〔-2x3ynz〕〔-4xn+1yn-3〕=8xn+4y2n-3C．〔-xn-2y2〕〔-xym〕2=-xny2m+2D．〔-7a2b3〕〔5ab2c〕＝-2a2b6c練6、假設〔anbabm〕5=a10b15那么3m〔n+1〕的值為〔〕A．15 B．8 C．12 D．10答案：CDC2、單項式乘以多項式【例3】計算：〔1〕2ab〔5ab2+3a2b〕;〔2〕〔ab2－2ab〕·ab;〔3〕－6x〔x－3y〕;〔4〕－2a2〔ab+b2〕.解：〔1〕2ab〔5ab2+3a2b〕=2ab·〔5ab2〕+2ab·〔3a2b〕——=10a2b3+6a3b2〔2〕〔ab2－2ab〕·ab=〔ab2〕·ab+〔－2ab〕·ab——乘法分配律=a2b3－a2b2——單項式與單項式相乘〔3〕－6x〔x－3y〕=〔－6x〕·x+〔－6x〕·〔－3y〕——乘法分配律=－6x2+18xy——單項式與單項式相乘〔4〕－2a2〔ab+b2〕=－2a2·〔ab〕+〔－2a2〕·b2——=－a3b－2a2b2——練7、計算：．練8、計算：答案：【例4】計算：6mn2〔2－mn4〕+〔－mn3〕2.分析：在混合運算中,要注意運算順序,結果有同類項的要合并同類項.解：原式=6mn2×2+6mn2·〔－mn4〕+m2n6=12mn2－2m2n6+m2n=12mn2－m2n6練9、計算練10、計算答案：【例5】〔2019年雅禮中學期中〕ab2=－6,求－ab〔a2b5－ab3－b〕的值.分析：求－ab〔a2b5－ab3－b〕的值,根據(jù)題的條件需將ab2的值整體代入.因此需靈活運用冪的運算性質及單項式與多項式的乘法.解：－ab〔a2b5－ab3－b〕=〔－ab〕·〔a2b5〕+〔－ab〕〔－ab3〕+〔－ab〕〔－b〕=－a3b6+a2b4+ab2=〔－ab2〕3+〔ab2〕2+ab2當ab2=－6時原式=〔－ab2〕3+〔ab2〕2+ab2=［－〔－6〕］3+〔－6〕2+〔－6〕=216+36－6=246練11、〔2019年南京金陵匯文中學期中〕假設〔am+1bn+2〕·〔a2n-1·b2m〕＝a5·b3那么m+n的值為〔〕A．1 B．2 C．3 D．-3分析：先算等式的左邊,再根據(jù)題意得m,n的方程組,將方程組整理后相加得出m+n的值．解：由〔am+1bn+2〕·〔a2n-1·b2m〕=a5·b3得am+2nb2m+n+2=a5b3所以①+②得3m+3n=6即m+n=2應選B3、多項式乘以多項式【例6】計算：〔1〕〔1－x〕〔0.6－x〕〔2〕〔2x+y〕〔x－y〕〔3〕〔x－y〕2〔4〕〔－2x+3〕2〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y－2〕.分析：在做題的過程中,要明白每一步算理.因此,不要求直接利用法那么進行運算,而要利用乘法分配律將多項式與多項式相乘轉化為單項式與多項式相乘.解：〔1〕〔1－x〕〔0.6－x〕〔2〕〔2x+y〕〔x－y〕=〔0.6－x〕－x〔0.6－x〕=2x〔x－y〕+y〔x－y〕=0.6－x－0.6x+x2=2x2－2xy+xy－y2=0.6－1.6x+x2=2x2－xy－y2或〔1－x〕〔0.6－x〕或〔2x+y〕〔x－y〕=1×0.6－1×x－0.6x+x·x=2x·x－2x·y+xy－y2=0.6－x－0.6x+x2=2x2－xy－y2=0.6－1.6x+x2〔3〕〔x－y〕2=〔x－y〕〔x－y〕或〔x－y〕2=〔x－y〕〔x－y〕=x〔x－y〕－y〔x－y〕=x·x－x·y－x·y+y·y=x2－xy－xy+y2=x2－2xy+y2=x2－2xy+y2〔4〕〔－2x+3〕2〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y－2〕=〔－2x+3〕〔－2x+3〕=〔xy+3x+2y+6〕－〔xy－2x+y－2〕=－2x〔－2x+3〕+3〔－2x+3〕=xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2=4x2－6x－6x+9=5x+y+8=4x2－12x+9評注：〔3〕〔4〕題利用乘方運算的意義化成多項式與多項式的乘法運算.〔5〕整式的混合運算,一定要注意運算順序.練12、計算：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕;〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕;〔3〕〔x+2y〕2〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕.解：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n=2n·n－3·2n+5n－5×3=m2－2mn+2mn－4n2=2n2－6n+5n－15=m2－4n2=2n2－n－15〔3〕〔x+2y〕2〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕=〔x+2y〕〔x+2y〕=ax·cx+ax·d+b·cx+bd=x2+2xy+2xy+4y2=acx2+adx+bcx+bd=x2+4xy+4y2想一想：由計算得到27×23=621,發(fā)現(xiàn)積的末兩位上的數(shù)21=7×3,前面的數(shù)6=2×〔2+1〕.換兩個數(shù)84×86=7224同樣具有這一特點,于是我們猜測：十位數(shù)字相同,個位數(shù)字之和為10的兩位數(shù)的積是否也有這樣的規(guī)律？分析：根據(jù)題意,可以發(fā)現(xiàn)這樣的兩位數(shù)除了十位數(shù)字相同外,個位數(shù)字是補數(shù),即個位數(shù)字的和是10.因此,我們設這樣的兩位數(shù)分別為10a+b和10a+c〔a,b,c都是正整數(shù),并且b+c=10〕.根據(jù)多項式與多項式的乘法,通過對結果變形,就可說明.解：設這樣的兩位數(shù)分別為10a+b和10a+c〔a、b、c都是正整數(shù),并且b+c=10〕.根據(jù)多項式與多項式相乘的運算法那么可知,這兩個數(shù)的乘積為〔10a+b〕〔10a+c〕=100a2+10a〔b+c〕=100a2+100a=100a〔a+1〕+結論：這個式子告訴我們：求十位數(shù)相同,個位數(shù)字之和等于10的兩個兩位數(shù)的積,可以用十位上的數(shù)a去乘比它大1的數(shù)〔a+1〕,然后在乘積的后面添上兩位數(shù),在這兩個數(shù)位上寫上個位數(shù)字的乘積,所得的結果就是原來這兩位數(shù)的乘積.【例7】計算：〔1〕32×38〔2〕54×56〔3〕73×77解：〔1〕3×〔3+1〕=12,2×8=16〔2〕5×〔5+1〕=30,4×6=24∴32×38=1216∴54×56=3024〔3〕7×〔7+1〕=56,3×7=21∴73×77=56214、綜合應用【例8】〔2019年上海閔行二中期中〕規(guī)律探索題〔1〕研究以下等式：①1×3+1=4=22;②2×4+1=9=32;③3×5+1=16=42;④4×6+1=25=52…你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？根據(jù)你的發(fā)現(xiàn),找出表示第n個等式的公式并證明.〔2〕計算以下各式,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？〔x－1〕〔x+1〕=.〔x－1〕〔x2+x+1〕=.〔x－1〕〔x3+x2+x+1〕=.〔x－1〕〔x4+x3+x2+x+1〕=.〔x－1〕〔xn+xn－1+…+x+1〕=.答案：〔1〕n〔n+2〕+1=〔n+1〕2,證明略〔2〕x2－1,x3－1,x4－1,x5－1,…xn+1－1〔3〕A=987654321×123456789,B=987654322×123456788.試比擬A、B的大小. 分析：這么復雜的數(shù)字通過計算比擬它們的大小,非常繁雜.我們觀察就可發(fā)現(xiàn)A和B的因數(shù)是有關系的,如果借助于這種關系,用字母表示數(shù)的方法,會給解決問題帶來方便.解：設a=987654321,那么a+1=987654322;b=123456788,b+1=123456789,那么A=a〔b+1〕=ab+a;B=〔a+1〕b=ab+b.而根據(jù)假設可知a>b所以A>B.1.以下各式計算正確的選項是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2.假設,那么的值為〔〕〔A〕3 〔B〕4 〔C〕5 〔D〕63.假設,那么的值為〔〕〔A〕 〔B〕5 〔C〕 〔D〕24.化簡的結果是〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕5.〔2019重慶巴蜀中學期中〕如圖是長10cm,寬6cm的長方形,在四個角剪去4個邊長為cm的小正方形,按折痕做一個有底無蓋的長方體盒子,這個盒子的容積是〔〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕6.假設,那么的值為〔〕〔A〕36 〔B〕72 〔C〕108 〔D〕7207.,那么的值是〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕8.將〔1〕中的梯形沿虛線剪開,拼成一個缺角的正方形,如圖〔2〕所示.根據(jù)這兩個圖形的面積關系,以下式子成立的是〔〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________