初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)上冊(cè)第4章　相似三角形4．5　相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用(u)

4．5相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用1．兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線之比為1∶2，那么它們的對(duì)應(yīng)中線之比為(A)A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶82．已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為1∶2，則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)角平分線之比為(B)A．2∶1B．1∶2C．1∶4D．4∶1(第3題)3．如圖，已知點(diǎn)D是△ABC的重心，則下列結(jié)論不正確的是(B)A．AD＝2DEB．AE＝2DEC．BE＝CED．AE＝3DE4．如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比是2∶3，那么它們的對(duì)應(yīng)高線之比是2∶3．5.已知兩個(gè)相似三角形的相似比是1∶4，那么它們的對(duì)應(yīng)高線之比是__1∶4__．6.若兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為70°和60°，則另一個(gè)三角形的最大內(nèi)角和最小內(nèi)角分別是70°，50°．7.若一個(gè)三角形三邊之比為3∶5∶7，一個(gè)與之相似的三角形最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為21cm，則其余兩邊長(zhǎng)的和為24cm8．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s.連結(jié)PQ，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0＜t＜2)，當(dāng)以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似時(shí)，求t(第8題)【解】在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.由題意，得BP＝t，AQ＝2t，∴AP＝5－t.∵∠A＝∠A，∴分兩種情況：①若△APQ∽△ABC,則eq\f(AQ,AC)＝eq\f(AP,AB)，即eq\f(2t,4)＝eq\f(5－t,5)，解得t＝eq\f(10,7).②若△AQP∽△ABC，則eq\f(AQ,AB)＝eq\f(AP,AC)，即eq\f(2t,5)＝eq\f(5－t,4)，解得t＝eq\f(25,13).∴當(dāng)以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似時(shí)，t的值為eq\f(10,7)或eq\f(25,13).9．已知△ABC與△DEF相似，且∠A＝∠E，AB＝4，BC＝5，AC＝6，EF＝12，則DF＝10或15．【解】∵∠A＝∠E，AB＝4，BC＝5，AC＝6，EF＝12，△ABC與△DEF相似，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(DF,CB)或eq\f(BC,DF)＝eq\f(AC,EF)，即eq\f(12,4)＝eq\f(DF,5)或eq\f(5,DF)＝eq\f(6,12)，解得DF＝15或10.(第10題)10．如圖，點(diǎn)G是等邊△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作BC的平行線，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)M在BC邊上．如果以點(diǎn)B，D，M為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)C，E，M為頂點(diǎn)的三角形相似(但不全等)，那么S△BDM∶S△CEM＝eq\f(7＋3\r(5),2)或eq\f(7－3\r(5),2)．【解】∵點(diǎn)G是等邊△ABC的重心，DE∥BC，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，eq\f(BD,AB)＝eq\f(CE,AC)＝eq\f(1,3)，∴BD＝eq\f(1,3)AB，CE＝eq\f(1,3)AC，∴BD＝CE.當(dāng)△BDM∽△CME時(shí)，則有eq\f(BD,CM)＝eq\f(BM,CE).設(shè)BD＝a，CM＝x，則CE＝a，BC＝3a，BM＝3a－∴eq\f(a,x)＝eq\f(3a－x,a)，解得x＝eq\f(3±\r(5),2)a.當(dāng)CM＝eq\f(3－\r(5),2)a時(shí)，BM＝eq\f(3＋\r(5),2)a，∴S△BDM∶S△CEM＝BM∶CM＝eq\f(7＋3\r(5),2).當(dāng)CM＝eq\f(3＋\r(5),2)a時(shí)，BM＝eq\f(3－\r(5),2)a，∴S△BDM∶S△CEM＝BM∶CM＝eq\f(7－3\r(5),2).當(dāng)△BDM∽△CEM時(shí)，則有eq\f(BD,CE)＝eq\f(BM,CM)＝eq\f(DM,EM)＝1，此時(shí)△BDM≌△CEM，與題意不符．綜上所述，S△BDM∶S△CEM＝eq\f(7＋3\r(5),2)或eq\f(7－3\r(5),2).11．已知在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，AB＝8.(1)求線段GC的長(zhǎng)；(2)過(guò)點(diǎn)G的直線MN∥AB，交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，求MN的長(zhǎng)．,(第11題))【解】(1)延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)D.∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴CD為AB邊上的中線，CG＝eq\f(2,3)CD.又∵∠C＝90°，∴CD＝eq\f(1,2)AB＝4，∴CG＝eq\f(2,3)CD＝eq\f(8,3).(2)∵M(jìn)N∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴eq\f(MN,AB)＝eq\f(MC,AC).同理，可證△CMG∽△CAD，∴eq\f(MC,AC)＝eq\f(CG,CD)，∴eq\f(MN,AB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴MN＝eq\f(2,3)AB＝eq\f(16,3).(第12題)12．已知△ABC(如圖所示)．(1)在圖中作出△ABC的重心O；(2)設(shè)BC，AC，AB邊的中點(diǎn)分別為M，N，G，度量OM和OA，ON與OB，OG與OC，根據(jù)度量的結(jié)果，猜想三角形的重心到三角形頂點(diǎn)的距離與到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之間有何關(guān)系，并證明．【解】(1)用尺規(guī)作圖作出△ABC三邊的中線AM，BN，CG，設(shè)它們的交點(diǎn)為O，則O為△ABC的重心(作圖略)．(2)通過(guò)度量發(fā)現(xiàn)：OA＝2OM，OB＝2ON，OC＝2OG.猜想：三角形的重心到三角形頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．(第12題解)證明：如解圖所示，分別取OB，OC的中點(diǎn)K，H，連結(jié)KH，HN，NG，GK，如解圖．∵G，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴GN平行且等于eq\f(1,2)BC，同理，KH平行且等于eq\f(1,2)BC，∴GN平行且等于KH.∴四邊形KHNG是平行四邊形，∴OK＝ON.∵BK＝OK，∴OB＝2ON.同理，OA＝2OM，OC＝2OG.13．我們知道，三角形的三條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線段比、面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問(wèn)題．請(qǐng)你利用重心的概念完成如下問(wèn)題：(1)若O是△ABC的重心(如圖①)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，求證：eq\f(AO,AD)＝eq\f(2,3)；(2)若AD是△ABC的一條中線(如圖②)，O是AD上一點(diǎn)，且滿足eq\f(AO,AD)＝eq\f(2,3)，那么O是△ABC的重心嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若O是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)O的一條直線分別與AB，AC交于點(diǎn)G，H(均不與△ABC的頂點(diǎn)重合)(如圖③)，S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，求eq\f(S四邊形BCHG,S△AGH)的最大值．(第13題)(第13題解①)【解】(1)連結(jié)CO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E，如解圖①.∵點(diǎn)O是△ABC的重心，∴CE是AB邊上的中線，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，且DE＝eq\f(1,2)AC.∴△AOC∽△DOE，∴eq\f(AO,DO)＝eq\f(AC,DE)＝2，∴AO＝2DO.(第13題解②)∵AD＝AO＋DO＝3DO，∴eq\f(AO,AD)＝eq\f(2,3).(2)點(diǎn)O是△ABC的重心．證明如下：過(guò)點(diǎn)C作△ABC的中線CE交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為△ABC的重心，如解圖②.由(1)知eq\f(AQ,AD)＝eq\f(2,3)，又∵eq\f(AO,AD)＝eq\f(2,3)，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，∴點(diǎn)O是△ABC的重心．(第13題解③)(3)連結(jié)DG，如解圖③.設(shè)S△GOD＝S.由(1)知eq\f(AO,AD)＝eq\f(2,3)，即OA＝2OD，∴S△AOG＝2S，S△AGD＝S△GOD＋S△AGO＝3S.不妨設(shè)AG＝1，BG＝x.∵eq\f(S△BGD,S△AGD)＝eq\f(x,1)，S△AGD＝3S，∴S△BGD＝3xS.∴S△ABD＝S△AGD＋S△BGD＝3S＋3xS＝(3x＋3)S，∴S△ABC＝2S△ABD＝(6x＋6)S.設(shè)OH＝k·OG，由S△AGO＝2S，得S△AOH＝2kS，∴S△AGH＝S△AGO＋S△AOH＝(2k＋2)S.∴S四邊形BCHG＝S△ABC－S△AGH＝(6x＋6)S－(2k＋2)S＝(6x－2k＋4)S.∴eq\f(S四邊形BCHG,S△AGH)＝eq\f(（6x－2k＋4）S,（2k＋2）S)＝eq\f(3x－k＋2,k＋1).①過(guò)點(diǎn)O作OF∥BC交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)G作GE∥BC交AC于點(diǎn)E，如解圖③，則OF∥GE.∵OF∥BC，∴eq\f(OF,CD)＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(2,3)，∴OF＝eq\f(2,3)CD＝eq\f(1,3)BC.∵GE∥BC，∴eq\f(GE,BC)＝eq\f(AG,AB)＝eq\f(1,x＋1)，∴GE＝eq\f(BC,x＋1)；∴eq\f(OF,GE)＝eq\f(\f(1,3)BC,\f(BC,x＋1))＝eq\f(x＋1,3).∵OF∥GE，∴eq\f(OH,GH)＝eq\f(OF,GE)＝eq\f(x＋1,3)，∴eq\f(OH,OG)＝eq\f(OH,GH－OH)＝eq\f(x＋1,2－x)，∴k＝eq\f(x＋1,2－x).將k＝eq\f(x＋1,2－x)代入①式，得eq\f(S四邊形BCHG,